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Équation réduite d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé

Sommaire

Équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des ordonnéesIntroduction GeoGebra - Droite d'équation y=mx+pDroite non parallèle à l'axe des ordonnées - GénéralitésDroite non parallèle à l'axe des ordonnées - CoefficientsDroite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficient directeur✎☛ Déterminer une équation réduite à partir d'un coefficient directeur et d'un point✎☛ Déterminer une équation réduite à partir de deux points

Équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Propriété
Soit
ddd
 une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Alors, une équation cartésienne de
ddd
 peut s'écrire sous la forme
x=k\boxed{x=k}x=k​
 , avec
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
Définition
Soit
ddd
 une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui admet comme équation
x=kx=kx=k
 , avec
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
On dit que
x=kx=kx=k
 est l'équation réduitede la droite
ddd
.
Exemples
On a représenté les droites d'équation
x=−2\color{green}{x=-2}x=−2
 et
x=3\color{red}{x=3}x=3
 dans le repère orthonormé ci-dessus.
Remarques
  • L'axe des ordonnées du repère admet comme équation réduite\(x=0\).
  • Une droite parallèle à l'axe des ordonnées ne représente pas une fonction (car un nombre de l'ensemble de définition d'une fonction ne peut avoir qu'une seule image par cette fonction).
Propriétéréciproque
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
x=kx=kx=k
, avec
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
Alors
ddd
 est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Démonstration
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
x=kx=kx=k
, avec
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.
Alors une équation cartésienne de la droite
ddd
 est
x−k=0x-k=0x−k=0
 soit
1×x+0×y+k=0\color{orange}{1} \times x + \color{blue}{0} \times y + k = 01×x+0×y+k=0
.
Ainsi un vecteur directeur de la droite
ddd
 est le vecteur
u→(01)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \color{blue}{0}\\ \color{orange}{1} \end{pmatrix}u(01​)
.
Donc la droite
ddd
 est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Introduction GeoGebra - Droite d'équation y=mx+p

Sur GeoGebra, cliquer sur "Générer une équation aléatoire" : ceci crée, dans le repère, une droite d'équation
y=mx+py=mx+py=mx+p
 où
mmm
 et
ppp
 sont deux entiers compris entre
−3-3−3
 et
333
.
1.Générer plusieurs droites. Observer l'intersection de chaque droite avec l'axe des ordonnées. Quel semble être le rôle du coefficient
ppp
 ?
Le coefficient
ppp
 est appelé l'ordonnée à l'originede la droite.
2.a.Générer plusieurs droites. Pour chacune, quel semble être l'impact du signe du coefficient
mmm
 ?b.Générer plusieurs droites. Quel semble être le rôle du coefficient
mmm
 ?
Le coefficient
mmm
 est appelé lecoefficient directeurde la droite.

Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Généralités

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Propriété
Soit
ddd
 une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Alors une équation cartésienne de
ddd
 peut s'écrire sous la forme
y=mx+p\boxed{y=mx+p}y=mx+p​
 , avec
mmm
 et
ppp
 deux réels.
Définition
Soit
ddd
 une droite non parallèle à l'axe des ordonnées qui admet comme équation
y=mx+py=mx+py=mx+p
 ,avec
mmm
 et
ppp
 deux réels.
On dit que
y=mx+py=mx+py=mx+p
 est l'équation réduitede la droite
ddd
.
Exemples
On a représenté les droites d'équation
y=2x+3\color{green}{y=2x+3}y=2x+3
 et
y=−x−2\color{red}{y=-x-2}y=−x−2
 dans le repère orthonormé ci-dessus.
Remarques
  • Toute droite du plan possède une unique équation réduite.
  • Une droite\(d\) d'équation réduite\(y=mx+p\) (où\(m\)et\(p\)sont deux réels) est la représentation graphique de la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\)par\(f(x)=mx+p\).
Propriétéréciproque
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
 .
Alors
ddd
 est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficients

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Définitions
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
  • Le coefficient\(m\) est appeléla pente (ou le coefficient directeur)de la droite\(d\).
  • Le coefficient\(p\) est appelél'ordonnée à l'originede la droite\(d\).
Remarque
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Si
x=0x=0x=0
 alors
y=py=py=p
. Le point
M(0;p)\text M(0;p)M(0;p)
 appartient donc à la droite
ddd
.
Il appartient aussi à l'axe des ordonnées.
ppp
 est donc l'ordonnée du point d'intersection de
ddd
 avec l'axe des ordonnées. Ceci explique le nom donné au coefficient
ppp
 !
Exemples
  • L'ordonnée à l'originede la droite d'équation\(\color{green}{y=2x+3}\) est\(\color{green} 3\).
  • L'ordonnée à l'originede la droite d'équation\(\color{red}{y=-x-2}\) est\(\color{red}{-2}\).
Propriété
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Alors
u→(1m)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ m\\ \end{pmatrix}u(1m​)
 est un vecteur directeur de la droite
ddd
. Ceci explique le nom donné au coefficient
mmm
 !
Démonstration
Soit
ddd
 une droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Alors
mx−y+p=0mx-y+p=0mx−y+p=0
 est une équation cartésienne de la droite
ddd
 et
u→(1m)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}u(1m​)
 est un vecteur directeur de la droite
ddd
.
Remarque
Soit
ddd
 la droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Si
m=0m=0m=0
, alors la droite a pour équation
y=py=py=p
 ; elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Exemples
  • Lecoefficient directeurde la droite\(\color{green}{d_1}\) est\(\color{green}{2}\).
  • Lecoefficient directeurde la droite\(\color{red}{d_2}\) est\(\color{red}{-1}\).
  • La droite\(\color{purple}{d_3}\) estparallèle à l'axe des abscisses : son coefficient directeur est nul.

Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficient directeur

Le plan est muni d'un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
Propriété
Soit
ddd
 la droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels. On appelle
fff
 la fonction affine définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=mx+pf(x)=mx+pf(x)=mx+p
. Elle est représentée graphiquement par la droite
ddd
.
  • Si\(m > 0\), alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur\(\mathbb{R}\).
  • Si\(m=0\), alors la fonction\(f\) est constante sur\(\mathbb{R}\).
  • Si\(m<0\), alors la fonction\(f\) est strictement décroissante sur\(\mathbb{R}\).
Propriété
Soit
ddd
 la droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Soit
A(xA;yA)\text A(x_{\text A};y_{\text A})A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B (x_{\text B};y_{\text B})B(xB​;yB​)
 deux points distincts de
ddd
.
Alors le coefficient directeur de
ddd
 est donné par
m=yB−yAxB−xA\boxed{m = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}}m=xB​−xA​yB​−yA​​​
.
Démonstration
Soit
ddd
 la droite d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
mmm
 et
ppp
 sont deux réels.
Soit
A(xA;yA)\text A(x_{\text A};y_{\text A})A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B (x_{\text B};y_{\text B})B(xB​;yB​)
 deux points distincts de
ddd
.
Un vecteur directeur de la droite
ddd
 est
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A} \\ y_{\text B} - y_{\text A} \\ \end{pmatrix}AB(xB​−xA​yB​−yA​​)
. Le vecteur
1xB−xAAB→\dfrac{1}{x_{\text B} - x_{\text A}} \overrightarrow{\text{AB}}xB​−xA​1​AB
 de coordonnées
(1yB−yAxB−xA)\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} \\ \end{pmatrix}(1xB​−xA​yB​−yA​​​)
 est un vecteur non nul colinéaire au vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
Doncle vecteur
1xB−xAAB→\dfrac{1}{x_{\text B} - x_{\text A}} \overrightarrow{\text{AB}}xB​−xA​1​AB
 est également un vecteur directeur de la droite
ddd
.
Pusisque le vecteur
u→(1m)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}u(1m​)
 est un vecteur directeur de la droite
ddd
, on en déduit que :
m=yB−yAxB−xAm = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}m=xB​−xA​yB​−yA​​
.
Exemple
Soit
A(−3;1)\text{A} (-3;1)A(−3;1)
 et
B(4;−3)\text B (4;-3)B(4;−3)
 deux points d'une droite
ddd
 d'équation réduite
y=mx+py=mx+py=mx+p
.
Le coefficient directeur de la droite
ddd
 est :
m=yB−yAxB−xA=−3−14−(−3)=−47m = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}= \dfrac{-3 - 1}{4 - (-3)} = -\dfrac{4}{7}m=xB​−xA​yB​−yA​​=4−(−3)−3−1​=−74​
.

✎☛ Déterminer une équation réduite à partir d'un coefficient directeur et d'un point

Dans un repère orthonormé du plan, on considère une droite
ddd
 de coefficient directeur
m
 et passant par un point
A(xA;yA)\text A (x_{\text A}; y_{\text A})A(xA​;yA​)
.
Méthode
L'équation réduite de la droite est de la forme
y=mx+py = mx+py=mx+p
.
On remplace
mmm
 par sa valeur. Puis on trouve la valeur de l'ordonnée à l'origine
ppp
 :on remplace les variables
xxx
 et
yyy
 par les coordonnées du point
A\text AA
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite
ddd
 passant par le point
A(3;−1)\text A (3;-1)A(3;−1)
 et de coefficient directeur
m=2m=2m=2
. Déterminer l'équation réduite de la droite
ddd
.
Solution
L'équation réduite de la droite 
ddd
 est de la forme
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
m
 et
p
 sont des réels.
Puisque
m=2m=2m=2
, l'équation réduite est
y=2x+py=2x+py=2x+p
.
A(3;−1)∈d\text A (\color{green}{3};\color{red}{-1}) \in dA(3;−1)∈d
 signifie que
−1=2×3+p\color{red}{-1} = 2 \times \color{green}{3} + p−1=2×3+p
.
Ainsi, en résolvant l'équation, on obtient
p=−7p=-7p=−7
.
Donc l'équation réduite de la droite
ddd
 est
y=2x−7y=2x-7y=2x−7
.

✎☛ Déterminer une équation réduite à partir de deux points

Dans un repère orthonormé du plan, on considère deux points
A(xA;yA)\text A(x_{\text A}; y_{\text A})A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B(x_{\text B}; y_{\text B})B(xB​;yB​)
.
On veut déterminer l'équation réduite de la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Méthode
  • Si\(x_{\text A} = x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est\(x=x_A\).
  • Si\(x_{\text A} \neq x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite\((\text{AB})\)est de la forme\(y = mx+p\).
    On calcule le coefficient directeur\(m\) à l'aide des coordonnées des points\(\text A\) et\(\text B\). Puis, on calcule la valeur de l'ordonnée à l'origine\(p\) : on remplace les variables\(x\) et\(y\) par les coordonnées du point\(\text A\) (ou par celles du point\(\text B\)), puis on résout l'équation obtenue.
Énoncé
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points
A(−2;3)\text A (-2;3)A(−2;3)
 et
B(4;−1)\text B (4; -1)B(4;−1)
.
Déterminer l'équation réduite de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Solution
On a
xA≠xBx_{\text A} \neq x_{\text B}xA​=xB​
, donc la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et son équation réduite est de la forme
y=mx+py=mx+py=mx+p
, où
m
 et
p
 sont des réels.
On a
m=yB−yAxB−xA=−1−34−(−2)=−23m= \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} = \dfrac{-1-3}{4-(-2)} = -\dfrac{2}{3}m=xB​−xA​yB​−yA​​=4−(−2)−1−3​=−32​
 et l'équation réduite est donc
y=−23x+py=-\dfrac{2}{3}x+py=−32​x+p
.
A(−2;3)∈d\text A (-2;3) \in dA(−2;3)∈d
 signifie que
3=−23×(−2)+p3 = -\dfrac{2}{3} \times (-2) + p3=−32​×(−2)+p
.
Ainsi, en résolvant l'équation précédente, on obtient
p=53p=\dfrac{5}{3}p=35​
.
Donc l'équation réduite de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 est
y=−23x+53y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}y=−32​x+35​
.