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Théorème de Pythagore et sa réciproque

 est un triangle rectangle en 

Sommaire

Théorème de Pythagore☛ Théorème de Pythagore - ApplicationRéciproque du théorème de Pythagore☛ Triangle rectangle ou pas ? (1)☛ Triangle rectangle ou pas ? (2)Un peu d'initiative

Théorème de Pythagore

Théorème
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
Si 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
A\color{red}{\text{A}}A
,alors
AB2+AC2=BC2\color{red}{\text{A}}\text{B}^2+\color{red}{\text{A}}\text{C}^2 = \text{BC}^2AB2+AC2=BC2
.
Exemple
Toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
Soit
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en 
A\text{A}A
 tel que 
BC=8\text{BC}=8BC=8
 et 
AC=4\text{AC}=4AC=4
.
On souhaite calculer la longueur 
AB\text{AB}AB
.
Par hypothèse, 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
A\text{A}A
, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
AB2+AC2=BC2\text{AB}^2+\text{AC}^2 = \text{BC}^2AB2+AC2=BC2
.
On a 
BC2=82=64\text{BC}^2=8^2=64BC2=82=64
 et 
AC2=42=16\text{AC}^2=4^2=16AC2=42=16
.
Donc 
AB2+16=64\text{AB}^2+16=64AB2+16=64
D'où 
AB2=64−16=48\text{AB}^2=64-16=48AB2=64−16=48
.
AB\text{AB}AB
 étant une longueur, on a ainsi 
AB=48\text{AB}=\sqrt{48}AB=48​
 .
48=16×3=16×3=43\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}48​=16×3​=16​×3​=43​
.
On a donc 
AB=43\text{AB}=4\sqrt{3}AB=43​
.

☛ Théorème de Pythagore - Application

Énoncé
On considère un triangle
GHI\text{GHI}GHI
 rectangle en
I\text{I}I
 tel que : 
GI=7 cm et GH=9 cm \text{GI}=7\text{ cm et } \text{GH}=9\text{ cm }GI=7 cm et GH=9 cm 
.
Calculer la longueur 
HI\text{HI}HI
. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millimètre.
Solution
Par hypothèse, letriangle
GHI\text{GHI}GHI
 est rectangle en
I\text{I}I
, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
GH2=GI2+HI2\text{GH}^2=\text{GI}^2+\text{HI}^2GH2=GI2+HI2
Soit 
92=72+HI29^2=7^2+\text{HI}^292=72+HI2
Ainsi 
HI2=92−72=81−49=32\text{HI}^2=9^2-7^2=81-49=32HI2=92−72=81−49=32
HI\text{HI}HI
 étant une longueur, on a alors :
HI=32=16×2=16×2=42\text{HI}=\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4\sqrt2HI=32​=16×2​=16​×2​=42​
.
Donc : 
HI=42 cm \text{HI}=4\sqrt2 \text{ cm }HI=42​ cm 
 (valeur exacte)
HI≈5,7 cm \text{HI} \approx 5{,}7 \text{ cm }HI≈5,7 cm 
(valeur arrondie au millimètre).

Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
Si 
AB2+AC2=BC2\color{red}{\text{A}}\text{B}^2+\color{red}{\text{A}}\text{C}^2 = \text{BC}^2AB2+AC2=BC2
,alors
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
A\color{red}{\text{A}}A
.
Exemple
Toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 tel que 
AB=32\text{AB}=3\sqrt{2}AB=32​
, 
AC=6\text{AC} = \sqrt{6}AC=6​
 et 
BC=23\text{BC}=2\sqrt{3}BC=23​
.
À l'aide de la calculatrice, on constate que
[AB][\text{AB}][AB]
 est le plus grand des trois côtés du triangle.
On a :
d'une part, 
AB2=(32)2=9×2=18\text{AB}^2=(3\sqrt{2})^2=9\times 2 = 18AB2=(32​)2=9×2=18
.
d'autre part, 
AC2+BC2=(6)2+(23)2=6+4×3=6+12=18.\text{AC}^2+\text{BC}^2 =(\sqrt{6})^2+(2\sqrt{3})^2=6+4\times 3 = 6+12=18.AC2+BC2=(6​)2+(23​)2=6+4×3=6+12=18.
On constate que 
AC2+BC2=AB2\text{AC}^2+\text{BC}^2 =\text{AB}^2AC2+BC2=AB2
.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en 
C\text{C}C
. 

☛ Triangle rectangle ou pas ? (1)

Énoncé
On considère un triangle
PAS\text{PAS}PAS
 tel que : 
PA=6 cm , PS=7 cm et AS=9 cm \text{PA}=6\text{ cm , PS}=7\text{ cm et AS}=9\text{ cm }PA=6 cm , PS=7 cm et AS=9 cm 
.
Ce triangle est-il rectangle ?
Solution
Dans le triangle
PAS\text{PAS}PAS
, le côté le plus long est 
[AS]\text{[AS]}[AS]
. On a :
  • d'une part : \(\text{AS}^2=9^2=81\)
  • d'autre part : \(\text{PA}^2+\text{PS}^2=6^2+7^2=36+49=85\)
On constate que : 
AS2≠PA2+PS2\text{AS}^2 \neq \text{PA}^2+\text{PS}^2AS2=PA2+PS2
L'égalité de Pythagore n'étant pas vérifiée, le triangle 
PAS\text{PAS}PAS
 n'est pas rectangle (car si le triangle était rectangle, alors l'égalité de Pythagore serait vérifiée).
On peut aussi conclure de la façon suivante : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle 
PAS\text{PAS}PAS
 n'est pas rectangle.

☛ Triangle rectangle ou pas ? (2)

Énoncé
On considère un triangle
PRE\text{PRE}PRE
 tel que : 
PE=5 cm , PR=12 cm et ER=13 cm \text{PE}=5\text{ cm , PR}=12\text{ cm et ER}=13\text{ cm }PE=5 cm , PR=12 cm et ER=13 cm 
.
Ce triangle est-il rectangle ?
Solution
Dans le triangle
PRE\text{PRE}PRE
, le côté le plus long est 
[ER]\text{[ER]}[ER]
. On a :
  • d'une part : \(\text{ER}^2=13^2=169\)
  • d'autre part : \(\text{PE}^2+\text{PR}^2=5^2+12^2=25+144=169\)
On constate que : 
ER2=PE2+PR2\text{ER}^2=\text{PE}^2+\text{PR}^2ER2=PE2+PR2
.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 
PRE\text{PRE}PRE
 est rectangle en 
P\text{P}P
.

Un peu d'initiative