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Dans un triangle

 est un triangle rectangle en 

Sommaire

Théorème de Pythagore - Calculer une longueurUn triangle est-il rectangle ?Trigonométrie☛ Cercle circonscrit à un triangle☛ Cercle circonscrit à un triangle - Solutions

Théorème de Pythagore - Calculer une longueur

Exercice 1
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
A\text{A}A
 tel que 
AB=12\text{AB}=12AB=12
 et 
AC=8\text{AC}=8AC=8
.
Calculer la longueur 
BC\text{BC}BC
.
Exercice 2 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
B\text{B}B
 tel que 
AB=23\text{AB}=2\sqrt{3}AB=23​
 et 
AC=62\text{AC}=6\sqrt{2}AC=62​
.
Calculer la longueur 
BC\text{BC}BC
.

Un triangle est-il rectangle ?

Exercice 1
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle tel que 
AB=33\text{AB}=3\sqrt{3}AB=33​
, 
AC=72\text{AC}=7\sqrt{2}AC=72​
 et 
BC=55\text{BC}=5\sqrt{5}BC=55​
.
Le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est-il rectangle ?
Exercice 2
Soit
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle tel que 
AB=56\text{AB}=\dfrac{5}{6}AB=65​
, 
AC=23\text{AC}=\dfrac{2}{3}AC=32​
 et 
BC=0,5\text{BC}=0,5BC=0,5
.
Le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est-il rectangle ?
Exercice 3
Soit
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle tel que 
AB=0,7\text{AB}=\sqrt{0,7}AB=0,7​
, 
AC=0,8\text{AC}=\sqrt{0,8}AC=0,8​
 et 
BC=1,5\text{BC}=1,5BC=1,5
.
Le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est-il rectangle ?

Trigonométrie

Exercice 1
Soit
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle rectangle en
C\text{C}C
tel que
AB=5\text{AB} = 5AB=5
et 
BAC^=40o\widehat{\text{BAC}}=40^\text{o}BAC=40o
.
Calculer la longueur 
BC\text{BC}BC
. Arrondir à l'unité près.
Exercice 2
On considère
ABC\text{ABC}ABC
un triangle rectangle en
A\text{A}A
tel que
AC=6\text{AC} = 6AC=6
et
BC=15\text{BC} = 15BC=15
.
Calculer la valeur de l'angle 
ABC^\widehat{\text{ABC}}ABC
. Arrondir au degré près.

☛ Cercle circonscrit à un triangle

Exercice 1
Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un rectangle.
On note 
O\text{O}O
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et 
C\mathscr{C}C
 le cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
1.Justifier que le point 
O\text{O}O
 est le centre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
2.Démontrer que le point 
D\text{D}D
 appartient au cercle 
C\mathscr{C}C
.
Exercice 2
Soit
A\text{A}A
 et
B\text{B}B
 deux points tels que
AB=8\text{AB}=8AB=8
.
Soit
C\mathscr{C}C
 un demi-cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
.
Soit 
C\text{C}C
le point du demi-cercle 
C\mathscr{C}C
 tel que 
\widehat{\text{ABC}}=40^^\circ
.
1.Quelle est la nature du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?
2.Calculer la longueur 
AC\text{AC}AC
. Arrondir au dixième.

☛ Cercle circonscrit à un triangle - Solutions

Exercice  1
Soit
ABCD\text{ABCD}ABCD
 un rectangle.
On note 
O\text{O}O
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et 
C\mathscr{C}C
 le cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
1.Justifier que le point 
O\text{O}O
 est le centre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
2.Démontrer que le point 
D\text{D}D
 appartient au cercle 
C\mathscr{C}C
.
Solution
1.
ABC\text{ABC}ABC
est un triangle rectangle en
B\text{B}B
.
[AC][\text{AC}][AC]
est l'hypoténuse du triangle
ABC\text{ABC}ABC
. Donc
[AC][\text{AC}][AC]
est un diamètre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
O\text{O}O
est le milieu de
[AC][\text{AC}][AC]
, donc 
O\text{O}O
 est le centre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
2. 
ADC\text{ADC}ADC
est un triangle rectangle en
D\text{D}D
. Donc 
D\text{D}D
 appartient au cercle de diamètre
[AC][\text{AC}][AC]
.
D'où 
D\text{D}D
 appartient à
C\mathscr{C}C
.
Exercice 2
Soit
A\text{A}A
 et
B\text{B}B
 deux points tels que
AB=8\text{AB}=8AB=8
.
Soit
C\mathscr{C}C
 un demi-cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
.
Soit 
C\text{C}C
le point du demi-cercle 
C\mathscr{C}C
 tel que 
\widehat{\text{ABC}}=40^^\circ
.1.Quelle est la nature du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?
2.Calculer la longueur 
AC\text{AC}AC
. Arrondir au dixième.
Solution
1. 
C\mathscr{C}C
 est le demi-cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
.
C\text{C}C
 est un point du demi-cercle 
C\mathscr{C}C
 distinct de 
A\text{A}A
 et
B\text{B}B
.
Donc 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle en 
C\text{C}C
.
2.Dans le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 rectangle en 
C\text{C}C
, on a 
sin⁡(ABC^)=ACAB\sin \left(\widehat{\text{ABC}}\right)=\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}sin(ABC)=ABAC​
.
D'où 
AC=ABsin⁡(ABC^)\text{AC}=\text{AB}\sin \left(\widehat{\text{ABC}}\right)AC=ABsin(ABC)
, soit 
AC=8sin⁡(40o)≈5,1\text{AC}=8\sin(40^\text{o})\approx 5{,}1AC=8sin(40o)≈5,1
.