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Somme de deux vecteurs

suiviede la translation de vecteur

Sommaire

Enchaînement de deux translationsSomme de deux vecteursSomme de vecteurs - PropriétésVecteurs opposésDifférence entre deux vecteursRelation de Chasles☛ Somme de vecteurs et parallélogramme : une propriété pas à pas

Enchaînement de deux translations

Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 deux vecteurs du plan.
La translation de  vecteur
u→\overrightarrow{u}u
suiviede la translation de vecteur
v→\overrightarrow{v}v
est une translation.
Remarque
On dit que l'on enchaîne deux translations.
Exemple
Soit
u→\color{green}{\overrightarrow{u}}u
 et
v→\color{orange}{\overrightarrow{v}}v
 deux vecteurs du plan.
On considère une figure
F1\color{blue}{\text{F}_1}F1​
. La figure
F1\color{blue}{\text F_1}F1​
 a pour image la figure
F2\color{red}{\text F_2}F2​
par la translation de vecteur
u→\color{green}{\overrightarrow{u}}u
  et la figure
F2\color{red}{\text F_2}F2​
a pour image la figure
F3\color{purple}{\text F_3}F3​
par la translation de  vecteur
v→\color{orange}{\overrightarrow{v}}v
.\(\)
Alors, la figure
F1\color{blue}{\text F_1}F1​
a pour image la figure
F3\color{purple}{\text F_3}F3​
par une translation.
Remarque
Lorsque l'on enchaîne plusieurs translations, on obtient également une translation.

Somme de deux vecteurs

Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 deux vecteurs du plan.
On considère la translation de vecteur
u→\overrightarrow{u}u
suivie de la translation de vecteur
v→\overrightarrow{v}v
 : c'est une translation d'un vecteur que l'on appelle
w→\overrightarrow{w}w
.
Alors on dit que le vecteur
w→\overrightarrow{w}w
estla sommedes vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
. On note
w→=u→+v→\boxed{\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} }w=u+v​
.
Remarque
En enchaînant plusieurs translations, on définit la somme de plusieurs vecteurs.

Somme de vecteurs - Propriétés

Propriétés
Soit
u→\overrightarrow{u}u
, 
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
 trois vecteurs du plan. On a les propriétés suivantes.
  • Associativité :\(\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)\).
  • Élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\).  
  • Commutativité : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\).
Démonstration
Soit
u→\overrightarrow{u}u
, 
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
 trois vecteurs du plan.
Montrons que 
(u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)(u+v)+w=u+(v+w)
.
Soit 
A\text AA
 un point du plan. On construit le point 
B\text BB
 tel que 
AB→=u→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}AB=u
, puis le point 
C\text CC
 tel que 
BC→=v→\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}BC=v
 et enfin le point 
D\text DD
 tel que 
CD→=w→\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{w}CD=w
.
Dans un premier temps, l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
u→+v→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}u+v
 est le point 
C\text CC
 et, puisque l'image du point 
C\text CC
 par la translation de vecteur 
w→\overrightarrow{w}w
 est le point 
D\text DD
, alors l'image du point 
A\text AA
 par la translation de vecteur 
(u→+v→)+w→\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w}(u+v)+w
 est le point 
D\text DD
. Dans un second temps,l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
 est le point 
B\text BB
 et, puisquel'image du point 
B\text BB
 par la translation de vecteur 
v→+w→\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}v+w
 est le point 
D\text DD
, alors l'image du point 
A\text AA
 par la translation de vecteur 
u→+(v→+w→)\overrightarrow{u} + \left( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right)u+(v+w)
 est le point 
D\text DD
.
Ceci étant vrai pour tout point 
A\text AA
 du plan, on a
(u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)\boxed{\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \right)}(u+v)+w=u+(v+w)​
.
Montrons que 
u→+0→=u→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}u+0=u
.
Soit 
A\text AA
 un point du plan. On construit le point 
B\text BB
 tel que 
AB→=u→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}AB=u
, puisle point 
C\text CC
 tel que 
BC→=0→\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}BC=0
 .
Ainsi, l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
u→+0→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}u+0
 est le point 
C\text CC
. Or, puisque 
BC→=0→\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{0}BC=0
, les points 
B\text BB
 et 
C\text CC
 sont confondus. Donc l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
u→+0→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0}u+0
 est le point 
B\text BB
. Donc on a 
u→+0→=AB→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{\text{AB}}u+0=AB
 soit 
u→+0→=u→\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}}u+0=u​
.
Montrons que 
u→+v→=v→+u→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}u+v=v+u
.
Soit 
A\text AA
 un point du plan. On construit le point 
B\text BB
 tel que 
AB→=u→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}AB=u
, puisle point 
C\text CC
 tel que 
BC→=v→\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}BC=v
 . Ainsi,l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
u→+v→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}u+v
 est le point 
C\text CC
.On construit le point 
D\text DD
 tel que 
AD→=v→\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{v}AD=v
, puisle point 
E\text EE
 tel que 
DE→=u→\overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}DE=u
. Ainsi, l'image du point 
A\text{A}A
 par la translation de vecteur 
v→+u→\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}v+u
 est le point 
E\text EE
.
Dans un premier temps, on a 
AB→=DE→=u→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DE}} = \overrightarrow{u}AB=DE=u
 donc le quadrilatère 
ABED\text{ABED}ABED
 est un parallélogramme. Donc on a 
AB→+AD→=AE→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AE}}AB+AD=AE
 soit 
u→+v→=AE→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{AE}}u+v=AE
.
Dans un second temps, on a 
AD→=BC→=v→\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{v}AD=BC=v
 donc le quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un parallélogramme. Donc on a 
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AC}}AB+AD=AC
 soit 
v→+u→=AE→\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{AE}}v+u=AE
.
En remarquant que, d'après ce qui précède, on a 
AC→=AE→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AE}}AC=AE
, on a donc 
u→+v→=v→+u→\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}}u+v=v+u​
.

Vecteurs opposés

Définition
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan. On considère le vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Alors, on dit que le vecteur
BA→\overrightarrow{\text{BA}}BA
est levecteur opposéau vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Remarque
Un vecteur et son vecteur opposé ont même direction et même norme, mais ils sont de sens contraires.
Notation
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points du plan. On considère le vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Le vecteur
BA→\overrightarrow{\text{BA}}BA
se note aussi
−AB→-\overrightarrow{\text{AB}}−AB
.
Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
un vecteur du plan. On a : 
u→+(−u→)=0→\overrightarrow{u} + \left(-\overrightarrow{u}\right) = \overrightarrow{0}u+(−u)=0
.
Démonstration
Soit 
A\text AA
 un point du plan. On construit le point 
B\text BB
 tel que 
AB→=u→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}AB=u
. Ainsi, on a 
−u→=−AB→-\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{\text{AB}}−u=−AB
 soit 
−u→=BA→-\overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{BA}}−u=BA
. On en déduit que l'image du point 
B\text BB
 par la translation de vecteur 
−u→-\overrightarrow{u}−u
 est 
A\text AA
. Donc l'image du point 
A\text AA
 par la translation de vecteur 
u→+(−u→)\overrightarrow{u} + \left( -\overrightarrow{u} \right)u+(−u)
 est le point 
A\text AA
. Autrement dit, on a 
u→+(−u→)=AA→\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{\text{AA}}u+(−u)=AA
 soit 
u→+(−u→)=0→\boxed{\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{0}}u+(−u)=0​
.

Différence entre deux vecteurs

Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs du plan. 
Alors, la différence entre les deux vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et
v→\overrightarrow{v}v
est le vecteur
u→−v→\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}u−v
 défini par
u→−v→=u→+(−v→)\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{-v})u−v=u+(−v​)
.
Exemple
Soit
u→\color{green}{\overrightarrow{u}}u
 et
v→\color{orange}{\overrightarrow{v}}v
 deux vecteurs du plan.
On considère une figure
F1\color{blue}{\text{F}_1}F1​
. La figure
F1\color{blue}{\text F_1}F1​
a pour image la figure
F2\color{red}{\text F_2}F2​
par la translation de vecteur
u→\color{green}{\overrightarrow{u}}u
  et la figure
F2\color{red}{\text F_2}F2​
 a pour image la figure
F3\color{purple}{\text F_3}F3​
par la translation de vecteur
−v→\color{orange}{-\overrightarrow{v}}−v
.
Ainsi, lafigure
F1\color{blue}{\text F_1}F1​
 a pour image la figure
F3\color{purple}{\text F_3}F3​
par la translation de vecteur
u→−v→\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}u−v
.

Relation de Chasles

Propriété Relation de Chasles
Soit
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 trois points du plan.
On a l'égalité vectorielle suivante  
AB→+BC→=AC→\boxed{\overrightarrow{\text{A}\color{blue}{\text{B}}} + \overrightarrow{\color{blue}{\text{B}}\text{C}} = \overrightarrow{\text{AC}}}AB+BC=AC​
.
Remarque
Michel Chasles (1793-1880) est un mathématicien français ayant notamment réalisé de nombreux travaux en géométrie projective.
Démonstration
Soit
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 trois points du plan.
On considère la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
suivie dela translation de vecteur
BC→\overrightarrow{\text{BC}}BC
.
C'est latranslation de vecteur\(\overrightarrow{\text{AC}}\).En effet, l'image du point
A\text AA
par l'enchaînement de ces deux translations est le point
C\text CC
.
D'autre part, par définition de la somme de deux vecteurs, la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
suivie de la translation de vecteur
BC→\overrightarrow{\text{BC}}BC
estla translation de vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\).
On obtient donc
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}}AB+BC=AC
.
Exemple
À l'aide de la relation de Chasles, on simplifie les expressions suivantes.
  • \(\overrightarrow{\text{K}{\color{blue}{\text{S}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{S}}\text{O}}} =\overrightarrow{\text{KO}}\)
  • \(\overrightarrow{\text{TA}} + \overrightarrow{\text{IT}} =\overrightarrow{\text{I}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{A}}}=\overrightarrow{\text{IA}}\)
  • \(\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{TH}} + \overrightarrow{\text{AT}} =\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{A}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{A}}\text{T}}} + \overrightarrow{\text{TH}}=\overrightarrow{\text{M}{\color{blue}{\text{T}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{T}}\text{H}}} =\overrightarrow{\text{MH}}\)
  • \(\overrightarrow{\text{PR}} - \overrightarrow{\text{FO}} + \overrightarrow{\text{RO}} = \overrightarrow{\text{PR}} + \overrightarrow{\text{OF}} + \overrightarrow{\text{RO}} =\overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{R}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{R}}\text{O}}} + \overrightarrow{\text{OF}} = \overrightarrow{\text{P}{\color{blue}{\text{O}}}} + \overrightarrow{{\color{blue}{\text{O}}\text{F}}} = \overrightarrow{\text{PF}}\)
Remarque
Soit
A\text AA
et
B\text BB
deux points du plan.
On a
AB→+BA→=AA→=0→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{AA}} = \overrightarrow{0}AB+BA=AA=0
.

☛ Somme de vecteurs et parallélogramme : une propriété pas à pas

Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
 et
D\text DD
 quatre points du plan.
Alors
ABDC\text{ABDC}ABDC
 est un parallélogramme si et seulement si
AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+AC=AD
.
Énoncé
Le but de cet exercice est de démontrer la propriété ci-dessus.
1.Démonstration du sens direct : supposons que
ABDC\text{ABDC}ABDC
est un parallélogramme.a.Déterminer un vecteur égal au vecteur
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.b.À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur
AD→\overrightarrow{\text{AD}}AD
puis conclure.
2.Démonstration du sens réciproque : supposons que 
AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+AC=AD
.a. À l'aide de la relation de Chasles, montrer que 
AC→=BD→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}AC=BD
.b.Conclure.
Solution
1.Soit 
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
 et
D\text DD
 quatre points du plan tels que
ABDC\text{ABDC}ABDC
est un parallélogramme.a.Puisque 
ABDC\text{ABDC}ABDC
 est un parallélogramme, on a
AC→=BD→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}AC=BD
.b.D'après la relation de Chasles, on a
AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+BD=AD
. Or,
AC→=BD→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}AC=BD
. Donc
AB→+AC→=AD→\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}}AB+AC=AD​
2. Soit
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
 et
D\text DD
 quatre points du plan tels que
AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+AC=AD
.a.D'après la relation de Chasles, on a
AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+BD=AD
. Donc on a
AB→+AC→=AB→+BD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}}AB+AC=AB+BD
.
         Ainsi, on obtient
AC→=BD→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}AC=BD
.b.Puisque
AC→=BD→\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{BD}}AC=BD
, on peut conclure que le quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
 est un parallélogramme.