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Dans un triangle

 qui contient les trois sommets

Sommaire

Cercle circonscrit à un triangleMédiatrice d'un segmentHauteur d'un triangleMédiane d'un triangleBissectrice d'un angleTrigonométrie dans un triangle rectangle

Cercle circonscrit à un triangle

Définition
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
On appelle cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 lecercle 
C\mathscr{C}C
 qui contient les trois sommets
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 du cercle 
C\mathscr{C}C
.
Voici ci-dessous untriangle 
ABC\text{ABC}ABC
et son cercle circonscrit 
C\mathscr{C}C
 en rouge.
Propriété
Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangleet 
C\mathscr{C}C
 son cercle circonscrit.
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
A\text{A}A
 si et seulement si
[BC][\text{BC}][BC]
 est un diamètre du cercle 
C\mathscr{C}C
.

Médiatrice d'un segment

Définition
La médiatrice d'un segment 
[AB][\text{AB}][AB]
 est la droite passant par le milieu de ce segment 
[AB][\text{AB}][AB]
 et perpendiculaire à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
. On représente ci-dessous la médiatrice du segment 
[BC][\text{BC}][BC]
, où
I\text{I}I
 est le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
.
Propriété 
La médiatrice du segment
[AB][\text{AB}][AB]
 est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan équidistants des points 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
, c'est-à-direl'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
, c'est-à-dire l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
ABM\text{ABM}ABM
 est un triangle isocèle en 
M\text{M}M
.
Propriété
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Le point de concours des trois médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Sur la figure ci-dessus, on a représenté les trois médiatrice du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Le point 
K\text{K}K
 est le point de concours des trois médiatrices.
Ce point 
K\text{K}K
 est le centre du cercle 
C\mathscr{C}C
, cercle circonscrit autriangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

Hauteur d'un triangle

Définition
Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Soit un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
. On représente ci-dessous la hauteur issue de 
A\text{A}A
.
Remarque
Le point 
H\text{H}H
 est le projeté orthogonal du point
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.
La longueur
AH\text{AH}AH
est la distance du point
A\text{A}A
à la droite
(BC)(\text{BC})(BC)
.
Propriété
Les trois hauteurs d'un triangle ont un unique point d'intersection. On dit que ces trois hauteurs sont concourantes.
Définition
Le point de concours des trois hauteurs d'un triangle est appelé l'orthocentre du triangle.
Sur la figure ci-dessus, on a représenté les trois hauteurs du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Le point 
O\text{O}O
 est le point de concours des trois hauteurs. 
Ce point 
O\text{O}O
 est appelé l'orthocentre du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

Médiane d'un triangle

Définition
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
. On représente ci-dessous la médiane issue de 
A\text{A}A
 du triangle, où
I\text{I}I
 est le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
.
Propriété
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Le point de concours des trois médianes d'un triangle est le centre de gravité de ce triangle.
Sur la figure ci-dessus, on a représenté les trois médianes du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Le point 
G\text{G}G
 est le point de concours des trois médianes.
Ce point 
G\text{G}G
 est le centre de gravité du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

Bissectrice d'un angle

Définition
La bissectrice d'un angle 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
 est la droite qui le coupe en deux angles de même mesure.
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
. On représente ci-dessous la bissectrice de l'angle 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
.
Si 
D\text{D}D
 est un point appartenant à la bissectrice de 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
, alors on a 
BAD^=DAC^\widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DAC}}BAD=DAC
 et 
BAC^=2×BAD^\widehat{\text{BAC}}= 2\times \widehat{\text{BAD}}BAC=2×BAD
.
Propriété
Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est équidistant des trois côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Sur la figure ci-dessus, on a représenté les trois bissectrices du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Le point 
L\text{L}L
 est le point de concours des trois bissectrices.
Ce point 
L\text{L}L
 est le centre du cercle inscrit dans le  triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Soit
I, J\text{I, J}I, J
et
K\text{K}K
les projetés orthogonaux du point
L\text{L}L
sur, respectivement, les côtés 
[AB],[BC][\text{AB}], [\text{BC}][AB],[BC]
 et 
[AC][\text{AC}][AC]
du triangle. Alors, on a :
LI=LJ=LK\text{LI}=\text{LJ}=\text{LK}LI=LJ=LK
.

Trigonométrie dans un triangle rectangle

Propriété et définition
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en 
A\text{A}A
.
On note 
α\alphaα
 l'angle 
ABC^\widehat{\text{ABC}}ABC
.
Le cosinus de l'angle 
α\alphaα
, noté
cos⁡(α)\cos (\color{red}{\alpha})cos(α)
, est le quotient du côté adjacent à l'angle 
α\alphaα
 par l'hypoténuse.
Le sinus de l'angle 
α\alphaα
, noté
sin⁡(α)\sin (\color{red}{\alpha})sin(α)
, est le quotient du côté opposé à l'angle 
α\alphaα
 par l'hypoténuse.
La tangente de l'angle
α\alphaα
, noté
tan⁡(α)\tan (\color{red}{\alpha})tan(α)
, est le quotient du côté adjacent à l'angle 
α\alphaα
 par le côté opposé à l'angle 
α\alphaα
.
On a ainsi : 
cos⁡(α)=ABBC\cos (\color{red}{\alpha})=\dfrac{\color{blue}{\text{AB}}}{\text{BC}}cos(α)=BCAB​
 ; 
sin⁡(α)=ACBC\sin (\color{red}{\alpha})=\dfrac{\color{green}{\text{AC}}}{\text{BC}}sin(α)=BCAC​
 et
tan⁡(α)=ACAB\tan (\color{red}{\alpha}) = \dfrac{\color{green}{\text{AC}}}{\color{blue}{\text{AB}}}tan(α)=ABAC​
.
Remarques
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en 
A\text{A}A
. On note 
α\alphaα
 l'angle 
ABC^\widehat{\text{ABC}}ABC
. On a :
  • \(0\leqslant\cos (\alpha)\leqslant 1\) et \(0\leqslant\sin (\alpha)\leqslant1\).
  • \(\dfrac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} = \dfrac{\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}}{\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\times \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}=\tan (\alpha)\)
Propriété 
Pour tout réel 
α\alphaα
, on a 
(cos⁡(α))2+(sin⁡(α))2=1(\cos(\alpha))^2+(\sin(\alpha))^2=1(cos(α))2+(sin(α))2=1
.
Notation
Soit 
α\alphaα
 un réel. On note :
cos⁡2(α)=(cos⁡(α))2\cos^2(\alpha) = (\cos(\alpha))^2cos2(α)=(cos(α))2
.
On écrit alors :
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=1\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1cos2(α)+sin2(α)=1
.
Il ne faut pas confondre
cos⁡2(α)\cos^2(\alpha)cos2(α)
 et
cos⁡(α2)\cos(\alpha^2)cos(α2)
.
Démonstration
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en 
A\text{A}A
. On note 
α\alphaα
 l'angle 
ABC^\widehat{\text{ABC}}ABC
.
On a 
cos⁡(α)=ABBC\cos (\alpha)=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}cos(α)=BCAB​
 donc 
cos⁡2(α)=(ABBC)2=AB2BC2\cos^2 (\alpha)=\left(\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}\right)^2 = \dfrac{\text{AB}^2}{\text{BC}^2}cos2(α)=(BCAB​)2=BC2AB2​
.
Et
sin⁡(α)=ACBC\sin (\alpha)=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}sin(α)=BCAC​
 donc 
sin⁡2(α)=(ACBC)2=AC2BC2\sin^2 (\alpha)=\left(\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\right)^2 = \dfrac{\text{AC}^2}{\text{BC}^2}sin2(α)=(BCAC​)2=BC2AC2​
.
Donc 
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=AB2BC2+AC2BC2=AB2+AC2BC2\cos^2 (\alpha) + \sin^2(\alpha)=\dfrac{\text{AB}^2}{\text{BC}^2}+ \dfrac{\text{AC}^2}{\text{BC}^2} = \dfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2}{\text{BC}^2}cos2(α)+sin2(α)=BC2AB2​+BC2AC2​=BC2AB2+AC2​
.
Par hypothèse, 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en 
A\text{A}A
. D'après le théorème de Pythagore, on a : 
AB2+AC2=BC2\text{AB}^2+\text{AC}^2 = \text{BC}^2AB2+AC2=BC2
.
D'où
cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=AB2+AC2BC2=BC2BC2=1\cos^2 (\alpha) + \sin^2(\alpha) = \dfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2}{\text{BC}^2} = \dfrac{\text{BC}^2}{\text{BC}^2} = 1cos2(α)+sin2(α)=BC2AB2+AC2​=BC2BC2​=1
.