Quizéo

Déterminer l'équation réduite de chacune des droites représentées dans le repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

 ci-dessous.

Dans un repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, construire les droites suivantes dont on donne l'équation réduite.

1.

d_1 : y=2x-3

2.

d_2 : y = -3x+4

3.

d_3 : y=-1

4.

d_4 : y = \dfrac{1}{2}x -5

5.

d_5 : x=-3

Dans un repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, tracer les droites suivantes.

1.Le droite

d_1

 a pour coefficient directeur

m_1=-2

 et passe par le point

\text A (3;-1)

.

2.Le droite

d_2

 a pour coefficient directeur

m_2=3

 et passe par le point

\text B (-5;4)

.

3.Le droite

d_3

 a pour coefficient directeur

m_3=\dfrac{1}{3}

 et passe par le point

\text C (9;-2)

.

4.Le droite

d_4

 a pour coefficient directeur

m_4=-\dfrac{3}{5}

 et passe par le point

\text D (0;4)

.

5.Le droite

d_5

 a pour coefficient directeur

m_5=0

 et passe par le point

\text E (-4;-3)

.

Déterminer l'équation réduite de chacune des droites suivantes.

1.La droite

d_1

 a pour coefficient directeur

m_1 = 2

 et passe par le point

\text A (0;3)

.

2.La droite

d_2

 a pour coefficient directeur

m_2 = -\dfrac{1}{2}

 et passe par le point

\text B (4;2)

.

3.La droite

d_3

 a pour coefficient directeur

m_3 = 0

 et passe par le point

\text C (-3;5)

.

4.La droite

d_4

 a pour coefficient directeur

m_4 = -3

 et passe par le point

\text D (-2;5)

.

5.La droite

d_5

 a pour coefficient directeur

m_5 = \sqrt{2}

 et passe par le point

\text A (3\sqrt{2};-7)

.

Pour chacun des cas suivants, déterminer l'équation réduite de la droite

(\text{AB})

.

1.

\text A (1;2)

et

\text B (3;6)

2.

\text A (4;2)

et

\text B (-2;-1)

3.

\text A (-3;5)

et

\text B (1;-7)

4.

\text A (2;-4)

et

\text B (-10;0)

5.

\text A (-4;-3)

et

\text B (-4;2)

6.

\text A (-7;12)

et

\text B (19;12)

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points

\text{A}(6;-3)

,

\text B(8;0)

et

\text C (-6;-21)

.
Les points

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont-ils alignés ?

Solution

On a

x_{\text A} \neq x_{\text B}

et

x_{\text A} \neq x_{\text C}

 donc les droites

(\text{AB})

et

(\text{AC})

 ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées. Dire que les points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés revient à dire que les coefficients directeurs des droites

(\text{AB})

et

(\text{AC})

 sont égaux.

On a

m_{(\text{AB})} = \dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{3}{2}

et

m_{(\text{AC})} = \dfrac{y_{\text{C}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{-18}{-12} =\dfrac{3}{2}

.

Donc

m_{(\text{AB})} = m_{(\text{AC})}

.
Par conséquent, les points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés.

Énoncé Un cas particulier

Dans un repère orthonormé, on considère les points

\text{A}(5;-3)

,

\text B(5;0)

et

\text C (5;-21)

.
Les points

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont-ils alignés ?

Solution

On a

x_{\text A} = x_{\text B} =x_{\text C} = 5

 donc les points

\text A

,

\text B

et

\text C

 appartiennent à la droite d'équation

x=5

 et sont alignés.

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsque cela est possible, les coefficients directeurs des droites

(\text{AB})

et

(\text{AC})

. Puis, déterminer si les points 

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont alignés.

1.

\text A (2;5)

,

\text B (4;7)

et

\text C (6;9)

2.

\text A (1;-3)

,

\text B (2;-1)

et

\text C (4;1)

3.

\text A (-1;-2)

,

\text B (0;0)

et

\text C (3;6)

4.

\text A (7;-3)

,

\text B (7;11)

et

\text C (15;7)

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Je suis une équation cartésienne d'une droite

d

 .
La somme de mes coefficients vaut 10.
La droite

d

 passe par le point

\text A (-2;5)

.
Le coefficient directeur de la droite 

d

est

m=-3

.

Qui suis-je ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Pour chacun des cas suivants, déterminer l'équation réduite de la droite

d

passant par le point

\text C

 et parallèle à la droite

(\text{AB})

.

1.\(\text A (2;3)\),

\text B(5;7)

et

\text C (1;0)

2.\(\text A (-1;4)\),

\text B(3;10)

et

\text C (-2;-1)

3.\(\text A (2;-4)\),

\text B(-3;8)

et

\text C (-3;4)

4.\(\text A \left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{2}\right)\),

\text B\left(\dfrac{7}{3};-\dfrac{9}{2}\right)

et

\text C (0;3)

5.\(\text A (14;-7)\),

\text B(14;-8)

et

\text C (-13;21)

6.\(\text A (-12;31)\),

\text B(25;31)

et

\text C (-16;-9)

Dans un repère orthonormé

\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

, on considère les points

\text A \left(\dfrac{11}{6}; -\dfrac{9}{4}\right)

et

\text B \left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{13}{2}\right)

.
Indiquer si chaque affirmation suivante est vraie ou fausse.

1.L'équation réduite de la droite

(\text{AB})

est

y = -\dfrac{15}{2}x + \dfrac{23}{2}

.

2.La droite

(\text{AB})

 est parallèle à la droite

d : 5x-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{12}{5}=0

.

3.Un vecteur directeur de la droite

(\text{AB})

est

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -4\\ 30\\ \end{pmatrix}

.

4.L'équation 

-4x+30y=0

est une équation cartésienne de la droite passant par l'origine du repère et parallèle à la droite

(\text{AB})

.

On se place dans un repère orthonormé

\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)

 du plan.
Soit

\text{ABCD}

 un parallélogramme non aplati.
Soit

\text M

,

\text N

,

\text P

et

\text Q

 les milieux respectifs des segments

[\text{AB}]

,

[\text{BC}]

,

[\text{CD}]

et

[\text{DA}]

.

1.Exprimer, en fonction des coordonnées des points

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

, les coordonnées des points

\text M

,

\text N

,

\text P

et

\text Q

.
2.Déterminer une expression des coefficients directeurs des droites

(\text{MN})

et

(\text{QP})

.
3.Déterminer une expression des coefficients directeurs des droites

(\text{MQ})

et

(\text{NP})

.
4.En déduire la nature du quadrilatère

\text{MNQP}

.

Équation réduite d'une droite