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Projeté orthogonal d'un point sur une droite

 le point d'intersection des diagonales de

Sommaire

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droiteProjeté orthogonal dans un hexagoneProjeté orthogonal et calcul de distance (1)Projeté orthogonal et calcul de distance (2)

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Exercice 1
On considère un losange 
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
On appelle 
I\text{I}I
 le point d'intersection des diagonales de
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
1.Que peut-on dire des droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BD)(\text{BD})(BD)
 ? 
2.Quel est le projeté orthogonal du point 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BD)(\text{BD})(BD)
 ?
Exercice 2
On considère le parallélogramme 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 suivant.
1.Reproduire ce parallélogramme
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
2.Construire le point 
M\text{M}M
, projeté orthogonal du point 
B\text{B}B
 sur la droite 
(AC)(\text{AC})(AC)
.
3.Construire le point 
H\text{H}H
,  projeté orthogonal du point 
B\text{B}B
 sur la droite 
(CD)(\text{CD})(CD)
.
4.Construire le point 
K\text{K}K
, projeté orthogonal du point 
D\text{D}D
 sur la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
5.Quelle est la nature du quadrilatère 
KBHD\text{KBHD}KBHD
 ?

Projeté orthogonal dans un hexagone

On considère l'hexagone régulier 
ABCDEF\text{ABCDEF}ABCDEF
 représenté ci-dessous.
1.Quel est le projeté orthogonal du point 
C\text{C}C
 sur la droite 
(AD)(\text{AD})(AD)
 ?
2.Quel est le projeté orthogonal du point 
F\text{F}F
 sur la droite 
(BE)(\text{BE})(BE)
?
3.Quel est le projeté orthogonal du point 
K\text{K}K
 sur la droite 
(AC)(\text{AC})(AC)
?
4.Quel est le projeté orthogonal du point 
K\text{K}K
 sur la droite 
(EC)(\text{EC})(EC)
?

Projeté orthogonal et calcul de distance (1)

On considère un triangle
ABC\text{ABC}ABC
 rectangle en 
A\text{A}A
 tel que 
AB=5\text{AB}=5AB=5
 et 
BC=7\text{BC}=7BC=7
.
1.Démontrer que 
AC=26\text{AC}=2\sqrt{6}AC=26​
.
2.Calculer l'aire 
A\mathcal{A}A
, en unité d'aire, du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
3.Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal du point 
A\text{A}A
 sur la droite 
BC\text{BC}BC
.
    a.Exprimer l'aire
A\mathcal{A}A
 en fonction de 
AH\text{AH}AH
.
    b.En utilisant les résultats précédents, calculer 
AH\text{AH}AH
.

Projeté orthogonal et calcul de distance (2)

On considère le parallélogramme 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 représenté ci-dessous.
On a 
AB=5\text{AB}=5AB=5
 et 
AD=3\text{AD}=3AD=3
.
Le point 
H\text{H}H
est le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(CD)(\text{CD})(CD)
.
On appelle 
A\mathcal{A}A
l'aire de 
ABCD\text{ABCD}ABCD
. On sait que :
A=12\mathcal{A}=12A=12
 unités d'aire.
On rappelle que l'aire d'un parallélogramme se calcule à l'aide de la formule : 
Base×Hauteur\text{Base} \times \text{Hauteur}Base×Hauteur
.
1.Calculer la longueur 
AH\text{AH}AH
.
2.En déduire la longueur 
DH\text{DH}DH
.