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Repère et coordonnées

\(\left( \color{green}{\overrightarrow{i}} , \color{red}{\overrightarrow{j}} \right)\)

Sommaire

Lire graphiquement les coordonnées d'un vecteurTracer un vecteur de coordonnées donnéesCalculer les coordonnées d'un vecteurVrai ou faux ?

Lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur

Dans une base orthonormée
(i→,j→)\left( \color{green}{\overrightarrow{i}} , \color{red}{\overrightarrow{j}} \right)(i,j​)
du plan, on a représenté sept vecteurs.
Décomposer chacun de ces vecteurs dans la base
(i→,j→)\left( \color{green}{\overrightarrow{i}} , \color{red}{\overrightarrow{j}} \right)(i,j​)
et donner leurs coordonnées.

Tracer un vecteur de coordonnées données

Dans une base orthonormée
(i→,j→)\left(\color{green}{\overrightarrow{i}} , \color{red}{\overrightarrow{j}}\right)(i,j​)
du plan, on considère les vecteurs
a→(21)\overrightarrow{a}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}a(21​)
,
b→(30)\overrightarrow{b}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}b(30​)
,
c→(−13)\overrightarrow{c}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}c(−13​)
,
d→(4−1)\overrightarrow{d}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}d(4−1​)
,
e→(0−2)\overrightarrow{e}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}e(0−2​)
,
f→(−1−2)\overrightarrow{f}\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}f​(−1−2​)
,
g→(−1−4)\overrightarrow{g}\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \end{pmatrix}g​(−1−4​)
 et
h→(−4−1)\overrightarrow{h}\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}h(−4−1​)
.
On considère aussi les points
A,B,C,D,E,F,G\text A, \text B, \text C, \text D, \text E, \text F, \text GA,B,C,D,E,F,G
et 
H\text HH
ci-dessous.
Tracer les vecteurs suivants.
1.Tracer le représentant du vecteur
a→\overrightarrow{a}a
 d'origine
A\text AA
.
2.Tracer le représentant du vecteur
b→\overrightarrow{b}b
 d'origine
B\text BB
.
3.Tracer le représentant du vecteur
c→\overrightarrow{c}c
 d'origine
C\text CC
.
4.Tracer le représentant du vecteur
d→\overrightarrow{d}d
 d'origine
D\text DD
.
5.Tracer le représentant du vecteur
e→\overrightarrow{e}e
 d'origine
E\text EE
.
6.Tracer le représentant du vecteur
f→\overrightarrow{f}f​
 d'origine
F\text FF
.
7.Tracer le représentant du vecteur
g→\overrightarrow{g}g​
 d'origine
G\text GG
.
8.Tracer le représentant du vecteur
h→\overrightarrow{h}h
 d'origine
H\text HH
.

Calculer les coordonnées d'un vecteur

Le plan est muni d'un repère
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
.
Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
1.
A(0 ;4)\text{A}(0~;4)A(0 ;4)
 et 
B(−1 ;1)\text{B}(-1~;1)B(−1 ;1)
.
2.
A(−2 ;1)\text{A}(-2~;1)A(−2 ;1)
 et 
B(1 ;−1)\text{B}(1~;-1)B(1 ;−1)
.
3.
A(7 ;0)\text{A}(7~;0)A(7 ;0)
 et 
B(0 ;7)\text{B}(0~;7)B(0 ;7)
.
4.
A(−2 ;3)\text{A}(-2~;3)A(−2 ;3)
 et 
B(−5 ;−1)\text{B}(-5~;-1)B(−5 ;−1)
.
5.
A(−2 ;−1)\text{A}(-2~;-1)A(−2 ;−1)
 et 
B(−1 ;1)\text{B}(-1~;1)B(−1 ;1)
.
6.\(\text A \left( 2; 3 \right)\)et
B(5;7)\text B\left( 5; 7 \right)B(5;7)
7.\(\text A \left( -1; 4 \right)\) et
B(3;−2)\text B\left( 3; -2 \right)B(3;−2)
8.\(\text A \left( 0; 0 \right)\) et
B(−3;5)\text B\left( -3; 5 \right)B(−3;5)
9.\(\text A \left( 6; -3 \right)\) et
B(10;9)\text B\left( 10; 9 \right)B(10;9)
10.\(\text A \left( 13; 4 \right)\) et
B(13;−9)\text B\left( 13; -9 \right)B(13;−9)
11.\(\text A \left( 12; -13 \right)\) et
B(−5;−6)\text B\left( -5; -6 \right)B(−5;−6)
12.\(\text A \left( -102; 23 \right)\) et
B(−105;47)\text B\left( -105; 47 \right)B(−105;47)
13.\(\text A \left( \dfrac{5}{2}; \dfrac{1}{3} \right)\) et
B(72;73)\text B\left( \dfrac{7}{2}; \dfrac{7}{3} \right)B(27​;37​)
14.\(\text A \left( \dfrac{12}{5}; \dfrac{3}{7} \right)\) et
B(−35;107)\text B\left( -\dfrac{3}{5}; \dfrac{10}{7} \right)B(−53​;710​)
15.\(\text A \left( -\dfrac{35}{8}; -\dfrac{43}{3} \right)\) et
B(−134;2)\text B\left( -\dfrac{13}{4}; 2 \right)B(−413​;2)

Vrai ou faux ?

Dans une base orthonormée
(i→,j→)\left(\color{green}{\overrightarrow{i}} , \color{red}{\overrightarrow{j}}\right)(i,j​)
du plan, on considère les vecteurs
u→(21)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}u(21​)
,
v→(3−2)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}v(3−2​)
,
w→(5−1)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}w(5−1​)
,
s→(07)\overrightarrow{s}\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}s(07​)
 et
t→(56)\overrightarrow{t}\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}t(56​)
.
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1.On a
u→+v→=w→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}u+v=w
.
2.On a
u→+w→=s→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{s}u+w=s
.
3.On a
w→+s→−t→=0→\overrightarrow{w} + \overrightarrow{s} - \overrightarrow{t} = \overrightarrow{0}w+s−t=0
.
4.On a
−2u→=v→-2 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}−2u=v
.
5.On a
2u→−3v→+t→=2s→2 \overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} + \overrightarrow{t} = 2 \overrightarrow{s}2u−3v+t=2s