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Dans un repère du plan

du plan définissent un repère du plan.

Sommaire

Repère du plan, coordonnées d'un point dans le planCoordonnées du milieu d'un segmentDistance entre deux points

Repère du plan, coordonnées d'un point dans le plan

Définition
Trois points non alignés
O,I\text{O}, \text{I}O,I
et
J\text{J}J
du plan définissent un repère du plan.
On note ce repère
(O;I,J)(\text{O};\color{blue}{\text{I}},\color{red}{\text{J}})(O;I,J)
.
Le point 
O\text{O}O
est appelé l’origine du repère.
L’axe
(OI)(\text{O}\color{blue}{\text{I}})(OI)
 est l’axe des abscisses. La distance 
OI\text{OI}OI
 définie l'unité soit 
OI=1\text{OI}=1OI=1
.
L’axe
(OJ)(\text{O}\color{red}{\text{J}})(OJ)
 est l’axe des ordonnées. La distance 
OJ\text{OJ}OJ
 définie l'unité soit 
OJ=1\text{OJ}=1OJ=1
.
Lorsque lesaxesdu repère sontperpendiculaires, c’est-à-dire lorsque le triangle
OIJ\text{OIJ}OIJ
 est rectangle en
O\text{O}O
, on dit que le repère estorthogonal.
Si,de plus, le triangle
OIJ\text{OIJ}OIJ
 est rectangle et isocèle en
O\text{O}O
, le repère est ditorthonormé(ou orthonormal).
Propriété (admise)
Le plan est muni d'un repère 
(O;I,J)(\text{O};\text{I},\text{J})(O;I,J)
.
Tout point\(\text{M}\)du plan est repéré par ununiquecouple
(xM;yM)(x_\text{M};y_\text{M})(xM​;yM​)
 de nombres réels appelés les coordonnées du point\(\text{M}\).
On note
M(xM;yM)\text{M}(x_\text{M};y_\text{M})M(xM​;yM​)
.
xMx_\text{M}xM​
 est l’abscisse du point\(\text{M}\)et 
yMy_\text{M}yM​
 est l’ordonnée du point\(\text{M}\).
Exemple
On considère le repère 
(O;I,J)(\text{O} ;\text{I},\text{J})(O;I,J)
 ci-dessous.
On place les points 
A,B,C,D\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}A,B,C,D
 et 
E\text{E}E
 dans ce repère.
Les coordonnées de 
A\text{A}A
 sont 
(1,5 ;4)(1{,}5~ ; 4)(1,5 ;4)
.
Les coordonnées de 
B\text{B}B
 sont 
(−2 ;3)(-2~;3)(−2 ;3)
.
Les coordonnées de 
C\text{C}C
 sont 
(−1 ;−2)(-1~ ; -2)(−1 ;−2)
.
Les coordonnées de 
D\text{D}D
 sont 
(3 ;0)(3~; 0)(3 ;0)
.
Les coordonnées de 
E\text{E}E
 sont 
(0;−3)(0 ; -3)(0;−3)
.

Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété (admise)
Soit 
(O ;I ,J)(\text{O}~ ; \text{I} ~, \text{J})(O ;I ,J)
 un repère du plan.
On considère un point 
A\text{A}A
 de coordonnées 
(xA;yA)(x_\text{A} ; y_\text{A})(xA​;yA​)
 et un point 
B\text{B}B
 de coordonnées 
(xB;yB)(x_\text{B} ; y_\text{B})(xB​;yB​)
.
Soit
M\text{M}M
 le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
Alors les coordonnées de 
M\text{M}M
 sont données par :
xM=xA+xB2 et yM=yA+yB2\boxed{x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \text{ et } y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}}xM​=2xA​+xB​​ et yM​=2yA​+yB​​​
.
Exemple
Le plan est muni d'un repère. On donne 
A(−4 ;1)\text{A}(-4 ~; 1)A(−4 ;1)
 et 
B(2 ;5)\text{B}(2~ ; 5)B(2 ;5)
.
Les coordonnées de 
M\text{M}M
, milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
, sont :
xM=xA+xB2x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}xM​=2xA​+xB​​
 et  
yM=yA+yB2y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}yM​=2yA​+yB​​
xM=−4+22x_\text{M}=\dfrac{-4+2}{2}xM​=2−4+2​
et  
yM=1+52y_\text{M}=\dfrac{1+5}{2}yM​=21+5​
soit 
xM=−1x_\text{M}=-1xM​=−1
 et 
yM=3y_\text{M}=3yM​=3
.
Les coordonnées de 
M\text{M}M
 sont 
(−1 ;3)(-1~;3)(−1 ;3)
.

Distance entre deux points

Propriété
Soit 
(O ;I ,J)(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J})(O ;I ,J)
 un repèreorthonormédu plan.
On considère un point 
A\text{A}A
 de coordonnées 
(xA;yA)(x_\text{A} ; y_\text{A})(xA​;yA​)
 et un point 
B\text{B}B
 de coordonnées 
(xB;yB)(x_\text{B} ; y_\text{B})(xB​;yB​)
.
La distance entre les points 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
 est donnée par 
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\boxed{\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}}AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​​
.
Démonstration
Considérons le cas où 
xA<xBx_\text{A}<x_\text{B}xA​<xB​
 et 
yA<yBy_\text{A}<y_\text{B}yA​<yB​
 (la démonstration est analogue dans les autres cas).
Traçons la parallèle à l'axe des abscisses passant par 
B\text{B}B
 (en bleu) et la parallèle à l'axe des ordonnées passant par 
A\text{A}A
 (en rouge). On note 
C\text{C}C
 le point d'intersection de ces deux droites.
Les axes du repère étant perpendiculaires, on en déduit que le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
C\text{C}C
.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore. 
AB2=AC2+BC2\text{AB}^2 =\text{AC}^2+\text{BC}^2AB2=AC2+BC2
.
Mais 
xC=xAx_\text{C}=x_\text{A}xC​=xA​
 donc 
BC=xB−xA\text{BC}=x_\text{B}-x_\text{A}BC=xB​−xA​
 et de même 
yC=yBy_\text{C}=y_\text{B}yC​=yB​
 donc 
AC=yB−yA\text{AC}=y_\text{B}-y_\text{A}AC=yB​−yA​
.
En remplaçant dans l'égalité de Pythagore, on a donc 
AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2\text{AB}^2 =(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2AB2=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2
.
Et 
(xB−xA)2+(yB−yA)2>0(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2>0(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2>0
 donc 
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​
.
Remarque
Une distance est un nombre positif !
Exemple
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Considérons les points 
A(−2 ;5)\text{A}(-2~;5)A(−2 ;5)
 et 
B(1 ;−1)\text{B}(1~;-1)B(1 ;−1)
.
La distance 
AB\text{AB}AB
 est : 
AB =(xB−xA)2+(yB−yA)2=(1−(−2))2+(−1−5)2=32+(−6)2=9+36=45=9×5=35\begin{array}{l}\text{AB}\ =\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\\\qquad =\sqrt{(1-(-2))^2+(-1-5)^2}\\\qquad =\sqrt{3^2+(-6)^2}\\\qquad =\sqrt{9+36}\\\qquad =\sqrt{45}\\\qquad =\sqrt{9\times 5}\\\qquad =3\sqrt{ 5}\\\end{array}AB =(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​=(1−(−2))2+(−1−5)2​=32+(−6)2​=9+36​=45​=9×5​=35​​
d'où 
AB=35\text{AB}=3\sqrt{ 5}AB=35​
 .
Remarque
La distance entre les points 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
 peu aussi s'écrire : 
AB=(xA−xB)2+(yA−yB)2\text{AB}=\sqrt{(x_\text{A}-x_\text{B})^2+(y_\text{A}-y_\text{B})^2}AB=(xA​−xB​)2+(yA​−yB​)2​
.
En effet :
Un nombre réel 
xxx
 et son opposé 
−x-x−x
 ont le même carré, c'est-à-dire que l'on a 
(−x)2=x2(-x)^2=x^2(−x)2=x2
.
Donc 
(xB−xA)2=(−(xB−xA))2=(xA−xB)2(x_\text{B}-x_\text{A})^2 = \left(-(x_\text{B}-x_\text{A})\right)^2=(x_\text{A}-x_\text{B})^2(xB​−xA​)2=(−(xB​−xA​))2=(xA​−xB​)2
, 
de même 
(yB−yA)2=(yA−yB)2(y_\text{B}-y_\text{A})^2 =(y_\text{A}-y_\text{B})^2(yB​−yA​)2=(yA​−yB​)2
.