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Équation cartésienne d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé

Sommaire

Caractérisation d'une droiteÉquation cartésienne d'une droite✎☛ Déterminer une équation cartésienne à l'aide d'un déterminant✎☛ Déterminer une équation de droite par identification

Caractérisation d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Propriété
Soit
a,ba,ba,b
 deux réels tels que
(a;b)≠(0;0)(a;b) \neq (0;0)(a;b)=(0;0)
.
Soit
ddd
 une droite dont un vecteur directeur est
u→(−ba)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}u(−ba​)
.
Un point
M(x;y)\text M(x;y)M(x;y)
 du plan appartient à la droite
ddd
 si et seulement si ses coordonnées
(x;y)(x;y)(x;y)
vérifient une équation de la forme
ax+by+c=0\boxed{ax+by+c=0}ax+by+c=0​
, où
c∈Rc \in \mathbb{R}c∈R
.
Démonstration
Soit
a,ba,ba,b
 deux réels tels que
(a;b)≠(0;0)(a;b) \neq (0;0)(a;b)=(0;0)
.
Soit 
ddd
une droite dont un vecteur directeur est
u→(−ba)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}u(−ba​)
.
Soit
A(xA;yA)\text A(x_A;y_A)A(xA​;yA​)
 un point de la droite
ddd
 et
M(x;y)\text M(x;y)M(x;y)
 un point du plan.
On considère les vecteur
AM→(x−xAy−yA)\overrightarrow{\text{AM}}\begin{pmatrix} x-x_A \\ y-y_A \\ \end{pmatrix}AM(x−xA​y−yA​​)
 et
u→(−ba)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}u(−ba​)
. Ainsi, on a :
det(AM→;u→)=(x−xA)×a−(y−yA)×(−b)=a(x−xA)+b(y−yA)=ax+by−axA−byA\begin{array}{rcl}\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) & = & (x-x_A) \times a - (y - y_A) \times (-b) \\& = & a(x-x_A) + b(y-y_A) \\& = & ax + by -ax_A-by_A \\\end{array}det(AM;u)​===​(x−xA​)×a−(y−yA​)×(−b)a(x−xA​)+b(y−yA​)ax+by−axA​−byA​​
Le point
M\text MM
 appartient à la droite
ddd
 si et seulement si les vecteurs 
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires.
Autrement dit : le point 
M\text MM
 appartient à la droite 
ddd
 si et seulement si
det(AM→;u→)=0\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AM}}; \overrightarrow{u} \right) = 0det(AM;u)=0
.
On pose
c=−axA−byAc=-ax_A -by_Ac=−axA​−byA​
.
Donc le point
M\text MM
 appartient à la droite
ddd
 si et seulement si ses coordonnées
(x;y)(x;y)(x;y)
 vérifient l'équation
ax+by+c=0ax+by +c=0ax+by+c=0
.

Équation cartésienne d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Définition
Soit
a,b,ca,b,ca,b,c
 des réels tels que
(a;b)≠(0;0)(a;b) \neq (0;0)(a;b)=(0;0)
.
On considère la droite
ddd
qui est l'ensemble des points
M(x;y)\text M(x;y)M(x;y)
 du plan tels que
ax+by+c=0.ax+by+c=0.ax+by+c=0.
L'équation
ax+by+c=0\boxed{ax+by+c=0}ax+by+c=0​
 est uneéquation cartésiennede la droite
ddd
.
Remarque
Toute droite du plan possède une infinité d'équations cartésiennes.
Exemple
Soit
ddd
 la droite d'équation cartésienne
2x+5y+1=02x+5y+1=02x+5y+1=0
.
Les points
A(−3;1)\text A (\color{green}{-3};\color{red}{1})A(−3;1)
 et
B(4;−3)\text B(\color{green}{4};\color{red}{-3})B(4;−3)
 appartiennent-ils à la droite
ddd
 ?
  • On a\(2\times(\color{green}{-3}) + 5 \times \color{red}{1} + 1 = 0\). Donc le point\(\text A\) appartient à la droite\(d\).
  • On a\(2 \times \color{green}{4} + 5 \times (\color{red}{-3}) + 1 \neq 0\). Donc le point\(\text B\) n'appartient pas à la droite\(d\).
Propriété
Soit
a,b,ca,b,ca,b,c
 des réels tels que
(a;b)≠(0;0)(a;b) \neq (0;0)(a;b)=(0;0)
.
Soit
ddd
 la droite d'équation cartésienne
ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0
.
Un vecteur directeur de la droite
ddd
 est
u→(−ba)\boxed{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}}u(−ba​)​
.
Exemple
Un vecteur directeur de la droite 
ddd
d'équation
2x+5y+1=02x+5y+1=02x+5y+1=0
 est
u→(−52)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ \end{pmatrix}u(−52​)
.
Remarque
  • Si\(a = 0\), alors\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite\(d\).
    La droite \(d\)est donc parallèle à l'axe des abscisses.
    Par exemple, la droite d'équation cartésienne\(5y+1=0\) est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Si\(b = 0\), alors\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite\(d\).
    La droite \(d\)est donc parallèle à l'axe des ordonnées.
    Par exemple, la droite d'équation cartésienne\(2x+1=0\) est parallèle à l'axe des ordonnées.

✎☛ Déterminer une équation cartésienne à l'aide d'un déterminant

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Méthodeen utilisant le déterminant
Soit
A(xA;yA)\text A (x_{\text A}; y_{\text A})A(xA​;yA​)
 un point et
u→(αβ)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{pmatrix}u(αβ​)
 un vecteur non nul.
On considère la droite
ddd
 passant par le point
A\text AA
 et de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
Dire qu'un point
M(x;y)\text M (x;y)M(x;y)
 appartient à la droite
ddd
 revient à dire que les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires, c'est-à-dire que
det(AM→;u→)=0\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) = 0det(AM;u)=0
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
ddd
 passant par le point
A(2;3)\text A (2;3)A(2;3)
 et de vecteur directeur
u→(4−5)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}u(4−5​)
. Déterminer une équation cartésienne de la droite
ddd
.
Solution
Un point
M(x;y)\text M (x;y)M(x;y)
 appartient à la droite
ddd
 si et seulement si
det(AM→;u→)=0\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AM}} ; \overrightarrow{u} \right) = 0det(AM;u)=0
.
Ainsi, on a
∣x−xA4y−yA−5∣=0\left\lvert \begin{array}{cc} x-x_{\text{A}} & 4\\ y-y_{\text{A}} & -5\\ \end{array} \right\rvert = 0​x−xA​y−yA​​4−5​​=0
 soit
∣x−24y−3−5∣=0\left\lvert \begin{array}{cc} x-2 & 4\\ y-3 & -5\\ \end{array} \right\rvert = 0​x−2y−3​4−5​​=0
ce qui équivaut à 
(x−2)×(−5)−(y−3)×4=0\left(x-2\right) \times (-5) - \left(y - 3\right) \times 4 = 0(x−2)×(−5)−(y−3)×4=0
.
En développant, on obtient l'équation
−5x−4y+22=0-5x-4y+22=0−5x−4y+22=0
.
Donc une équation cartésienne de la droite
ddd
 est
−5x−4y+22=0-5x-4y+22=0−5x−4y+22=0
.

✎☛ Déterminer une équation de droite par identification

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Méthodeen identifiant les coefficients a et b
Soit
A(xA;yA)\text A (x_{\text A}; y_{\text A})A(xA​;yA​)
 un point et
u→(αβ)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{pmatrix}u(αβ​)
 un vecteur non nul.
On considère la droite
ddd
 passant par le point
A\text AA
 et de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
La droite
ddd
 admet une équation cartésienne de la forme
ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0
.
On commence par identifier les valeurs des coefficients
aaa
 et
bbb
 à l'aide des coordonnées du vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
Puis, on trouve la valeur du coefficient
ccc
 en résolvant l'équation après avoir remplacé les variables
xxx
 et
yyy
 par les coordonnées du point
A\text AA
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
ddd
 passant par le point
A(2;3)\text A (2;3)A(2;3)
 et de vecteur directeur
u→(4−5)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}u(4−5​)
. Déterminer une équation cartésienne de la droite
ddd
.
Solution
Une équation cartésienne de la droite 
ddd
 est
ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0
 avec
a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R}a,b,c∈R
 tels que
(a;b)≠(0;0)(a;b) \neq (0;0)(a;b)=(0;0)
.
On sait que le vecteur de coordonnées 
(−ba)\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}(−ba​)
est un vecteur directeur de
ddd
.
Puisque
u→(4−5)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \color{blue}{4}\\ \color{orange}{-5}\\ \end{pmatrix}u(4−5​)
 est un vecteur directeur de la droite
ddd
, on peut poser
a=−5a=\color{orange}{-5}a=−5
 et
b=−4b = -\color{blue}{4}b=−4
.
Une équation cartésienne de la droite
ddd
 est donc :
−5x−4y+c=0\color{orange}{-5}x-\color{blue}{4}y+c=0−5x−4y+c=0
.
On sait que
A(2;3)∈d\text A (\color{green}{2};\color{red}{3}) \in dA(2;3)∈d
 , ce qui revient à dire que
−5×2−4×3+c=0\color{orange}{-5} \times \color{green}{2} -\color{blue}{4} \times \color{red}{3} + c = 0−5×2−4×3+c=0
.
Ainsi, on a
c=22c=22c=22
 après résolution.
Donc une équation cartésienne de la droite
ddd
 est
−5x−4y+22=0-5x-4y+22=0−5x−4y+22=0
.