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Repère et coordonnées

\(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\)

Sommaire

* Coordonnées de vecteurs et quadrilatère* Coordonnées d'un vecteur et relation de Chasles☛ ** Exercice de synthèse** Exercices de synthèse*** À la recherche du milieu

* Coordonnées de vecteurs et quadrilatère

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(14 ;−27)\text A \left( 14~;-27\right)A(14 ;−27)
,
B(67 ;−59)\text B \left( 67~;-59\right)B(67 ;−59)
,
C(−43 ;−9)\text C \left( -43~;-9\right)C(−43 ;−9)
 et
D(10 ;−41)\text D \left( 10~;-41\right)D(10 ;−41)
.
1.Calculer les coordonnées des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
.
2.En déduire la nature du quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
.

* Coordonnées d'un vecteur et relation de Chasles

Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère les points\(\text A(1~;2)\),\(\text B(4~;5)\)et\(\text C(6~;1)\).
1.a.Calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
    b.Calculer les coordonnées du vecteur
BC→\overrightarrow{\text{BC}}BC
.c.Calculer les coordonnées du vecteur
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
2.Écrire une relation de Chasles à l'aide des trois vecteurs précédents.
3.Vérifier par le calcul cette relation.

☛ ** Exercice de synthèse

Énoncé
Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère les points
A(−2 ;1)\text A \left( -2~ ; 1 \right)A(−2 ;1)
, 
B(3 ;−2)\text B \left( 3~ ; -2 \right)B(3 ;−2)
 et
C(0 ;4)\text C \left( 0~ ; 4\right)C(0 ;4)
.
1.Calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
2.Déterminer les coordonnées du point
D\text DD
, image du point
C\text CC
 par la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
3.En déduire la nature du quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
.
Solution
1.On a
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} x_{\text{B}} - x_{\text{A}} \\ y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\\ \end{pmatrix}AB(xB​−xA​yB​−yA​​)
 soit
AB→(3−(−2)−2−1)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ -2 - 1\\ \end{pmatrix}AB(3−(−2)−2−1​)
 soit
AB→(5−3)\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5 \\ -3\\ \end{pmatrix}}AB(5−3​)​
.
2.Soit
D(xD;yD)\text D \left( x_{\text{D}} ; y_{\text{D}} \right)D(xD​;yD​)
l'image du point
C\text CC
 par la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Ceci équivaut à
CD→=AB→\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AB}}CD=AB
.
Or, on a :
CD→(xD−xCyD−yC)\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} x_{\text{D}} - x_{\text{C}} \\ y_{\text{D}} - y_{\text{C}}\\ \end{pmatrix}CD(xD​−xC​yD​−yC​​)
soit
CD→(xDyD−4)\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} x_{\text{D}} \\ y_{\text{D}} - 4\\ \end{pmatrix}CD(xD​yD​−4​)
et
AB→(5−3)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5 \\ -3\\ \end{pmatrix}AB(5−3​)
.
CD→=AB→\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AB}}CD=AB
  équivaut au système 
{xD=5yD−4=−3\begin{cases} x_{\text{D}} = 5 \\ y_{\text{D}} - 4 = -3\\ \end{cases}{xD​=5yD​−4=−3​
 c'est-à-dire
{xD=5yD=1\begin{cases} x_{\text{D}} = 5 \\ y_{\text{D}} = 1\\ \end{cases}{xD​=5yD​=1​
.
 Donc on obtient
D(5;1)\boxed{\text D \left( 5 ; 1 \right)}D(5;1)​
.
3.Puisque
AB→=CD→\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}AB=CD
, le quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
 est un parallélogramme.

** Exercices de synthèse

Exercice 1
Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère les points
A(1 ;2)\text A \left( 1~ ; 2 \right)A(1 ;2)
,
B(−2 ;1)\text B \left( -2~;1 \right)B(−2 ;1)
 et
C(−3 ;−2)\text C \left( -3 ~; -2\right)C(−3 ;−2)
.
1.Calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
2.Déterminer les coordonnées du point
D\text DD
, image du point
C\text CC
 par la translation de vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
3.En déduire la nature du quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
.
Exercice 2
Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère les points
E(−10 ;7)\text E \left( -10~ ; 7 \right)E(−10 ;7)
,
F(13 ;−8)\text F \left( 13~;-8 \right)F(13 ;−8)
 et
G(23 ;−2)\text G \left( 23~ ; -2\right)G(23 ;−2)
.
1.Calculer les coordonnées du vecteur
EF→\overrightarrow{\text{EF}}EF
.
2.Déterminer les coordonnées du point
H\text HH
 tel que
EF→=GH→\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{GH}}EF=GH
.
3.En déduire la nature du quadrilatère
EFHG\text{EFHG}EFHG
.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère les points
P(−3 ;1)\text P \left( -3 ~; 1 \right)P(−3 ;1)
,
Q(5 ;4)\text Q \left( 5~ ; 4 \right)Q(5 ;4)
 et
R(2 ;−2)\text R \left( 2~ ; -2\right)R(2 ;−2)
.
1.Calculer les coordonnées du vecteur
PQ→\overrightarrow{\text{PQ}}PQ​
.
2.Déterminer les coordonnées du point
S\text SS
 tel que
PQRS\text{PQRS}PQRS
 est un parallélogramme.

*** À la recherche du milieu

Dans un repère orthonormé
(O,i→,j→)\left(\text O, \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}\right)(O,i,j​)
du plan, on considère les points
A(−20;6)\text A \left( -20;6 \right)A(−20;6)
,
B(8;18)\text B\left(8;18\right)B(8;18)
et
M(3;92)\text{M}\left(3;\dfrac{9}{2}\right)M(3;29​)
.
1.Déterminer les coordonnées du point
C\text CC
tel que
BM→=MC→\overrightarrow{\text{BM}} = \overrightarrow{\text{MC}}BM=MC
.
2.Déterminer les coordonnées du point
D\text DD
tel que
AB→+AC→=AD→\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}}AB+AC=AD
.
3.Déduire des questions précédentes que le point
M\text MM
est le milieu du segment
[AD][\text{AD}][AD]
.