Définition
Si l'on réalise une série de plusieurs échantillon de taille
, on appelleétendue des fréquencesla différence entre la plus grande fréquence observée et la plus petite.
Cette étendue des fréquences a tendance à tendre vers 0 quand
est grand. La fréquence observée tend alors vers laprobabilité.
Exemple
Dans un paquet de bonbons, la probabilité de piocher un bonbon bleu est de 18 %.
On utilise la simulation de la perle « Comment réaliser une simulation avec un tableur » (dans les méthodes).
La fréquence de bonbons bleus dans l'expérience est alors :
.
En comparant cette fréquence avec la probabilité de piocher un bonbon bleu (18 %), on observe un écart important.
Si on relance une simulation :
Cette fois-ci, la fréquence de bonbons bleus obtenus est de 0 %, ce qui est encore différent de la probabilité de piocher un bonbon bleu (toujours 18 %).
On peut observer sur le graphique ci-dessous que plus on pioche un nombre élevé de bonbons, plus la fréquence observée de bonbons bleus se rapproche de la probabilité attendue (18%).
Phénomène de fluctuation
Description du phénomène
1.Lorsque l'on réalise plusieurs fois de suite une même expérience aléatoire, on réalise unéchantillon. La taillende l'échantillon est le nombre de fois que l'on a répété l'expérience.
2.Lors de la réalisation d'un échantillon de taillen, on peut observer lafréquence d'un caractère étudié. Elle correspond au nombre de fois où l'on peut observer ce caractère par rapport à la taillende l'échantillon.
3.Lors de la réalisation d'un échantillon de taillen, il n'est pas possible de prédire à l'avance les fréquences des caractères de l'expérience même si l'on connaît la probabilité que ces résultats se produisent. On appelle ce résultat lafluctuationde la fréquence.
4. Lorsquenest très grand,la fluctuation se stabilise et on observe une fréquence du caractère observé proche de saprobabilité.
Exemple
Je lance 10 fois une pièce de monnaie, et j'observe 3 fois le côté pile.
1.J'ai réalisé un échantillon de taille 10.
2.La fréquence des « pile » observés est de
, soit 30 %.
3.Si je refais un nouvel échantillon, rien ne garantit que j'observe une fréquence de 30 % de « pile ». La nouvelle fréquence peut avoir augmenté, diminué ou être restée la même.
4.Cependant, si j'augmente la taille de l'échantillon et que je lance 10 000 fois la pièce, alors la fréquence observée de « pile » est forcément très proche de 50 %, qui correspond à sa probabilité.
Vocabulaire d'une expérience aléatoire
Définitions
1.On appelleexpérience aléatoire une expérience dont les résultats dépendent du hasard et sont impossibles à prédire avant d'avoir réalisé l'expérience.
2.On appelleissuechacun des résultats possibles de l'expérience. L'ensemble de ces issues est appeléunivers et a pour symbole
\Omega
.
3.On appelleévénementune partie des issues de l'univers.
4.On appelleprobabilité d'un événementun nombre compris entre 0 et 1 qui représente la proportion de chance de voir cet événement arriver.
Exemple
Je pioche une carte dans un jeu de 32 cartes.
1.Cette expérience est aléatoire car il n'est pas possible de savoir quelle carte je vais choisir.
2.Les issues possibles de cette expérience sont les différentes cartes prises individuellement : l'as de pique, la reine de cœur, le 10 de trèfle ainsi que toutes les cartes du jeu. L'univers
\Omega
est l'ensemble des cartes du paquet de carte.
3.Un événement possible associé à cette expérience est : « piocher une dame ». Cet événement est composé de quatre issues : dame de cœur, dame de pique, dame de trèfle et dame de carreau.
4.La probabilité de l'événement « piocher une dame » représente le pourcentage de chance de piocher une des quatre dames dans le paquet de cartes. Comme il y a 4 dames dans le paquet de 32 cartes, on peut écrire :
P(Dame) = \frac{4}{32}=0{,}125 = 12,5 \%
.