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Colinéarité de deux vecteurs et applications

Le plan est rapporté à un repère 

Sommaire

Vecteurs colinéaires ?☛ Droites parallèles ?Droites parallèles ?Points alignés ?

Vecteurs colinéaires ?

Le plan est rapporté à un repère 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
.
Dans chacun des cas suivants, dire si les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
 sont colinéaires.
1. 
u→(−12)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}u(−12​)
 et 
v→(−24)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-2 \\ 4\end{pmatrix}v(−24​)
.
2.
u→(05)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix}u(05​)
 et 
v→(50)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix}v(50​)
.
3.
u→(1 ;−1)\overrightarrow{u}(1~;-1)u(1 ;−1)
 et 
v→(−3 ;3)\overrightarrow{v}(-3~;3)v(−3 ;3)
.
4.
u→(7−4)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}7 \\ -4\end{pmatrix}u(7−4​)
 et 
v→(21−1)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}21 \\ -1\end{pmatrix}v(21−1​)
.
5.
u→(3−2)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}u(3−2​)
 et 
v→=0→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}v=0
.
6.
u→(12 ;−1)\overrightarrow{u} \left(\dfrac{1}{2}~;-1\right)u(21​ ;−1)
 et 
v→(−3 ;−6)\overrightarrow{v}\left(-3~;-6\right)v(−3 ;−6)
.

☛ Droites parallèles ?

Énoncé
Le plan est rapporté à un repère 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
On considère les points 
A(−2 ;−1), B(4 ;1), C(1 ;−3)\text{A}(-2~;-1), \ \text{B}(4~;1), \ \text{C}(1~;-3)A(−2 ;−1), B(4 ;1), C(1 ;−3)
 et 
D(10 ;0)\text{D}(10~;0)D(10 ;0)
.
1.Calculer les coordonnées des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
.
2.Calculer le déterminant des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
.
3.Les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont-elles parallèles ?
Solution
1.
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix}x_\text{B}-x_\text{A}\\y_\text{B}-y_\text{A}\end{pmatrix}AB(xB​−xA​yB​−yA​​)
 soit 
AB→(4−(−2)1−(−1))\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 4-(-2)\\ 1-(-1) \end{pmatrix}AB(4−(−2)1−(−1)​)
 d'où 
AB→(62)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}AB(62​)
.
CD→(xD−xCyD−yC)\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix}x_\text{D}-x_\text{C}\\y_\text{D}-y_\text{C}\end{pmatrix}CD(xD​−xC​yD​−yC​​)
 soit 
CD→(10−10−(−3))\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 10-1\\ 0-(-3)\end{pmatrix}CD(10−10−(−3)​)
 d'où 
CD→(93)\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}CD(93​)
.
2.On a 
AB→(62)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}AB(62​)
 et 
CD→(93)\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}CD(93​)
. Donc 
det⁡(AB→,CD→)=6×3−9×2=18−18=0\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=6\times 3-9\times 2=18-18=0det(AB,CD)=6×3−9×2=18−18=0
.
3.D'après la question précédente, on a 
det⁡(AB→,CD→)=0\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=0det(AB,CD)=0
.
Donc les vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
 sont colinéaires.
On en déduit que les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont parallèles.

Droites parallèles ?

Le plan est rapporté à un repère
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont parallèles.
1.
A(−2 ;0),B(−1 ;3), C(2 ;2)\text{A}( -2~;0), \text{B}( -1~;3), \ \text{C}( 2~;2)A(−2 ;0),B(−1 ;3), C(2 ;2)
 et 
D(0 ;−4)\text{D}( 0~;-4)D(0 ;−4)
.
2.
A(−1 ;2),B(3 ;3), C(2 ;−1)\text{A}( -1~;2), \text{B}( 3~;3), \ \text{C}( 2~;-1)A(−1 ;2),B(3 ;3), C(2 ;−1)
 et 
D(−4 ;3)\text{D}( -4~;3)D(−4 ;3)
.
3.
A(2 ;1),B(1 ;0), C(0 ;−2)\text{A}( \sqrt{2}~;1), \text{B}( 1~;0), \ \text{C}(0~; -\sqrt{2})A(2​ ;1),B(1 ;0), C(0 ;−2​)
 et 
D(1 ;1)\text{D}( 1~;1)D(1 ;1)
.
4.
A(−13 ;−1),B(0 ;12), C(0 ;2)\text{A}\left( -\dfrac{1}{3}~;-1\right), \text{B}\left( 0~; \dfrac{1}{2}\right), \ \text{C}( 0~;2)A(−31​ ;−1),B(0 ;21​), C(0 ;2)
 et 
D(16 ;1)\text{D}\left( \dfrac{1}{6~};1\right)D(6 1​;1)
.

Points alignés ?

Le plan est rapporté à un repère
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 sont alignés.
1.
A(−2 ;−1),B(−1 ;3)\text{A}(-2~;-1), \text{B}(-1~;3)A(−2 ;−1),B(−1 ;3)
 et 
C(6 ;31)\text{C}(6~;31)C(6 ;31)
.
2.
A(2 ;1),B(−2 ;−2)\text{A}(2~;1), \text{B}(-2~;-2)A(2 ;1),B(−2 ;−2)
 et 
C(5 ;134)\text{C}\left(5~;\dfrac{13}{4}\right)C(5 ;413​)
.
3.
A(3 ;−4),B(7 ;3)\text{A}(3~;-4), \text{B}(7~;3)A(3 ;−4),B(7 ;3)
 et 
C(12 ;11)\text{C}(12~;11)C(12 ;11)
.