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\(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=\overrightarrow{0...

Sommaire

Centre de gravité d'un triangle (1)Centre de gravité d'un triangle (2)D'un quadrilatère à un autreUn point à conditions☛ Intersection des hauteurs d'un triangle☛ Barycentre de trois points

Centre de gravité d'un triangle (1)

Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
On note 
A′\text{A}'A′
 le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
, 
B′\text{B}'B′
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et 
C′\text{C}'C′
 le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
On appelle
G\text{G}G
le point tel que
GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=\overrightarrow{0}GA+GB+GC=0
.
1. a.Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que 
3AG→=2AA′→3\overrightarrow{\text{AG}}=2\overrightarrow{\text{AA}'}3AG=2AA′
.
    b.Que peut-on dire des vecteurs 
AG→\overrightarrow{\text{AG}}AG
 et 
AA′→\overrightarrow{\text{AA}'}AA′
 ?
    c.En déduire que le point
G\text{G}G
 appartient à la médiane issue de 
A\text{A}A
.
2. a.Démontrer que 
3BG→=2BB′→3\overrightarrow{\text{BG}}=2\overrightarrow{\text{BB}'}3BG=2BB′
.
    b.En déduire quele point
G\text{G}G
 appartient à la médiane issue de 
B\text{B}B
.
3.Démontrer que le point
G\text{G}G
 appartient à la médiane issue de 
C\text{C}C
.
4.On appelle 
G\text{G}G
le centre de gravité du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
. Que peut-on dire des trois médianes du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?

Centre de gravité d'un triangle (2)

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(2 ;2)\text A \left( 2~;2 \right)A(2 ;2)
,
B(6 ;4)\text B \left( 6~;4 \right)B(6 ;4)
 et
C(4 ;8)\text C \left( 4~;8 \right)C(4 ;8)
.
1.Réaliser une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
2.a.Calculer les coordonnées du milieu
I\text II
 du segment
[BC][\text{BC}][BC]
.b.Calculer les coordonnées du milieu
J\text JJ
 du segment
[AC][\text{AC}][AC]
.c.Calculer les coordonnées du milieu
K\text KK
 du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
3.Déterminer les coordonnées du point
G\text GG
 défini par
AG→=23AI→\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AI}}AG=32​AI
.
4.Vérifier que le point
G\text GG
 vérifie également
BG→=23BJ→\overrightarrow{\text{BG}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{BJ}}BG=32​BJ
et
CG→=23CK→\overrightarrow{\text{CG}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{CK}}CG=32​CK
.
Le point\(\text G\) ainsi défini est lecentre de gravitédu triangle\(\text{ABC}\). C'est le point de concours des médianes dutriangle\(\text{ABC}\).

D'un quadrilatère à un autre

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(−6 ;1)\text A \left( -6~;1 \right)A(−6 ;1)
,
B(−3 ;−2)\text B \left( -3~;-2 \right)B(−3 ;−2)
,
C(0 ;−2)\text C \left( 0~;-2 \right)C(0 ;−2)
 et
D(−3 ;1)\text D \left( -3~;1 \right)D(−3 ;1)
.
1.Montrer que le quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un parallélogramme.
2. a.Déterminer les coordonnées du point
I\text II
 défini par
AI→=43AB→\overrightarrow{\text{AI}} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{\text{AB}}AI=34​AB
.b. Déterminer les coordonnées du point
J\text JJ
 défini par
BJ→=43BC→\overrightarrow{\text{BJ}} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{\text{BC}}BJ=34​BC
.c.Déterminer les coordonnées du point
K\text KK
 défini par
CK→=43CD→\overrightarrow{\text{CK}} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{\text{CD}}CK=34​CD
.d.Déterminer les coordonnées du point
L\text LL
 défini par
DL→=43DA→\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{\text{DA}}DL=34​DA
.
3.a.Le quadrilatère
IJKL\text{IJKL}IJKL
 est-il un parallélogramme ?
b.Le quadrilatère
IJKL\text{IJKL}IJKL
 est-il un losange ?

Un point à conditions

Dans un repère orthonormé du plan, on considère trois points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 non alignés.
Soit
α\alphaα
 et
β\betaβ
 deux réels. On considère le point
M\text MM
 défini par
AM→=αAB→+βAC→\overrightarrow{\text{AM}} = \alpha \overrightarrow{\text{AB}} + \beta \overrightarrow{\text{AC}}AM=αAB+βAC
.
1.Déterminer la (ou les) condition(s) pour que le point
M\text{M}M
 appartienne à l'un des côtés du triangle
ABC\text{ABC}ABC
.
2.Déterminer la (ou les) condition(s) pour que le point 
M\text{M}M
 appartienne à l'une des médianes du triangle
ABC\text{ABC}ABC
.
3.Déterminer la (ou les) condition(s) pour que le point 
M\text{M}M
 soit à l'intérieur du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

☛ Intersection des hauteurs d'un triangle

Énoncé
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle. On note : 
  • \(h_\text{A}\) la hauteur issue de \(\text{A}\) ;
  • \(\text{A}'\) le point d'intersection des droites \(h_\text{A}\)et \((\text{BC})\) ;
  • \(h_\text{B}\) la hauteur issue de \(\text{B}\) ;
  • \(\text{B}'\) le point d'intersection des droites \(h_\text{B}\)et \((\text{AC})\) ;
  • \(h_\text{C}\) la hauteur issue de \(\text{C}\) ;
  • \(\text{C}'\) le point d'intersection des droites \(h_\text{C}\)et \((\text{AB})\).
On admet que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelécentre du cercle circonscritau triangle.
1.Faire une figure représentant la situation de l'énoncé.
2.a.Construire la droite 
d1d_1d1​
 parallèle à la droite
(BC)(\text{BC})(BC)
 et passant par le point
A\text{A}A
.
    b. Construire la droite 
d2d_2d2​
 parallèle à la droite
(AC)(\text{AC})(AC)
 et passant par le point
B\text{B}B
.
    c. Construire la droite 
d3d_3d3​
 parallèle à la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 et passant par le point
C\text{C}C
.
On note :
  • \(\text{D}\)le point d'intersection des droites\(d_1\) et \(d_2\) ;
  • \(\text E\)le point d'intersection des droites\(d_1\) et \(d_3\) ;
  • \(\text{F}\) le point d'intersection des droites\(d_2\) et \(d_3\).
3. a.Démontrer que le quadrilatère
ACBD\text{ACBD}ACBD
 est un parallélogramme.
    b.Démontrer que le quadrilatère
ABCE\text{ABCE}ABCE
 est un parallélogramme.
    c.En déduire que
DA→=AE→\overrightarrow{\text{DA}} = \overrightarrow{\text{AE}}DA=AE
. Que peut-on en déduire pour le point 
A\text{A}A
 ?
    d.Que représente la droite 
(AA′)(\text{AA}')(AA′)
 pour le segment 
[DE][\text{DE}][DE]
 ?
4.De façon analogue, démontrer que la droite 
(BB′)(\text{BB}')(BB′)
 est la médiatrice du segment
[DF][\text{DF}][DF]
.
5.On admet que l'on démontre de même que la droite 
(CC′)(\text{CC}')(CC′)
 est la médiatrice du segment
[EF][\text{EF}][EF]
. Démontrer alors que les trois hauteurs 
hA,hBh_\text{A}, h_\text{B}hA​,hB​
 et 
hCh_\text{C}hC​
 sont concourantes en un point.
Ce point est appeléorthocentredu triangle\(\text{ABC}\).
Solution
Questions1.et2.
3. a.Par construction, les droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BD)(\text{BD})(BD)
 sont parallèles. De même, les droites 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
(AD)(\text{AD})(AD)
 sont parallèles. On en déduit que les côtés opposés du quadrilatère
ACBD\text{ACBD}ACBD
 sont parallèles deux à deux. Donc 
ACBD\text{ACBD}ACBD
 est un parallélogramme.
    b.De même, les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CE)(\text{CE})(CE)
 sont parallèles, et les droites 
(AE)(\text{AE})(AE)
 et 
(BC)(\text{BC})(BC)
 sont parallèles. Donc 
ABCE\text{ABCE}ABCE
 est un parallélogramme.
    c.D'après la question3. a.,
ACBD\text{ACBD}ACBD
 est un parallélogramme donc 
BC→=DA→\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DA}}BC=DA
.
        Et d'après la question3. b.,
ABCE\text{ABCE}ABCE
est un parallélogramme, donc 
BC→=AE→\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AE}}BC=AE
.
        Donc 
DA→=AE→\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{\text{AE}}DA=AE
.
        On en déduit que 
A\text{A}A
 est le milieu de 
[DE][\text{DE}][DE]
.
    d.
(AA′)(\text{AA}')(AA′)
 est perpendiculaire à 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
(BC)(\text{BC})(BC)
 est parallèle à 
(d1)(d_1)(d1​)
, c'est-à-dire
(DE)(\text{DE})(DE)
. Donc 
(AA′)(\text{AA}')(AA′)
 est perpendiculaire à 
(DE)(\text{DE})(DE)
 et passe par
A\text{A}A
, le milieu de 
[DE][\text{DE}][DE]
.
On en déduit que 
(AA′)(\text{AA}')(AA′)
 est la médiatrice de 
[DE][\text{DE}][DE]
.
4.D'après la question précédente, on sait que 
ACBD\text{ACBD}ACBD
 est un parallélogramme et donc que 
DB→=AC→\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{AC}}DB=AC
.
Par construction, les droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BF)(\text{BF})(BF)
 sont parallèles ; de même, les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CF)(\text{CF})(CF)
 sont parallèles. Ainsi 
ACFB\text{ACFB}ACFB
 est un parallélogramme. Donc
AC→=BF→\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BF}}AC=BF
.
On en déduit que 
DB→=BF→\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{BF}}DB=BF
, d'où 
B\text{B}B
 est le milieu de 
[DF][\text{DF}][DF]
.
(BB′)(\text{BB}')(BB′)
 est perpendiculaire à 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(AC)(\text{AC})(AC)
 est parallèle à 
(d2)(d_2)(d2​)
, c'est-à-dire
(DF)(\text{DF})(DF)
. Donc 
(BB′)(\text{BB}')(BB′)
 est perpendiculaire à 
(DF)(\text{DF})(DF)
 et passe par
B\text{B}B
, le milieu de 
[DF][\text{DF}][DF]
.
On en déduit que 
(BB′)(\text{BB}')(BB′)
 est la médiatrice de 
[DF][\text{DF}][DF]
.
5.D'après les questions précédente, on a donc :
  • la droite\((\text{AA}')\), c'est-à-dire la droite\(h_\text{A}\), est la médiatrice de\([\text{DE}]\) ;
  • la droite \((\text{BB}')\), c'est-à-dire la droite \(h_\text{B}\), est la médiatrice de\([\text{DF}]\) ;
  • la droite\((\text{CC}')\), c'est-à-dire la droite \(h_\text{C}\), est la médiatrice de \([\text{EF}]\) ;
  • les points \(\text{D}, \text{E}\) et \(\text{F}\) ne sont pas alignés par construction, donc ils forment un triangle.
Or, les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Donc les trois médiatrices 
hA,hBh_\text{A}, h_\text{B}hA​,hB​
 et 
hCh_\text{C}hC​
 du triangle
DEF\text{DEF}DEF
 sont concourantes.
On a bien démontré que les trois hauteurs
hA,hBh_\text{A}, h_\text{B}hA​,hB​
 et 
hCh_\text{C}hC​
 du triangle
ABC\text{ABC}ABC
 sont concourantes.

☛ Barycentre de trois points

Énoncé
Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangle. On considère les points
I\text{I}I
et
J\text{J}J
tels que :
  • \(\text{I}\)est le milieu du segment\([\text{AB}]\) ;
  • \(\text{J}\)est le point tel que\(\overrightarrow{\text{AJ}} = \dfrac{1}{6} \overrightarrow{\text{AC}}\).
1.Faire une figure et placer les points 
I\text{I}I
 et 
J\text{J}J
.
2.Soit 
G\text{G}G
 le point tel que 
AG→=12AB→+16AC→\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AC}}AG=21​AB+61​AC
. 
    a.En utilisant la relation de Chasles, démontrer que 
JG→=AI→\overrightarrow{\text{JG}}= \overrightarrow{\text{AI}}JG=AI
.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
AIGJ\text{AIGJ}AIGJ
 ? Placer le point 
G\text{G}G
.
3.Démontrer que 
2GA→+3GB→+GC→=0→2\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=\overrightarrow{0}2GA+3GB+GC=0
.
On dit que le point \(\text{G}\) est lebarycentredes points pondérés \((\text{A};2), (\text{B};3)\) et \((\text{C};1)\).
Solution
1.
2. a.On a
AG→=12AB→+16AC→\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AC}}AG=21​AB+61​AC
donc
AJ→+JG→=AI→+AJ→\overrightarrow{\text{AJ}} + \overrightarrow{\text{JG}}=\overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{AJ}}AJ+JG=AI+AJ
donc
JG→=AI→\boxed{\overrightarrow{\text{JG}} = \overrightarrow{\text{AI}}}JG=AI​
.b.Puisque
JG→=AI→\overrightarrow{\text{JG}} = \overrightarrow{\text{AI}}JG=AI
, le quadrilatère
AIGJ\text{AIGJ}AIGJ
est un parallélogramme.
3. On a 2GA→+3GB→+GC→=2GA→+3(GA→+AB→)+GA→+AC→=6GA→+3AB→+AC→=−6AG→+3AB→+AC→=−6(12AB→+16AC→)+3AB→+AC→=−3AB→−AC→+3AB→+AC→=0→\begin{array}{rcl}\textbf{3.} \text{ On a }2\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}} & = & 2\overrightarrow{\text{GA}}+ 3\left(\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{AB}} \right)+ \overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{AC}} \\& = & 6\overrightarrow{\text{GA}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -6\overrightarrow{\text{AG}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -6 \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{6} \overrightarrow{\text{AC}} \right) + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -3 \overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & \overrightarrow{0} \\\end{array}3. On a 2GA+3GB+GC​======​2GA+3(GA+AB)+GA+AC6GA+3AB+AC−6AG+3AB+AC−6(21​AB+61​AC)+3AB+AC−3AB−AC+3AB+AC0​
Culture mathématique
Le barycentre est un point qui est la "moyenne pondérée" de plusieurs points. Le barycentre est utilisé dans de nombreuses sciences, notamment en physique et en astronomie.
En astronomie, il est utilisé pour décrire le mouvement des planètes et des étoiles dans l'espace. Par exemple, le barycentre du système solaire est le point autour duquel toutes les planètes tournent, la pondération étant la masse des planètes.