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DéfinitionProduit scalaire

Sommaire

Le produit salaire en accéléré☆ Triangle inscrit dans un cercle

Le produit salaire en accéléré

DéfinitionProduit scalaire
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs du plan et
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
.
Leproduit scalairedes vecteurs 
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
, noté 
u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot{} \vec{v}u⋅v
, est lenombre réeldéfini par :
  • si\(\vec{u}\ne \vec{0}\)et\(\vec{v}\ne \vec{0}\), \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\times \cos(\vec{u};\vec{v})=\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})\) ;
  • si \(\vec{u} = \vec{0}\)ou\(\vec{v} = \vec{0}\),\(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=0\).
DéfinitionCarré scalaire
Soit
u⃗\vec{u}u
un vecteur. Le carré scalaire de 
u⃗\vec{u}u
, noté 
u⃗2\vec{u}^2u2
, est le nombre réel défini par
u⃗2=u⃗⋅u⃗\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}u2=u⋅u
.
La définition du produit scalaire entraîne
u⃗2=∥u⃗∥2\vec{u}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2u2=∥u∥2
 (car
cos(0)=1\text{cos}(0) = 1cos(0)=1
).
DéfinitionVecteurs orthogonaux
Soit
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
deux vecteurs du plan et
A,B,C\text A,\text B,\text CA,B,C
trois points tels que
u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{\text A\text B}u=AB
et
v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{\text A\text C}v=AC
. 
On dit que les vecteurs 
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
sont orthogonauxsi et seulement si les droites
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(AC)(\text A\text C)(AC)
sont perpendiculaires.
PropriétéOrthogonalité et produit scalaire
Deux vecteurs
u⃗\vec{u}u
et
v⃗\vec{v}v
du plan sont orthogonauxsi et seulement si 
u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \cdot \vec{v}=0.u⋅v=0.
PropriétésCalcul avec le produit scalaire
Pour tous vecteurs
u⃗,v⃗,a⃗ et b⃗\vec{u},\vec{v},\vec{a} \text{ et } \vec{b}u,v,a et b
 du plan, on a les résultats suivants :
  • \(\boxed{\left( \vec{u} + \vec{v} \right) \cdot{} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = \vec{u} \cdot{} \vec{a} + \vec{u} \cdot{} \vec{b} + \vec{v} \cdot{} \vec{a} + \vec{v} \cdot{} \vec{b}}\)
  • \(\boxed{\vec{u} \cdot{} \vec{v} = \vec{v} \cdot{} \vec{u}}\)
  • \(\boxed{\vec{u} \cdot{} (-\vec{v}) = - \vec{u} \cdot{} \vec{v}}\)

☆ Triangle inscrit dans un cercle

Soit un cercle 
C\mathscr{C}C
 et trois points distincts
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 situés sur le cercle
C\mathscr{C}C
, un triangle inscrit dans un cercle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Montrer que le triangle
ABC\text{ABC}ABC
est rectangle en
B\text BB
si et seulement si le segment
[AC][\text{AC}][AC]
est un diamètre du cercle
C\mathscr{C}C
.
Indications
  • On raisonnera par équivalence.
  • On utilisera le produit scalaire et une propriété sur l'orthogonalité de deux vecteurs.
  • On introduira le milieu \(\text M\) du segment \([\text{AC}]\) pour l'utiliser astucieusement dans deux relations ce Chasles.
  • On utilisera les propriétés du produit scalaire pour arriver à la conclusion.