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Translation - Vecteur du plan

sont sur le tapis roulant d'un aéroport et une caméra de sécurité en offre une vue de dessus parfaite...

Sommaire

Activité - Découverte d'une translationTranslationVecteurTranslation particulière : translation de vecteur nulCaractérisation d'un vecteur : direction, sens et normeVecteurs égauxMilieu d'un segment - Vecteurs égauxReprésentants d'un vecteur

Activité - Découverte d'une translation

Trois voyageurs
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont sur le tapis roulant d'un aéroport et une caméra de sécurité en offre une vue de dessus parfaite. On superpose deux photos prises avec cette caméra aux instants
1
et
2
. On peut ainsi observer les "glissements" effectués par les trois voyageurs entre les instants
111
 et
222
. Par exemple,
A1{\text A}_1A1​
symbolise le voyageur
A\text AA
 à l'instant
111
 et
A2{\text A}_2A2​
 le même voyageur à l'instant
222
. Le "glissement" qui transforme
A1\text{A}_1A1​
 en
A2\text{A}_2A2​
 est appelétranslationde vecteur
A1A2→\overrightarrow{\text A_1\text A_2}A1​A2​​
.
1.Entre les instants
111
 et
222
, le voyageur
B\text BB
 va réaliser la même translation que le voyageur
A\text AA
.
Représenter le voyageur
B\text BB
 à l'instant
222
.
2. Le voyageur
C\text CC
 réalise la translation de vecteur
C1C2→\overrightarrow{\text C_1 \text C_2}C1​C2​​
. 
Représenter le voyageur
C\text CC
 à l'instant
111
.

Translation

Définition
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan.
On appelletranslationqui transforme
A\text AA
en 
B\text BB
la transformation du plan qui à tout point
C\text CC
 associe le point
D\text DD
tel que le quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Le point
D\text DD
est l'image du point
C\text CC
par latranslation qui transforme
A\text AA
en 
B\text BB
.
Exemple
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan. On considère la translation qui transforme
A\text AA
en 
B\text BB
.
On considère une figure
F1\text F_1F1​
. On trace en rouge la figure
F2\text F_2F2​
qui est l'image de la figure
F1\text F_1F1​
par cette translation.

Vecteur

Définition
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan.
On considère la translation qui transforme
A\text AA
en 
B\text BB
. Cette translation est appeléetranslationde vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Le point
D\text DD
est l'image du point
C\text CC
par latranslation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Remarque
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan.
On considère la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Soit 
D\text DD
l'image du point
C\text CC
par la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Commele quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
est un parallélogramme (éventuellement aplati), les segments
[AD][\text{AD}][AD]
 et
[BC][\text{BC}][BC]
ont le même milieu (qu'on appelle
M\text MM
).

Translation particulière : translation de vecteur nul

Remarque
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan. On considère la translation qui transforme
A\text AA
en 
B\text BB
.
On suppose que les points
A\text AA
 et
B\text BB
 sont confondus. Alors, un point et son image par cette translation sont confondus.
Cette translation est donc la translation de vecteur
AA→\overrightarrow{\text{AA}}AA
.
Définition
Soit
A\text AA
un point du plan. La translation de vecteur
AA→\overrightarrow{\text{AA}}AA
  est appeléetranslation de vecteur nul. 
On a
AA→=0→\overrightarrow{\text{AA}}=\overrightarrow{0}AA=0
.

Caractérisation d'un vecteur : direction, sens et norme

PropriétéCaractérisation d'un vecteur
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points distincts du plan. Alors le vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 est caractérisé par :
  • sadirection: celle de la droite\((\text{AB})\) ;
  • sonsens: celui de\(\text A\) vers\(\text B\) ;
  • sanorme: la longueur\(\text{AB}\).
Remarques
  • On note aussi\(||\, \overrightarrow{\text{AB}}\,||\)la norme du vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\).
  • Le point\(\text A\) est l'origine du vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\) et le point\(\text B\) son extrémité.
  • Le vecteur nul\(\overrightarrow{0}\) n'a ni direction, ni sens et sa norme est\(0\).
Exemple
On considère un rectangle
ABCD\text{ABCD}ABCD
 de centre
M\text MM
 représenté ci-dessous.
On note
K\text KK
 le milieu du segment
[AD][\text{AD}][AD]
.
1.Les vecteurs
AB→\color{blue}{\overrightarrow{\text{AB}}}AB
 et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
 ont la même direction et la même norme. Ils n'ont pas le même sens.
2.Les vecteurs
AB→\color{blue}{\overrightarrow{\text{AB}}}AB
 et
KM→\color{pink}{\overrightarrow{\text{KM}}}KM
 ont la même direction et le même sens. Ils n'ont pas la même norme.
3.Les vecteurs
AC→\color{red}{\overrightarrow{\text{AC}}}AC
 et
BD→\color{yellow}{\overrightarrow{\text{BD}}}BD
 ont la même norme. Ils n'ont ni la même direction, ni le même sens.
4.Les vecteurs
AD→\color{green}{\overrightarrow{\text{AD}}}AD
 et
BC→\color{green}{\overrightarrow{\text{BC}}}BC
 ont la même direction, le même sens et la même norme.

Vecteurs égaux

Définition
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan.
On considère la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Soit
D\text DD
l'image d'un point
C\text CC
 par la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Alors les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
définissent la même translation.
On dit que les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
sont égauxet on écrit :
AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}AB=CD
.
Exemple 1
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan. On considère la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
On considère une figure
F1\text F_1F1​
. On trace en rouge la figure
F2\text F_2F2​
qui est l'image de la figure
F1\text F_1F1​
par cette translation.
Le point
C\color{blue}{\text C}C
a pour image le point
D\color{red}{\text D}D
par cette translation.
Le point
E\color{blue}{\text E}E
a pour image le point
F\color{red}{\text F}F
par cette translation.
Le point
G\color{blue}{\text G}G
a pour image le point
H\color{red}{\text H}H
par cette translation.
Le point
I\color{blue}{\text I}I
a pour image le point
J\color{red}{\text J}J
par cette translation.
Le point
K\color{blue}{\text K}K
a pour image le point
L\color{red}{\text L}L
par cette translation.
On a donc :
AB→=CD→=EF→=GH→=IJ→=KL→\color{green}{\overrightarrow{\text{AB}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{CD}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{EF}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{GH}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{IJ}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{KL}}}AB=CD=EF=GH=IJ=KL
.
Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
 et
D\text DD
 quatre points distincts du plan.
Les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
 sontégauxsi et seulement s'ils ont lamême direction, lemême senset lamême norme.
Exemple 2
On considère un rectangle
ABCD\text{ABCD}ABCD
 de centre
M\text MM
 représenté ci-dessous.
On note
K\text KK
 le milieu du segment
[AD][\text{AD}][AD]
.
  • Les vecteurs\(\color{red}{\overrightarrow{\text{AB}}}\) et\(\color{orange}{\overrightarrow{\text{CD}}}\) ont la même direction et la même norme. Ils n'ont pas le même sens. Ils ne sont donc pas égaux.
  • Les vecteurs\(\color{green}{\overrightarrow{\text{AD}}}\) et\(\color{green}{\overrightarrow{\text{BC}}}\) ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux.

Milieu d'un segment - Vecteurs égaux

Propriété
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points distincts du plan.
Le point
M\text MM
 est lemilieudu segment
[AB][\text{AB}][AB]
 si et seulement si
AM→=MB→\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}AM=MB
.
Démonstration
M est le milieu de [AB]⇔M∈[AB] et AM=MB⇔{(AM)//(MB) car les droites sont confondues,le sens de A vers M est celui de M vers BAM=MB⇔AM→=MB→\begin{array}{ccl}\text{M est le milieu de [AB]} &\Leftrightarrow & \text M \in [\text{AB}] \text{ et } \text{AM} = \text{MB} \\& \Leftrightarrow & \begin{cases} (\text{AM}) // (\text{MB}) \text{ car les droites sont confondues,}\\ \text{le sens de A vers M est celui de M vers B}\\ \text{AM} = \text{MB} \\ \end{cases} \\& \Leftrightarrow & \overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\end{array}M est le milieu de [AB]​⇔⇔⇔​M∈[AB] et AM=MB⎩⎨⎧​(AM)//(MB) car les droites sont confondues,le sens de A vers M est celui de M vers BAM=MB​AM=MB​

Représentants d'un vecteur

Notation
Un vecteur peut aussi se noter
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
,
w→\overrightarrow{w}w
, etc.
Définition
On considère une translation de vecteur
u→\overrightarrow{\text{u}}u
.
Le point
A\text AA
a pour image le point
B\text BB
par cette translation.
Le  point
C\text CC
a pour image le point
D\text DD
par cette translation.
On a donc :
u→=AB→=CD→\overrightarrow{\text{u}}=\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}u=AB=CD
.
On dit que les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
sont des représentantsd'un même vecteur.
Remarque
Un vecteur possède une infinité de représentants.