1.Démontrer que la somme et la différence de deux nombres entiers naturels divisibles par
est un nombre divisible par
.
2.Démontrer que le produit de deux nombres entiers naturels divisibles par
est un nombre divisible par
.
3.Démontrer que la somme de trois entiers entiers naturels consécutifs est divisible par
.
☛ Critère de divisibilité par sept
Propriété
On considère un nombre entier à trois chiffres. On le note
(
est le chiffre des centaines de ce nombre,
est son chiffre des dizaines et
est son chiffre des unités).
On s'intéresse à sa divisibilité par
.
Si
est divisible par
, alors le nombre
est divisible par
.
Énoncé
1.En utilisant la propriété ci-dessus, montrer que les nombres
et
sont divisibles par
.
2.Écrire chacun des nombres ci-dessus comme un produit de
termes dont l'un est
.
3.Démontrer la propriété.
Solution
1.Pour
on a :
et
.
On a
. D'après la propriété,
est divisible par
.
On procède de manière analogue pour les autres nombres.
2.
et
3.Par hypothèse, le nombre
est divisible par
on sait qu'il existe.
Ceci se traduit par : il existe
tel que
Donc :
Comme
alors
est le produit de
par un nombre entier donc
est bien divisible par
.