Énoncé
Partie 1 - Protocole de construction
- Ouvrir un nouveau fichier sur GeoGebra : https://www.geogebra.org/classic?lang=fr
- Placer deux points \(\text{A}\) et \(\text{B}\).
- Tracer la droite \((\text{AB})\).
- Placer un point \(\text{C}\) n'appartenant pas à la droite \((\text{AB})\).
- Tracer la perpendiculaire à la droite \((\text{AB})\) passant par le point \(\text{C}\).
- Placer le point d'intersection de cette droite et de la droite \((\text{AB})\). Renommer \(\text{H}\) ce point.
- Placer un point \(\text{D}\) sur la droite \((\text{AB})\).
- Tracer les segments \([\text{CD}]\) et \([\text{CH}]\).
Partie 2 - Conjecture
En utilisant la figure construite précédemment, répondre aux questions suivantes.
1.Quelle est la nature du triangle
?
2.Déplacer le point
sur la droite
. Comparer les longueurs
et
.
3.Quelle conjecture peut-on émettre quant à la distance entre le point
et la droite
?
Liens utiles
https://www.geogebra.org/classic?lang=fr
https://www.geogebra.org/classic?lang=fr☛ Distance d'un point à une droite - Corrigé
Solution
Partie 1 - protocole de construction
Partie 2 - conjecture
En utilisant la figure construite précédemment, répondre aux questions suivantes.
1. Les droites
et
sont perpendiculaires par construction.
Les points
et
appartiennent à la droite
donc les droites
et
sont perpendiculaires. On en déduit que
est un triangle rectangle en
.
2. En déplaçant le point
sur la droite
, on observe que la longueur
est supérieure à la longueur
(et égale à la longueur
quand
est confondu avec
).
3.On peut conjecturer que le point
semble être le point en lequel la distance entre le point
et la droite
est la plus petite petite possible.
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Définition
Soit
une droite du plan et
un point du plan.
- On suppose que le point\(\text{M}\) n'appartient pas à la droite \(\Delta\).
On appelle projeté orthogonal de
sur la droite
le point
de la droite
tel que les droites
et
sont perpendiculaires.
- Lorsque le point\(\text{M}\) appartient à la droite\(\Delta\), on dit que\(\text{M}\) est son propre projeté orthogonal sur cette droite.
Propriété
Soit
une droite du plan et
un point du plan.
Le projeté orthogonal
du point
sur la droite
est le point de la droite
le plus proche de
.
Démonstration
Premier cas :\(\text{M}\) appartient à la droite\(\Delta\)
Les points
et
sont confondus donc
.
Soit
un point de la droite
, distinct de
. On a alors
donc
.
Ainsi,
est le point de la droite
le plus proche de
.
Second cas :\(\text{M}\) n'appartient pas à la droite\(\Delta\)
Soit
un point de la droite
, distinct de
.
Le triangle
est un triangle rectangle en
. Son hypoténuse est
.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
.
Or le point
est distinct du point
, donc
, d'où
.
On peut ajouter, membre à membre,
.
On obtient donc
.
D'où
.
Les longueurs
et
étant positives, on a donc
.
Ainsi,
est le point de la droite
le plus proche de
.
Ou encore
est la plus petite distance entre le point
et la droite
.
Définition
Soit
une droite du plan et
un point du plan.
Soit
le projeté orthogonal du point
sur la droite
.
La distance
est appelée distance du point
à la droite
.