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Vecteur directeur d'une droite

Donner deux vecteurs directeurs de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé ci-des...

Sommaire

* Lecture graphique* Quelques tracés☛ ** Trois points sont-ils alignés ?** Ces points sont-ils alignés ?*** Trois points, deux droites et un quadrilatère

* Lecture graphique

Donner deux vecteurs directeurs de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé ci-dessous.

* Quelques tracés

Dans un repère orthonormé, tracer la droite passant par le point donné et dirigée par le vecteur donné.
1.La droite
d1d_1d1​
 passe par le point
A(3;2)\text{A}(3;2)A(3;2)
 et est dirigée par le vecteur
u→(1−2)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}u(1−2​)
.
2.La droite
d2d_2d2​
 passe par le point
B(−3;−4)\text{B}(-3;-4)B(−3;−4)
 et est dirigée par le vecteur
v→(24)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}v(24​)
.
3.La droite
d3d_3d3​
 passe par le point
C(−1;5)\text{C}(-1;5)C(−1;5)
 et est dirigée par le vecteur
w→(07)\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 0\\ 7 \end{pmatrix}w(07​)
.
4.La droite
d4d_4d4​
 passe par le point
D(4;−2)\text{D}(4;-2)D(4;−2)
 et est dirigée par le vecteur
t→(−31)\overrightarrow{t} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}t(−31​)
.
5.La droite
d5d_5d5​
 passe par le point
E(0;6)\text{E}(0;6)E(0;6)
 et est dirigée par le vecteur
z→(−30)\overrightarrow{z} \begin{pmatrix} -3\\ 0 \end{pmatrix}z(−30​)
.

☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé
Dans un repère orthonormé, on considère les points
A(−3;−7)\text{A}(-3;-7)A(−3;−7)
,
B(2;8)\text B(2;8)B(2;8)
 et
C(17;53)\text C (17;53)C(17;53)
.
Les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont-ils alignés ?
Solution
Dire que les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés revient à dire que le point
C\text CC
 appartient à la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Le vecteur
AB→(515)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5\\ 15\\ \end{pmatrix}AB(515​)
 est un vecteur directeur de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
De plus, on a
AC→(2060)\overrightarrow{\text{AC}} \begin{pmatrix} 20\\ 60\\ \end{pmatrix}AC(2060​)
.
Ainsi, on a
det(AB→;AC→)=0\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AB}}; \overrightarrow{\text{AC}} \right) = 0det(AB;AC)=0
.
Donc les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
 sont colinéaires.
Par conséquent, les points 
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.

** Ces points sont-ils alignés ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les points 
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.
1.
A(1;2)\text A (1;2)A(1;2)
,
B(3;6)\text B (3;6)B(3;6)
 et
C(5;10)\text C (5;10)C(5;10)
2.
A(−2;3)\text A (-2;3)A(−2;3)
,
B(−5;10)\text B (-5;10)B(−5;10)
 et
C(−14;24)\text C (-14;24)C(−14;24)
3.
A(13;23)\text A \left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)A(31​;32​)
,
B(−2;−1)\text B (-2;-1)B(−2;−1)
 et
C(2;3)\text C (2;3)C(2;3)
4.
A(0;−1)\text A (0;-1)A(0;−1)
,
B(−3;5)\text B (-3;5)B(−3;5)
 et
C(6;−9)\text C (6;-9)C(6;−9)

*** Trois points, deux droites et un quadrilatère

Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
du plan, on considère les points
A(−3;−2)\text{A}(-3;-2)A(−3;−2)
,
B(1;4)\text{B}(1;4)B(1;4)
 et
C(3;−1)\text{C}(3;-1)C(3;−1)
.
1.Placer les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 dans le repère
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}\right)(O;i;j​)
.
2.On sait que le vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
est un vecteur directeur de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 et qu'il a pour abscisse
111
. Déterminer l'ordonnée du vecteur
u→\overrightarrow{u}u
.
3.Tracer la droite parallèle à la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 passant par
C\text CC
.
4.Déterminer les coordonnées du point
D\text DD
 tel que
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un parallélogramme.
5.Déterminer si le quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
 est un losange.