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Somme de deux vecteurs

On considère la figure ci-dessous. Placer les points suivants.

Sommaire

Sommes de vecteurs (1)Trouver le bon vecteurRelation de ChaslesSommes de vecteurs (2)Différence de deux vecteursRelation de Chasles et parallélogramme

Sommes de vecteurs (1)

On considère la figure ci-dessous. Placer les points suivants.
1.Le point
B\text BB
 défini par
AB→=a→+b→\overrightarrow{\text{AB}} = \color{blue}{\overrightarrow{a}} + \color{green}{\overrightarrow{b}}AB=a+b
.
2. Le point
D\text DD
 défini par
CD→=d→+g→\overrightarrow{\text{CD}} = \color{orange}{\overrightarrow{d}} + \overrightarrow{g}CD=d+g​
.
3. Le point
F\text FF
 défini par
EF→=e→−c→\overrightarrow{\text{EF}} = \color{purple}{\overrightarrow{e}} - \color{red}{\overrightarrow{c}}EF=e−c
.
4. Le point
H\text HH
 défini par
GH→=f→+d→+b→\overrightarrow{\text{GH}} = \color{pink}{\overrightarrow{f}} + \color{orange}{\overrightarrow{d}} + \color{green}{\overrightarrow{b}}GH=f​+d+b
. Comment peut-on définir plus simplement le vecteur
GH→\overrightarrow{\text{GH}}GH
 ?

Trouver le bon vecteur

On considère la figure ci-dessous. À l'aide des points donnés, déterminer un vecteur égal à chacun des vecteurs suivants.
  • \(\color{green}{\overrightarrow{b}} + \color{red}{\overrightarrow{c}}\)
  • \(\color{pink}{\overrightarrow{f}} + \color{purple}{\overrightarrow{e}}\)
  • \(\color{orange}{\overrightarrow{d}} + \color{red}{\overrightarrow{c}}\)
  • \(\overrightarrow{g} + \color{green}{\overrightarrow{b}} + \color{pink}{\overrightarrow{f}}\)
  • \(\color{blue}{\overrightarrow{a}} + \overrightarrow{g} + \color{purple}{\overrightarrow{e}}\)
  • \(\color{red}{\overrightarrow{c}} - \color{purple}{\overrightarrow{e}} + \color{green}{\overrightarrow{b}} - \color{blue}{\overrightarrow{a}}\)

Relation de Chasles

À l'aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions vectorielles suivantes.
1.
AB→+BC→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}}AB+BC
2.
PQ→+QR→+RS→\overrightarrow{\text{PQ}} + \overrightarrow{\text{QR}} + \overrightarrow{\text{RS}}PQ​+QR​+RS
3.
XY→+ZX→+YZ→\overrightarrow{\text{XY}} + \overrightarrow{\text{ZX}} + \overrightarrow{\text{YZ}}XY+ZX+YZ
4.\(\overrightarrow{\text{MN}} + \overrightarrow{\text{OM}}\)
5.
DE→+EF→−GF→\overrightarrow{\text{DE}} + \overrightarrow{\text{EF}} - \overrightarrow{\text{GF}}DE+EF−GF
6.
KN→−TP→+NP→\overrightarrow{\text{KN}} - \overrightarrow{\text{TP}} + \overrightarrow{\text{NP}}KN−TP+NP
7.
AB→−AC→\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}}AB−AC
8.
AB→−TB→+CD→+TA→\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{TB}} + \overrightarrow{\text{CD}} + \overrightarrow{\text{TA}}AB−TB+CD+TA
9.
−TS→+SR→+TM→+QT→−QM→-\overrightarrow{\text{TS}} + \overrightarrow{\text{SR}} + \overrightarrow{\text{TM}} + \overrightarrow{\text{QT}} - \overrightarrow{\text{QM}}−TS+SR+TM+QT​−QM​
10.
PF→−EF→+RK→−RE→\overrightarrow{\text{PF}} -\overrightarrow{\text{EF}} + \overrightarrow{\text{RK}} - \overrightarrow{\text{RE}}PF−EF+RK−RE

Sommes de vecteurs (2)

On considère la figure ci-dessous.
Compléter les égalités suivantes.
1.
AB→+BI→=……\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BI}}=\ldots \ldotsAB+BI=……
2.\(\overrightarrow{\text{EC}}+\overrightarrow{\text{CJ}}=\ldots \ldots\)
3.
BF→+……=BC→\overrightarrow{\text{BF}}+\ldots \ldots=\overrightarrow{\text{BC}}BF+……=BC
4.\(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}=\ldots \ldots\)
5. \(\overrightarrow{\text{BI}}+\overrightarrow{\text{EI}}=\ldots \ldots\)
6. \(\overrightarrow{\text{ED}}+\ldots \ldots=\overrightarrow{\text{EC}}\)
7.
JI→+…G→=J…→\overrightarrow{\text{JI}}+\overrightarrow{\ldots \text{G}}=\overrightarrow{\text{J} \ldots}JI+…G=J…
8.
GE→+E…→=…F→\overrightarrow{\text{GE}}+\overrightarrow{\text{E} \ldots}=\overrightarrow{\ldots \text{F}}GE+E…=…F
9. \(\overrightarrow{\text{C} \ldots} + \overrightarrow{\text{HF}}=\overrightarrow{\ldots \text{F}}\)
10.
…B→+……=IJ→\overrightarrow{\ldots\text{B}}+\ldots \ldots=\overrightarrow{\text{IJ}}…B+……=IJ
11.
C…→+…D→=……\overrightarrow{\text{C} \ldots} + \overrightarrow{\ldots\text{D}}={\ldots \ldots}C…+…D=……

Différence de deux vecteurs

On considère la figure ci-dessous.
Compléter les égalités suivantes.
1.
CD→−FD→=……\overrightarrow{\text{CD}}-\overrightarrow{\text{FD}}=\ldots \ldotsCD−FD=……
2.\(\overrightarrow{\text{ED}}-\overrightarrow{\text{BJ}}=\ldots \ldots\)
3.
AB→−DC→=……\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{DC}}=\ldots \ldotsAB−DC=……
4.\(\overrightarrow{\text{AJ}}-\overrightarrow{\text{IF}}=\ldots \ldots\)

Relation de Chasles et parallélogramme

Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un parallélogramme de centre
O\text OO
.
Soit
E\text EE
 le symétrique du point
B\text BB
 par rapport au point
C\text CC
.
Soit
F\text FF
 le point défini par
EF→=AO→+DO→\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{DO}}EF=AO+DO
.
1. a.Donner un vecteur égal au vecteur
AO→\overrightarrow{\text{AO}}AO
.b.En déduire, à l'aide de la relation de Chasles, une simplification de l'écriture vectorielle
AO→+DO→\overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{DO}}AO+DO
.
2. a.Déterminer deux vecteurs égaux au vecteur
DC→\overrightarrow{\text{DC}}DC
.b.En déduire la nature du quadrilatère
ABFE\text{ABFE}ABFE
.