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Vecteur directeur d'une droite

Sur GeoGebra, on a construit deux points

Sommaire

Introduction GeoGebra - Droite et vecteur directeurIntroduction - Droite et vecteur directeurVecteur directeur d'une droite

Introduction GeoGebra - Droite et vecteur directeur

Sur GeoGebra, on a construit deux points
A\text AA
 et
B\text BB
 distincts ainsi que le vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Soit
k∈[−3;3]k \in [-3;3]k∈[−3;3]
.
On a construit le point
M\text MM
 tel que
AM→=k×AB→\overrightarrow{\text{AM}} = k \times \overrightarrow{\text{AB}}AM=k×AB
 .
Sur GeoGebra, cliquer sur "Activer la trace du point
M\textbf{M}M
". Cela active le curseur
kkk
 : le point
M\text MM
 se déplace dans le plan en laissant une trace derrière lui.
1.Qu'est-ce que semble être la trace laissée par le point
M\text MM
 ?
2.Sur GeoGebra, cliquer sur"Désactiver la trace du point
M\textbf{M}M
" puis ''Effacer la trace".
Déplacer les points
A\text AA
 et
B\text BB
.
Cliquer sur  "Activer la trace du point
M\textbf{M}M
".
Obtient-on le même constat qu'à la question1.?

Introduction - Droite et vecteur directeur

Soit A et B deux points distincts du plan. Soit 
kkk
 un réel.
On considère le point
M\text MM
 tel que
AM→=k×AB→\overrightarrow{\text{AM}} = k \times \overrightarrow{\text{AB}}AM=k×AB
 .
1.Que peut-on en déduire concernant les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 ?
2.Que peut-on en déduire pour les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
M\text MM
 ?
3.Où se situe le point
M\text MM
 lorsque
k=0k=0k=0
 ?
4.Où se situe le point
M\text MM
 lorsque
k=1k=1k=1
 ?
5.Préciser la position du point
M\text MM
par rapport à
A\text AA
et
B\text BB
dans chacun des cas suivants.
  • \(k > 1\)
  • \(k \in [0;1]\)
  • \(k<0\)
Conclusion :le réel
kkk
 donne une position au point
M\text MM
 à partir du point
A\text AA
 et à l'aide du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 . Le rôle du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 est de donner une direction à la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.

Vecteur directeur d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Propriété
Soit 
A\text AA
un point du plan et
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur non nul. L'ensemble des points 
M\text MM
du plan tels que les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires est une droite passant par
A\text AA
.
Démonstrationpartielle
Démontrons que la droite obtenue passe par le point
A\text AA
.
On considère le vecteur
AA→\overrightarrow{\text{AA}}AA
 . C'est le vecteur nul.
Or, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En particulier, il est colinéaire au vecteur
u→\overrightarrow{u}u
.
Donc le point 
A\text AA
appartient à l'ensemble considéré, qui est une droite.
Définition
Soit 
A\text AA
un point du plan et
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur non nul. On considère la droite qui est l'ensemble des points 
M\text MM
du plan tels que les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires.
On dit que le vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 est unvecteur directeurde cette droite.
Propriété
Soit
A\text AA
 et
B\text BB
 deux points distincts. Le vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 est unvecteur directeurde la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Tout vecteur non nul colinéaire à
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 est un vecteur directeur de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Exemples
  • Les vecteurs\(\overrightarrow{\text{AB}}\),\(\overrightarrow{u}\) et\(\overrightarrow{v}\) sont des vecteurs directeurs de la droite\((\text{AB})\) illustrée ci-dessous.
  • Soit\(\text A(1;2)\) et\(\text B(4;3)\) deux points du plan.
    Alors un vecteur directeur de la droite\((\text{AB})\) est le vecteur\(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\). 
    Les vecteurs\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 15 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\) et\(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}\) sont également des vecteurs directeurs de la droite\((\text{AB})\).
Propriété
Soit
ddd
 une droite et 
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur directeur de cette droite.
Les vecteurs directeurs de la droite
ddd
 sont tous les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur
u→\overrightarrow{u}u
.
Remarque
Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs. Ces vecteurs directeurs sont tous les vecteurs du plan qui ont même direction que celle de la droite.