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Produit d'un vecteur par un réel

Sur GeoGebra, on construit un vecteur

Sommaire

Activité - Produit d'un vecteur par un réelProduit d'un vecteur par un réelProduit d'un vecteur par un réel - PropriétésMilieu d'un segment - Égalités vectorielles

Activité - Produit d'un vecteur par un réel

Sur GeoGebra, on construit un vecteur
u→\overrightarrow{u}u
, un point
A\text AA
. Soit 
kkk
 un curseur d'incrément
0,50,50,5
allant de
−3-3−3
à
333
.
1.Cliquer sur le bouton "Placer le point B" pour construire le point
B\text BB
 défini par
AB→=k×u→\overrightarrow{\text{AB}} = k \times \overrightarrow{u}AB=k×u
.a.Si
k=1k=1k=1
, quelle propriété du cours retrouve-t-on concernant les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
u→\overrightarrow{u}u
 ?b.Si
k>0k>0k>0
, comparer les directions, les sens et les normes des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
u→\overrightarrow{u}u
.c.Si
k<0k<0k<0
, comparer les directions, les sens et les normes des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
u→\overrightarrow{u}u
.
2.Cliquer sur le(s) bouton(s) "Créer un point A" et/ou "Créer un vecteur u" pour changer de configuration. Vérifier les conjectures émises à la question1.

Produit d'un vecteur par un réel

Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur non nul et
kkk
 un réel non nul.
Leproduitdu vecteur
u→\overrightarrow{u}u
par le réel
kkk
est le vecteur, noté
k×u→k \times \overrightarrow{u}k×u
, caractérisé par :
  • le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a la même direction que le vecteur\(\overrightarrow{u}\) ;
  • si \(k > 0\), alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a le même sens que le vecteur\(\overrightarrow{u}\)  et si\(k > 0\)alors le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a le sens contraire du vecteur\(\overrightarrow{u}\) ;
  • le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\)a pour norme \(\mid k \mid \times || \overrightarrow{u}||\).
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur. Si
k=0k=0k=0
, alors
0×u→=0→0 \times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}0×u=0
.
Soit
kkk
 un réel. Si
u→=0→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}u=0
, alors
k×0→=0→k \times \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}k×0=0
.
Remarque
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur. On a
−1×u→=−u→-1\times\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}−1×u=−u
.
Exemple
On considère un vecteur
u→\overrightarrow{u}u
.
Voici les vecteurs
14×u→\dfrac{1}{4} \times \overrightarrow{u}41​×u
 , 
3×u→3 \times \overrightarrow{u}3×u
,  
−u→-\overrightarrow{u}−u
 et 
−12×u→-\dfrac{1}{2} \times \overrightarrow{u}−21​×u
.

Produit d'un vecteur par un réel - Propriétés

Propriétés
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 deux vecteurs du plan. Soit
kkk
 et
k′k^{\prime}k′
 deux réels. Alors on a les propriétés suivantes.
  • \(k \times \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \right) = k \times \overrightarrow{u} + k \times \overrightarrow{v}\)
  • \(k \times \overrightarrow{u} + k^{\prime} \times \overrightarrow{u} = \left(k + k^{\prime} \right) \times \overrightarrow{u}\)
  • \(k\times \left( k^{\prime} \times \overrightarrow{u} \right) = \left( k \times k^{\prime} \right) \times \overrightarrow{u}\)
Exemple
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 deux vecteurs du plan.
  • \(2 \times \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) = 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\)
  • \(3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{u} = (3 + 5) \times \overrightarrow{u} = 8 \overrightarrow{u}\)
  • \(7 \times \left( 4\overrightarrow{u} \right) = \left( 7 \times 4 \right) \times \overrightarrow{u} = 28 \overrightarrow{u}\)

Milieu d'un segment - Égalités vectorielles

Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
 et
M\text MM
 trois points du plan. On a les équivalences suivantes.
  • Le point\(\text M\) est le milieu du segment\([\text{AB}]\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{AM}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{MB}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{AB}} = 2 \overrightarrow{\text{AM}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{AB}} = 2 \overrightarrow{\text{MB}}\).