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Algèbre et géométrie

. Simplifier les expressions suivantes.

Sommaire

Un peu d'algèbre - SimplificationUn peu d'algèbre - RésolutionUn peu d'algèbre - VérificationUn peu de géométrieUn peu de géométrie - AlignementCoordonnées d'un vecteurUn peu de géométrie - Alignement

Un peu d'algèbre - Simplification

Soit
x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R
. Simplifier les expressions suivantes.
1.\(\text A(x) = 3x-7-5x+3\)
2.
B(x)=2(3x−4)−5(x+2)\text B(x) = 2(3x-4) - 5(x+2)B(x)=2(3x−4)−5(x+2)
3.\(\text C (x) = 4(2x-3y) - 7(5y-x)\)

Un peu d'algèbre - Résolution

Soit
x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R
. Résoudre les équations suivantes.
1.\((\text E_1) : 3x+5 = 11\)
2.\((\text E_2) : 7-4x = 19\)
3.\((\text E_3) : 7x-5 = 58-2x\)
4.
(E4):3(2x−4)=2(10−x)(\text E_4) : 3(2x-4) = 2(10-x)(E4​):3(2x−4)=2(10−x)
5.\((\text E_5) : \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{6+2x}{4}\)

Un peu d'algèbre - Vérification

Exercice 1
Pour chaque équation, déterminer si le nombre proposé est une solution de l'équation.
1.
(E1):3x−5=7(\text E_1) : 3x-5 = 7(E1​):3x−5=7
 pour
x=4x=4x=4
2.
(E2):−2x+4=0(\text E_2) : -2x+4 = 0(E2​):−2x+4=0
 pour
x=−2x=-2x=−2
3.\((\text E_3) : x^2-x+6 = 0\) pour
x=−3x=-3x=−3
Exercice 2
Pour chaque équation, déterminer si le couple proposé est une solution de l'équation.
1.\((\text E_1) : 2x-3y+6 = 0\)pour
(x;y)=(3;4)(x;y) = (3;4)(x;y)=(3;4)
2.\((\text E_2) : -3x+y-7 = 0\)pour
(x;y)=(4;−1)(x;y) = (4;-1)(x;y)=(4;−1)
3.\((\text E_3) : y = \dfrac{1}{4}x - 2\) pour
(x;y)=(12;1)(x;y) = (12;1)(x;y)=(12;1)
4.\((\text E_4) : y = -9x-12\) pour
(x;y)=(−3;−15)(x;y) = (-3;-15)(x;y)=(−3;−15)

Un peu de géométrie

Dans le repère
(O;I;J)(\text O ; \text I ; \text J)(O;I;J)
 ci-dessous, on considère les points
A(2;3)\text A (2;3)A(2;3)
,
B(−1;4)\text B (-1;4)B(−1;4)
 et
C(0;−2)\text C (0;-2)C(0;−2)
.
1.Quelle est la nature de ce repère ?
2.Placer les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 dans ce repère.
3.Calculer les coordonnées du milieu
M\text MM
 du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
4.Calculer la distance
AB\text{AB}AB
.

Un peu de géométrie - Alignement

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points
A(−2;−1)\text A (-2;-1)A(−2;−1)
,
B(4;5)\text B (4;5)B(4;5)
 et
C(7;8)\text C (7;8)C(7;8)
.
1.Calculer les distances
AB\text{AB}AB
,
BC\text{BC}BC
 et
AC\text{AC}AC
.
2.En déduire que les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.

Coordonnées d'un vecteur

Soit un repère orthonormé . On considère les points suivants :
A(1;2)\text A(1; 2)A(1;2)
B(3;4)\text B(3; 4)B(3;4)
C(−1;1)\text C(-1; 1)C(−1;1)
D(2;−1)\text D(2; -1)D(2;−1)
E(0;0)\text E(0; 0)E(0;0)
\text{F}(-2; 3)
1.Calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
2.Calculer les coordonnées du vecteur
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
3.Calculer les coordonnées du vecteur
AD→\overrightarrow{\text{AD}}AD
.
4.Calculer les coordonnées du vecteur
CB→\overrightarrow{\text{CB}}CB
.
5.Calculer les coordonnées du vecteur
ED→\overrightarrow{\text{ED}}ED
.
6.Calculer les coordonnées du vecteur
FB→\overrightarrow{\text{FB}}FB
.

Un peu de géométrie - Alignement

Exercice 1
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points
A(−3;2)\text A (-3;2)A(−3;2)
,
B(−1;−3)\text B (-1;-3)B(−1;−3)
 et
C(−7;12)\text C (-7;12)C(−7;12)
.
1.Calculer les coordonnées des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
2.Déterminer si les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
 sont colinéaires.
3.Que peut-on en déduire sur la position des points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 ?
Exercice 2
Dans un repère orthonormé
(O;I;J)(\text O; \text I; \text J)(O;I;J)
 du plan, on considère les points
A(2;3)\text A(2; 3)A(2;3)
 et
B(−1;4)\text B(-1; 4)B(−1;4)
.
1.Tracer la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 dans ce repère.
2.Soit
C(8;1)\text C(8;1)C(8;1)
. Quelle conjecture peut-on formuler sur la position des points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 ?
3.Vérifier la conjecture.