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Équation cartésienne d'une droite

Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé

Sommaire

* Représentation graphique et équation cartésienne* Construire, représenter une droite à partir d'une équation cartésienne☛ ** Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur** À la recherche de l'équation cartésienne** Équation cartésienne à partir de deux points☛ ** Trois points sont-ils alignés ?** Ces points sont-ils alignés ?*** Équation à partir de trois points*** Un ancien théorème

* Représentation graphique et équation cartésienne

Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
 ci-dessous.

* Construire, représenter une droite à partir d'une équation cartésienne

Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
, représenter les droites suivantes dont on connaît une équation cartésienne. 
1.
d1:x−y+3=0d_1 : x-y+3=0d1​:x−y+3=0
2.
d2:2x−y+5=0d_2 : 2x-y+5 = 0d2​:2x−y+5=0
3.
d3:3x+3y−6=0d_3 : 3x+3y-6=0d3​:3x+3y−6=0
4.
d4:5y−20=0d_4 : 5y-20=0d4​:5y−20=0
5.
d5:−4x−16=0d_5 : -4x-16=0d5​:−4x−16=0

☛ ** Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur

Énoncé
Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
, on considère une droite
ddd
 d'équation
2x−5y−3=0.2x-5y-3=0.2x−5y−3=0.
Déterminer une équation de la droite
d′d^{\prime}d′
 passant par le point
A(−6;4)\text A(-6;4)A(−6;4)
 et parallèle à la droite
ddd
.
Solution
D'après les coefficients de l'équation cartésienne de la droite
ddd
, on peut affirmer que le vecteur
u→(52)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}u(52​)
 est un vecteur directeur de cette droite.
Les droites
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
 étant parallèles, le vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 est également un vecteur directeur de la droite
d′d^{\prime}d′
.
Soit
M(x;y)\text M(x ; y)M(x;y)
 un point appartenant à la droite
d′d^{\prime}d′
. Alors le vecteur
AM→(x+6y−4)\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x +6\\ y - 4\\ \end{pmatrix}AM(x+6y−4​)
 est aussi un vecteur directeur de la droite
d′d^{\prime}d′
.
Les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
u→\overrightarrow{u}u
 sont donc colinéaires, ce qui se traduit par :
∣x+65y−42∣=0\left\lvert \begin{array}{cc} x+6 & 5 \\ y-4 & 2 \\ \end{array} \right\rvert = 0​x+6y−4​52​​=0
 soit
(x+6)×2−(y−4)×5=0(x+6) \times 2 - (y-4) \times 5 = 0(x+6)×2−(y−4)×5=0
 soit
2x−5y+32=0{2x-5y+32=0}2x−5y+32=0
.
Une équation cartésienne de la droite
d′d^{\prime}d′
 est donc
2x−5y+32=0{2x-5y+32=0}2x−5y+32=0
.

** À la recherche de l'équation cartésienne

Dans chacun des cas suivants, on considère une droite dont on donne un vecteur directeur et un point par lequel elle passe. Déterminer une équation cartésienne de la droite.
1.La droite
d1d_1d1​
 dirigée par le vecteur
u→(1−3)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\\ -3\\ \end{pmatrix}u(1−3​)
 et passant par le point
A(−2;5)\text A (-2;5)A(−2;5)
.
2.La droite
d2d_2d2​
 dirigée par le vecteur
v→(−27)\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2\\ 7\\ \end{pmatrix}v(−27​)
 et passant par le point
B(3;1)\text B (3;1)B(3;1)
.
3.La droite
d3d_3d3​
 dirigée par le vecteur
w→(23−53)\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\ -\dfrac{5}{3}\\ \end{pmatrix}w​32​−35​​​
 et passant par le point
C(0;−4)\text C (0;-4)C(0;−4)
.
4.La droite
d4d_4d4​
 dirigée par le vecteur
t→(5234)\overrightarrow{t} \begin{pmatrix} \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{3}{4}\\ \end{pmatrix}t​25​43​​​
 et passant par le point
D(7;0)\text D (7;0)D(7;0)
.
5.La droite
d5d_5d5​
 dirigée par le vecteur
z→(0−4)\overrightarrow{z} \begin{pmatrix} 0\\ -4\\ \end{pmatrix}z(0−4​)
 et passant par le point
E(−6;3)\text E (-6;3)E(−6;3)
.

** Équation cartésienne à partir de deux points

Dans chacun des cas suivants, on considère deux points 
A\text AA
et
B\text BB
.
Déterminer une équation cartésienne de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
1.
A(1;2)\text A (1;2)A(1;2)
 et
B(4;4)\text B (4;4)B(4;4)
2.
A(−3;−1)\text A (-3;-1)A(−3;−1)
 et
B(2;3)\text B (2;3)B(2;3)
3.
A(9;−7)\text A (9;-7)A(9;−7)
 et
B(−2;5)\text B (-2;5)B(−2;5)
4.
A(5;−1)\text A (5;-1)A(5;−1)
 et
B(5;4)\text B (5;4)B(5;4)
5.
A(−1;3)\text A (-1;3)A(−1;3)
 et
B(4;3)\text B (4;3)B(4;3)

☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé
Dans un repère orthonormé, on considère les points
A(−5;2)\text{A}(-5;2)A(−5;2)
,
B(3;−4)\text B(3;-4)B(3;−4)
 et
C(15;−13)\text C (15;-13)C(15;−13)
.
Les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont-ils alignés ?
Solution
Dire que les points 
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés revient à dire que le point
C\text CC
 appartient à la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Le vecteur
AB→(8−6)\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 8\\ -6\\ \end{pmatrix}AB(8−6​)
 est un vecteur directeur de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Ainsi, il existe un réel
ccc
 tel que
−6x−8y+c=0-6x-8y+c=0−6x−8y+c=0
 est une équation cartésienne de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Or,
A∈(AB)\text A \in (\text{AB})A∈(AB)
 donc le réel
ccc
 vérifie
−6×(−5)−8×2+c=0-6 \times (-5) - 8 \times 2 + c =0−6×(−5)−8×2+c=0
 soit
c=−14{c=-14}c=−14
.
Donc une équation cartésiennede la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 est
−6x−8y−14=0-6x-8y-14=0−6x−8y−14=0
 e
On a
−6×15−8×(−13)−14=0-6 \times 15 - 8 \times (-13) -14 =0−6×15−8×(−13)−14=0
. Donc
C(15;−13)∈(AB)\text{C}(15;-13) \in (\text{AB})C(15;−13)∈(AB)
.
Doncles points 
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.

** Ces points sont-ils alignés ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
 et déterminer si les points 
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.
1.
A(−1;0)\text A (-1;0)A(−1;0)
,
B(2;3)\text B (2;3)B(2;3)
 et
C(5;6)\text C (5;6)C(5;6)
2.
A(−4;6)\text A (-4;6)A(−4;6)
,
B(4;2)\text B (4;2)B(4;2)
 et
C(5;3)\text C (5;3)C(5;3)

*** Équation à partir de trois points

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite
ddd
 passant par le point
C\text{C}C
 et parallèle à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
1.
A(0;1)\text A (0;1)A(0;1)
,
B(2;5)\text B (2;5)B(2;5)
 et
C(−1;3)\text C (-1;3)C(−1;3)
2.
A(−3;2)\text A (-3;2)A(−3;2)
,
B(1;−4)\text B (1;-4)B(1;−4)
 et
C(5;−1)\text C (5;-1)C(5;−1)
3.
A(13;34)\text A \left(\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{4}\right)A(31​;43​)
,
B(−53;124)\text B \left(-\dfrac{5}{3};\dfrac{12}{4}\right)B(−35​;412​)
 et
C(0;7)\text C (0;7)C(0;7)
4.
A(4;−2)\text A (4;-2)A(4;−2)
,
B(6;−2)\text B (6;-2)B(6;−2)
 et
C(−7;5)\text C (-7;5)C(−7;5)
5.
A(−5;−1)\text A (-5;-1)A(−5;−1)
,
B(−5;4)\text B (-5;4)B(−5;4)
 et
C(−13;51)\text C (-13;51)C(−13;51)

*** Un ancien théorème

Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
, on considère les points
A(−5;−7)\text A (-5;-7)A(−5;−7)
,
B(−1;9)\text B (-1;9)B(−1;9)
 et
C(3;−2)\text C (3;-2)C(3;−2)
.
1.Calculer les coordonnées du milieu
M\text MM
 du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
2.Déterminer une équation cartésienne de la droite
ddd
 passant par le point
M\text MM
 et parallèle à la droite
(AC)(\text{AC})(AC)
.
3.Montrer que le point d'intersection des droites
ddd
 et
(BC)(\text{BC})(BC)
 est le milieu du segment
[BC][\text{BC}][BC]
.
Remarque :il s'agit d'un des théorèmes de ladroite des milieux.