En statistique, les indicateurs de tendance centrale, tels que le mode, la moyenne, la médiane, ainsi que les quartiles, fournissent des informations importantes sur la répartition des données.
Définitions
• Lemodereprésente la valeur la plus fréquente dans un ensemble de données.
• Lamoyenne `overline{X}`est calculée en additionnant toutes les valeurs de la série et en les divisant par le nombre total de valeurs.
• Lamédiane
M_e
est la valeur qui partage la série en deux parties de même effectif.
• Un quart des données de la série sont inférieures ou égales aupremier quartile
Q_1
.
• Les trois quarts des données de la série sont inférieures ou égales autroisième quartile
Q_3
.
Exemple
Les notes d'un groupe d'élèves lors d'un examen sont : 12 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 18 ; 19.
• Le mode est 15 car il apparaît deux fois.La moyenne des notes est :\(\overline{X}=15{,}57\) .
• La médiane est :`M_e`=15.
• Les quartiles`Q_1`,\(M_e\)et`Q_3`divisent les données en quatre parties de même effectif avec
Q_1
à 14 et
Q_3
à 18.
Indicateurs de dispersion
En statistique, les indicateurs de dispersion incluent l'étendue, l'écart type et l'écart interquartile.
Définitions
• L'étendue
représente la différence entre la valeur maximale et minimale de la série statistique, mesurant ainsi la dispersion réelle des valeurs.
• L'écart typeσ mesure la dispersion des valeurs de la série par rapport à la moyenne (
\overline{X}
). Dans une distribution normale :
- environ 68 % des valeurs se situent dans l'intervalle [
;
- environ 95 % des valeurs se situent dans l'intervalle
;
- environ 99,7 % des valeurs se situent dans l'intervalle
.
- L'écart interquartileest la différence entre les premier et troisième quartiles, définis dans la perle « Indicateurs de position ». Il mesure la dispersion de la moitié des valeurs autour de la médiane.
Ainsi une série statistique peut être caractérisée par les couples d'indicateurs (moyenne et écart type) ou (médiane et écart interquartile) pour permettre des comparaisons entre différentes séries statistiques.
Exemple
On mesure la taille (en centimètres) de 15 plantes dans un jardin botanique : 25 ; 27 ; 30 ; 32 ; 33 ; 35 ; 36 ; 38 ; 40 ; 42 ; 45 ; 47 ; 48 ; 50 ; 52.
• L'étendue des tailles des plantes est :\(e=52-25=27\text{ cm}\). Cette étendue est importante par rapport à la taille des plantes, ce qui indique une grande variation.
• La moyenne des tailles des plantes est :
.
• Pour évaluer la dispersion des tailles autour de la moyenne (
\overline{X}
), nous pouvons calculer l'écart type (σ) avec la calculatrice : σ = 8,2 cm. Cela signifie qu'environ 68 % des plantes ont une taille comprise entre
(30,47 cm) et
(46,87 cm).
• On calcule :
;
;
. On en déduit l'écart interquartile :
. Au moins la moitié des plantes ont une taille entre 32 cm et 47 cm.
Le diagramme en boîte à moustaches
Présentation
Ce diagramme offre une représentation visuelle des indicateurs clés d'une série statistique : la valeur minimum, la valeur maximum, la médiane et les quartiles. Il permet de comparer et d'interpréter différentes séries statistiques.
En général, plus la dispersion des valeurs de la série est grande, plus la boîte et les « moustaches » sont étendues.
Exemple
• La médiane des salaires
est de 1 624 €.
• Le salaire minimumMinde 1 257 € et le salaire maximumMaxde 1 854 €.
• L'étendue
est de 597 €.
• Le premier quartile
est de 1 520 € et le troisième quartile
de 1 754 €. Au moins 25 % des salariés gagnent moins de 1 520 € et au moins 75 % gagnent plus de 1 754 €.
• L'écart interquartile
est de 504 €.