Position relative de deux droites

Le plan est muni d'un repère orthonormé

\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)

.

Définition

Deux droites du plan sontparallèlessi elles ont la même direction.
Deux droites parallèles sont soit confondues, soit strictement parallèles.

Propriété

Deux droites du plan sontparallèlessi et seulement si un vecteur directeur de l'une est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre.

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit

d

et

d'

deux droites d'équations cartésiennes respectives

2x+5y+1=0

et

6x+15y-7=0

.
Ainsi, un vecteur directeur de la droite

d

est

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -5\\ 2\\ \end{pmatrix}

 et un vecteur directeur de la droite

d'

est

\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -15\\ 6\\ \end{pmatrix}

.
On remarque que l'on a

\overrightarrow{v} = 3 \times \overrightarrow{u}

 et donc les vecteurs

\overrightarrow{u}

et

\overrightarrow{v}

  sont colinéaires.
Par conséquent, les droites

d

et

d'

 sont parallèles.

Propriété

Soit

d

et

d'

deux droites d'équations cartésiennes respectives

ax+by+c=0

et

a'x+b'y+c'=0

.
Les droites

d

et

d'

 sont parallèles si et seulement si il existe un réel

k

 tel que

\begin{cases} a^{\prime} = k \times a\\ b^{\prime} = k \times b\\ \end{cases}

.
Si de plus, on a également

c^{\prime} = k \times c

 alors les droites

d

et

d'

 sont en réalité confondues.

Démonstration

Soit

d

et

d'

deux droites d'équations cartésiennes respectives

ax+by+c=0

et

a'x+b'y+c'=0

. Le vecteur

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \\ \end{pmatrix}

 est un vecteur directeur de la droite

d

 et le vecteur

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -b^{\prime}\\ a^{\prime} \\ \end{pmatrix}

 est un vecteur directeur de la droite

d^{\prime}

. Ainsi, on a les équivalences suivantes :

d \parallel d^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \text{ sont colineaires} \Leftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u} \Leftrightarrow \begin{cases} a^{\prime} = k \times a \\ b^{\prime} = k \times b\\ \end{cases}

Supposons de plus que l'on a 

c^{\prime} = k \times c

. Une équation cartésienne de la droite

d

est

ax+by+c=0

 soit

k \times (ax+by+c) = 0

 soit

a^{\prime} x + b^{\prime} y + c^{\prime} = 0

 en développant. Donc une équation cartésienne de la droite

d

 est une équation cartésienne de la droite

d^{\prime}

 et les deux droites sont confondues.

Propriété

Soit

d

et

d'

deux droites d'équations réduites respectives

y=mx+p

et

y=m'x+p'

.
Les droites

d

et

d'

 sontparallèlessi et seulement si on a

m=m'

.
Si de plus, on a

p=p'

, alors les droites

d

et

d'

 sontconfondues.

Exemple

Les droites

\color{green}{d_1}

et

\color{red}{d_2}

 ont le mêmecoefficient directeur, mais desordonnées à l'originedifférentes.
Donc les droites

\color{green}{d_1}

et

\color{red}{d_2}

 sontstrictement parallèles.

Position relative de deux droites sécantes

Le plan est muni d'un repère orthonormé

\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)

.

Définition

Deux droites du plan sontsécantessi elles ne sont pas parallèles. 
Deux droites sécantes possèdent un unique point d'intersection.

Exemple

Soit

d

et

d'

 deux droites dont les équations réduites respectives sont

y=3x+2

et

y=-2x+7

.
Puisque

3 \neq -2

, les droites

d

et

d'

 ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.

Propriété

Si les droites

d

et

d'

 sont sécantes, alors les coordonnées de leur point d'intersection forment l'unique couple de solution d'un système de deux équations composé d'une équation de la droite

d

 et d'une équation de la droite

d'

.

Exemple

Dans l'exemple précédent, on remarque qu'en prenant

x=1

, les équations réduites des droites

d

et

d'

 donnent toutes deux 

y=5

.
Ainsi, le point d'intersection des droites

d

et

d'

 est le point

\text K(1;5)

.