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1.Démontrer les deux égalités suivantes.a.Pour tout 

Sommaire

Résoudre une équation du second degréÉquation et valeur absolueValeur absolue

Résoudre une équation du second degré

1.Démontrer les deux égalités suivantes.a.Pour tout 
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
, on a :
x2+4x+3=(x+2)2−1x^2+4x+3=(x+2)^2-1x2+4x+3=(x+2)2−1
b.Pour tout 
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
, on a :
3x2−6x−9=3(x−1)2−123x^2-6x-9=3(x-1)^2-123x2−6x−9=3(x−1)2−12
2.Factoriser les expressions suivantes.a.
A(x)=(x+2)2−1A(x)=(x+2)^2-1A(x)=(x+2)2−1
b.
B(x)=(x−1)2−4B(x)=(x-1)^2-4B(x)=(x−1)2−4
Penser à utiliser la troisième identité remarquable!
3.En utilisant les résultats précédents, résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.a.
x2+4x+3=0x^2+4x+3=0x2+4x+3=0
b.
3x2−6x−9=03x^2-6x-9=03x2−6x−9=0

Équation et valeur absolue

Propriété
Soit
aaa
 et
bbb
 deux réels.
On a :
∣a∣=0⇔a=0|a|=0 \Leftrightarrow a=0∣a∣=0⇔a=0
∣a∣=∣b∣⇔a=b  ou  a=−b|a|=|b| \Leftrightarrow a=b\;\text{ou}\;a=-b∣a∣=∣b∣⇔a=boua=−b
Exercice
1.Démontrer cette propriété.
2.Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
    a.
∣x−1∣=∣3x+1∣|x-1|=|3x+1|∣x−1∣=∣3x+1∣
    b.
∣4−x∣=∣5x−2∣|4-x|=|5x-2|∣4−x∣=∣5x−2∣
    c.
∣x+2∣−∣3x−1∣=0|x+2|-|3x-1|=0∣x+2∣−∣3x−1∣=0
    d.
2∣x+3∣=∣3x−5∣2|x+3|=|3x-5|2∣x+3∣=∣3x−5∣

Valeur absolue

 Propriété
Pour tout réel
aaa
, on a :
∣−a∣=∣a∣|-a|=|a|∣−a∣=∣a∣
.
Pour tous réels
aaa
 et
bbb
, on a :
∣a×b∣=∣a∣×∣b∣|a\times b|=|a|\times |b|∣a×b∣=∣a∣×∣b∣
.
Pour tous réels
aaa
 et
bbb
, avec
bbb
 non nul, on a :
∣ab∣=∣a∣∣b∣|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}∣ba​∣=∣b∣∣a∣​
.
Exemples
  • \(\quad |-2|=|2|=2\)
Soit 
x∈Rx\in \mathbb{R}x∈R
. On a :
  • \(\quad |2\times x|=|2|\times|x|=2|x|\)
  • \(\quad |\dfrac{x}{5}|=\dfrac{|x|}{|5|}=\dfrac{|x|}{5}\)
Exercice
Démontrer la propriété ci-dessus.