Énoncé

Soit un cercle 

$$\mathscr{C}$$

 et trois points distincts

$$\text A$$

,

$$\text B$$

 et

$$\text C$$

 situés sur le cercle

$$\mathscr{C}$$

, un triangle inscrit dans un cercle 

$$\text{ABC}$$

.

Montrer que le triangle

$$\text{ABC}$$

est rectangle en

$$\text B$$

si et seulement si le segment

$$[\text{AC}]$$

est un diamètre du cercle

$$\mathscr{C}$$

.

Solution

Soit un cercle 

$$\mathscr{C}$$

 et trois points distincts

$$\text A$$

,

$$\text B$$

 et

$$\text C$$

 situés sur le cercle

$$\mathscr{C}$$

, un triangle inscrit dans un cercle 

$$\text{ABC}$$

.

Je sais que letriangle

$$\text{ABC}$$

est rectangle en

$$\text B$$

si et seulement si 

$$\overrightarrow{\text{AB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BC}} = 0$$

.

On note 

$$\text M$$

 le milieu du segment 

$$[\text{AC}]$$

. Ainsi, d'après la relation de Chasles, on a 

$$\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AM}} + \overrightarrow{\text{MB}}$$

 et 

$$\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MC}}$$

.

Ainsi, on a 

$$\overrightarrow{\text{AB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BC}} = 0$$

 si et seulement si 

$$\left(\overrightarrow{\text{AM}} + \overrightarrow{\text{MB}} \right) \cdot{} \left( \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MC}} \right) = 0$$

.

Cela équivaut à 

$$(\text E) : \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{MC}} + \overrightarrow{\text{MB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{MB}} \cdot{} \overrightarrow{\text{MC}} = 0$$

.

Or, d'une part, 

$$\text M$$

 étant le milieu du segment 

$$[\text{AC}]$$

 on a 

$$\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MC}}$$

 et, d'autre part, on a 

$$\overrightarrow{\text{MB}} = - \overrightarrow{\text{BM}}$$

.

Ainsi 

$$(\text E)$$

 équivaut à 

$$\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} + \left(-\overrightarrow{\text{BM}}\right) \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left(-\overrightarrow{\text{BM}}\right) \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} = 0$$

.

ou encore à 

$$\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 - \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2 -\overrightarrow{\text{BM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{AM}} = 0$$

ou encore à 

$$\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} + \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 - \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2 -\overrightarrow{\text{AM}} \cdot{} \overrightarrow{\text{BM}} = 0$$

ou encore à 

$$\boxed{\left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert^2 = \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert^2}$$

.

Or, une norme de vecteur sont positive.

Donc cela équivaut à 

$$\left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{AM}} \right\rvert\right\rvert = \left\lvert\left\lvert \overrightarrow{\text{BM}} \right\rvert\right\rvert$$

 ou encore à 

$$\boxed{\text{AM} = \text{BM}}$$

.

Et puisque

$$\text M$$

 est le milieu du segment 

$$[\text{AC}]$$

, cela équivaut à ce que 

$$\text{AM} = \text{CM} = \text{BM}$$

.

Les points 

$$\text A$$

,

$$\text B$$

 et

$$\text C$$

 étant distincts, cela équivaut à ce que

$$\text M$$

 soit le centre du cercle 

$$\mathscr{C}$$

.

Or, 

$$\text M$$

 étant le milieu du segment 

$$[\text{AC}]$$

, cela équivaut à ce que le segment

$$[\text{AC}]$$

soit un diamètre du cercle

$$\mathscr{C}$$

.