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Colinéarité de deux vecteurs et applications

sontcolinéairess'ils ont même direction.

Sommaire

Vecteurs colinéairesCritère de colinéarité de deux vecteursDéterminant de deux vecteursParallélisme de deux droitesAlignement de trois points

Vecteurs colinéaires

Définition
  • Soit\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)deux vecteurs non nuls.
On dit que les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sontcolinéairess'ils ont même direction.
  • On dit que levecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété
Deux vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sontcolinéaires si et seulement si il existe un réel
kkk
tel que
v→=k×u→\boxed{\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}}v=k×u​
 ou
u→=k×v→\boxed{\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}}u=k×v​
.
Le réel
kkk
 ainsi défini est alors appelécoefficient de colinéarité.
Exemple
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 une base du plan. Soit
u→(4−1)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -1\\\end{pmatrix}u(4−1​)
et
v→(−82)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -8\\ 2\\ \end{pmatrix}v(−82​)
deux vecteurs du plan.
On remarque que
v→=−2×u→\overrightarrow{v} = -2 \times \overrightarrow{u}v=−2×u
.
Donc les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont colinéaires (c'est-à-dire
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
ont la même direction).

Critère de colinéarité de deux vecteurs

Propriété
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
une base du plan. Soit
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}u(xy​)
et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
deux vecteurs.
Les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sontcolinéairessi et seulement si
xy′−x′y=0\boxed{\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0}xy′−x′y=0​
.
Remarque
Ceci signifie que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont deux à deux proportionnelles.
Démonstration
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
une base du plan. Soit
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}u(xy​)
et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
deux vecteurs.
  • Supposons que les vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)sont colinéaires.
    Premier cas : les deux vecteurs sont non nuls.
    Alors il existe un réel\(k\)tel que\(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\)et on a donc\(\begin{cases}\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x} \\\color{orange}{y^{\prime}} = k \times \color{red}{y} \\\end{cases}\).
    Ainsi,\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = \color{green}{x} \times k\color{red}{y} - k\color{green}{x} \times \color{red}{y} = 0\).
    Deuxième cas : un des vecteurs est le vecteur nul,par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\)est le vecteur nul.
    Alors\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0 \times \color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}} \times 0 = 0\).
  • Supposons que\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\).Si l'un des deux vecteurs est nul, par exemple le vecteur \(\overrightarrow{u}\), alors il est colinéaire à tout vecteur du plan, donc il est colinéaire au vecteur\(\overrightarrow{v}\).
  • Supposons maintenant qu'aucun des deux vecteur est le vecteur nul. On a en particulier\(\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}\)donc \(\color{green}{x} \neq 0\)ou\(\color{red}{y} \neq 0\). Supposons par exemple que\(\color{green}{x} \neq 0\)(sinon, on effectue le même raisonnement avec \(\color{red}{y} \neq 0\)).
    On pose\(k = \dfrac{\color{blue}{x^{\prime}}}{\color{green}{x}}\)soit\(\color{blue}{x^{\prime}} = k \times \color{green}{x}\).
    Puisque\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y} = 0\)on a\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}\)et donc\(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} = k \color{green}{x}\color{red}{y}\)soit\(\color{orange}{y^{\prime}} =k \times \color{red}{y}\)car\(\color{green}{x} \neq 0\).
    Ainsi, on a\(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\)et les vecteurs\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)sont colinéaires.

Déterminant de deux vecteurs

Définition
Soit
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
une base du plan. Soit
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}u(xy​)
et
v→(x′y′)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}v(x′y′​)
deux vecteurs.
Le réel
xy′−x′y\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}xy′−x′y
est appelédéterminantdes vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
dans la base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
.
On le note
det(u→,v→)\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right)det(u,v)
ou encore
∣xx′yy′∣\left\lvert \begin{array}{cc}\color{green}{x} & \color{blue}{x^{\prime}}\\\color{red}{y} & \color{orange}{y^{\prime}} \\\end{array} \right\rvert​xy​x′y′​​
.
Exemple
Dans une base
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
du plan, on considère les vecteurs
u→(16−24)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 16\\ -24\\ \end{pmatrix}u(16−24​)
,
v→(−1218)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -12\\ 18\\ \end{pmatrix}v(−1218​)
et
w→(5−8)\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ \end{pmatrix}w(5−8​)
.
1.Les vecteurs  
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont-ils colinéaires ?
On a
det(u→,v→)=∣16−12−2418∣=16×18−(−24)×(−12)=0.\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & -12 \\ -24 & 18\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times 18 - (-24)\times(-12) = 0.det(u,v)=​16−24​−1218​​=16×18−(−24)×(−12)=0.
Le déterminant des vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
est égal à zéro. On écrit
det(u→,v→)=0\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right) =0det(u,v)=0
.
Donc les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont colinéaires. Ils ont la même direction.
2.Les vecteurs  
u→\overrightarrow{u}u
et
w→\overrightarrow{w}w
sont-ils colinéaires ?
On a
det(u→,w→)=∣165−24−8∣=16×(−8)−(−24)×5=−8\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & 5 \\ -24 & -8\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times (-8) - (-24)\times5 = -8det(u,w)=​16−24​5−8​​=16×(−8)−(−24)×5=−8
.
Le déterminant des vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
w→\overrightarrow{w}w
n'est pas égal à zéro. On écrit
det(u→,w→)≠0\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right) \neq 0det(u,w)=0
.
Les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
w→\overrightarrow{w}w
ne sont pas colinéaires. Ils n'ont pas la même direction.

Parallélisme de deux droites

Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
D\text DD
quatre points distincts.
Les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
et
(CD)(\text{CD})(CD)
sontparallèlessi et seulement si les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
sontcolinéaires.
Exemple
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text{O} ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère
A(−4 ;3)\text A \left(-4~;3 \right)A(−4 ;3)
,
B(1 ;−5)\text B \left(1~;-5 \right)B(1 ;−5)
,
C(11 ;−6)\text C \left(11~;-6 \right)C(11 ;−6)
et
D(1 ;10)\text D \left(1~;10 \right)D(1 ;10)
.
On a
AB→(5−8)\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}AB(5−8​)
et 
CD→(−1016)\overrightarrow{\text{CD}}\begin{pmatrix} -10\\ 16 \\ \end{pmatrix}CD(−1016​)
.
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :
det(AB→,CD→)=5×16−(−10)×(−8)=0\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{CD}}\right) = 5 \times 16 - (-10) \times (-8) = 0det(AB,CD)=5×16−(−10)×(−8)=0
.
Les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
sont colinéaires. Donc les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
et
(CD)(\text{CD})(CD)
sont parallèles.

Alignement de trois points

Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points distincts.
Les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text{C}C
sontalignéssi et seulement si les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
sontcolinéaires.
Démonstration
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points distincts.
On sait, d'après la propriété précédente, que les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
et
(AC)(\text{AC})(AC)
sont parallèles si et seulement si les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
sont colinéaires.
Ceci peut aussi s'énoncer : les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text{C}C
sont alignés si et seulement si les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
sont colinéaires.
Exemple
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text{O}~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère
A(−4 ;3)\text A \left(-4~;3 \right)A(−4 ;3)
,
B(1 ;−5)\text B \left(1~;-5 \right)B(1 ;−5)
et
C(11 ;−21)\text C \left(11~;-21 \right)C(11 ;−21)
.
On a
AB→(5−8)\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}AB(5−8​)
et 
AC→(15−24)\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix} 15\\ -24 \\ \end{pmatrix}AC(15−24​)
.
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :
det(AB→,AC→)=5×(−24)−15×(−8)=0\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AC}}\right) = 5 \times (-24) - 15 \times (-8) = 0det(AB,AC)=5×(−24)−15×(−8)=0
.
Les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
sont colinéaires. Donc les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
et
(AC)(\text{AC})(AC)
sont parallèles (confondues), ce qui signifie que les
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
sontalignés.