Revenir
Revenir

Problèmes avec une équation ou une inéquation

La quantité annuelle de déchets plastiques produits chaque année dans le monde est passée en vingt ans...

Sommaire

Environnement et santéLutte contre la pollution plastique *Exposition des enfants aux écrans **Installer des panneaux solaires ? ***
ÉlectrotechniqueFabrication de microprocesseurs *Radar de recul **
ConstructionIsolation *Construction d'une maison **Pergola et cabane **Projection à domicile ***

Électrotechnique

Fabrication de microprocesseurs *

Une entreprise souhaite augmenter le nombre de microprocesseurs qu'elle fabrique. Elle cherche à produire un minimum de 10 000 microprocesseurs par jour. Actuellement, elle en fabrique 6 500 et peut augmenter, chaque jour, sa fabrication de 350 microprocesseurs.
Problématique  Au bout de combien de jours son objectif sera-t-il atteint ?
Soit 
xxx
le nombre de jours recherché.  
1.Traduire les données par une équation à une inconnue qui traduit le nombre de microprocesseurs fabriqués par jour (en tenant compte des données actuelles et des objectifs à atteindre).
2.Résoudre l'équation.
3.Répondre à la problématique.

Radar de recul **

Dans le cadre d'un projet de co-intervention vous allez fabriquer un radar de recul modélisé par : 
  • trois diodes électroluminescentes (DEL), une rouge, une orange et une verte ;
  • un capteur d'ultrasons ;
  • un système Arduino.
Dans un premier temps, vous devez obtenir les caractéristiques 
I=f(U)I=f(U)I=f(U)
 de chaque diode afin de vérifier leurs tensions de seuil. 
Voici l'intervalle des longueurs d'onde de chaque DEL.

Construction

Isolation *

Afin de contrôler les dépenses, une famille se questionne sur le bénéfice d'isoler leur maison de 125 m². Ils se renseignent et s'intéressent particulièrement au coût du chauffage électrique sur une année.
Données
  • Prix du kWh : 0,0913 €.
  • Prix de l’abonnement : 257,16 €.
  • Consommation en kWh/m² selon la qualité de l’isolation :
Condition d’isolationMauvaise isolationTreˋs bonne isolationConsommation annuelle (en kWh/m2)15090\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Condition d'isolation} &\text{Mauvaise isolation}&\text{Très bonne isolation} \\ \hline \text{Consommation annuelle (en kWh/m}^2)&150&90 \\ \hline \end{array}Condition d’isolationConsommation annuelle (en kWh/m2)​Mauvaise isolation150​Treˋs bonne isolation90​​
Problématique  Est-il judicieux pour cette famille, en écartant les coûts associés aux travaux, de procéder à l'isolation de leur maison ? 
1.Calculer la consommation énergétique exprimée en kWh de la maison avec les deux types d'isolation.
2.Calculer le coût annuel avec les deux types d'isolation.
3.En déduire la différence en euros entre les deux.
4.Soit 
x
le nombre de kWh consommés.
    a.Donner l’expression du prix à payer noté 
y
en fonction de 
x
.
    b. La famille ne souhaite pas dépasser une somme totale de 1 500 €, quelle doit être la consommation maximale en kWh à ne pas dépasser ?

Environnement et santé

Lutte contre la pollution plastique *

La quantité annuelle de déchets plastiques produits chaque année dans le monde est passée en vingt ans de 180 millions à 350 millions de tonnes en 2022.
Seuls 9 % de ces déchets sont recyclés. La plus grande partie (69 %) est incinérée ou enterrée et le reste (22 %) s'accumule dans des décharges à ciel ouvert ou se disperse dans la nature.
Pour combattre cette pollution, la priorité est à la réduction et au recyclage des emballages qui représentent près de 40 % du poids total de ces déchets plastiques.
Problématique  En quelle année la quantité de déchets plastiques sera de 700 millions de tonnes si la production continue à l'identique ?
Soit 
xxx
 le nombre d'années entre 2022 et l'année recherchée.
1.Traduire la problématique sous la forme d'une équation.
2. Calculer la valeur de 
x
.
3. Calculer la quantité des déchets qui, en 2022 : 
  • vont dans les décharges ;
  • sont recyclés ;
  • sont incinérés ou enterrés.

Exposition des enfants aux écrans **

L'exposition aux écrans, notamment chez les plus jeunes, est de plus en plus dénoncée même si une interactivité avec les appareils numériques peut être bénéfique à l'apprentissage.
Il est important de connaître les limites et de savoir doser afin que les parents aient conscience des limites tout en dédramatisant certains usages par les enfants.
Voici des recommandations apportées par des pédiatres selon l'âge.
On note 
x
 le nombre de sessions pour chaque tranche d'âge.
On note 
y
 la durée en minutes par jour maximale recommandée pour chaque tranche d'âge.
Problématique  Comment gérer au mieux le temps passé devant les écrans ?
1.Donner, pour les tranches d'âges 3-6 ans et 6-9 ans, le nombre de sessions recommandées sous forme de deux inéquations. 
2.En déduire le nombre de sessions à ne pas dépasser pour les 3-6 ans ainsi que pour les 6-9 ans.
3.Représenter dans GeoGebra les droites limites correspondantes : 
D1D_1D1​
 pour les 3-6 ans,
D2D_2D2​
 pour les 6-9 ans et
D3D_3D3​
 pour les plus de 10 ans en considérant 45 minutes par session.
4.Si la durée maximale pour les 3-6 ans était de 1 h 20, combien de sessions seraient alors possibles ? Procéder à une résolution graphique en expliquant la méthode utilisée.
5. Si, au contraire, la durée maximale pour les 6-9 ans était réduite à une heure, combien de  sessions seraient possibles ? Effectuer une résolution graphique en expliquant la méthode utilisée.
6.Répondre à la problématique.

Installer des panneaux solaires ? ***

Un Normand s'interroge sur l'installation éventuelle de panneaux solaires sur le toit de sa maison. Voici un versant du toit sur lequel il souhaite installer les panneaux. Sont présentes sur le toit deux fenêtres dont les dimensions et les positions respectives sont indiquées sur le schéma.
Le prix d’une installation de panneaux d’une puissance maximale égale à 3 kWc annuelle est de 8 000 €.
Le watt-crête (Wc) est la puissance maximale qu’un panneau solaire peut produire dans des conditions idéales. 1 kWc équivaut à 850 kWh.
On sait que 8 m² de panneaux solaires produisent environ 1 kWc/an.
Pour des raisons techniques, la toiture pourra être équipée au maximum à 25 %de sa superficie.
Globalement, 1 kWh produit revient à gagner 0,58 €.
1.Calculer la valeur de 
x
, représentant la distance de chaque fenêtre de part et d'autre de la bordure du toit.
2. a.Calculer l'aire de chaque fenêtre.
b.Calculer l'aire de toiture « libre » (sans fenêtre).
c.En déduire l'aire maximaleSdes panneaux pouvant être installés.
3.Calculer la production électrique générée en un an en kWc puis en kWh. 
4.En déduire la somme gagnée.
5.En tenant compte du coût initial en déduire à partir de combien d'années l'installation des panneaux est-elle intéressante ?

Couleur de la DELLongueur d’onde (nm)Rouge610<λ<760Orange590<λ<610Verte500<λ<570\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Couleur de la DEL}&\text{Longueur d'onde (nm)} \\ \hline \text{Rouge} &610 < \lambda <760 \\ \hline \text{Orange} &590 < \lambda <610 \\ \hline \text{Verte} &500 < \lambda <570 \\ \hline \end{array}Couleur de la DELRougeOrangeVerte​Longueur d’onde (nm)610<λ<760590<λ<610500<λ<570​​
1.Sachant que 
λ×Us=1 242,4\lambda\times U_\text{s}=1~242{,}4λ×Us​=1 242,4
, retrouver pour chaque longueur d'onde la valeur de l'intervalle correspondant à la tension de seuil
UsU_\text{s}Us​
 attendue expérimentalement.
2.Le montage réalisé ensuite avec l'Arduino est le suivant.
On positionne un obstacle autour du capteur d'ultrasons branché sur l'Arduino. Cet obstacle est déplacé au cours de l'expérience.
  • Un signal rouge (DEL rouge) s’allume lorsque la distance entre l'obstacle est le capteur est de moins de 20 cm.
  • Un signal jaune (DEL jaune) s’allume lorque cette distance est comprise entre 20 et 30 cm.
  • Un signal vert (DEL verte) s’allume au-delà de 30 cm.
Données
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Vitesse de propagation du son :
v=340 m/sv=340~\text{m/s}v=340 m/s
.
v=2dΔtv=\dfrac{2d}{\Delta t}v=Δt2d​
 avec
ddd
 : distance obstacle-capteur (m) et
Δt\Delta tΔt
 : durée entre l'émission et la réception du signal (et l'émission d'un signal par une DEL).
Calculer, à partir du déclenchement du signal les durées suivantes. 
a.La durée maximale à partir de laquelle la DEL rouge va s'allumer.
    b.La durée minimale et la durée maximale corrrespondant à l'allumage de la DEL jaune.
    c.La durée minimale à partir de laquelle la DEL verte d'allumera

5.Ont-ils alors intérêt à réfléchir à des travaux d'isolation ?

Construction d'une maison **

M. Mamady souhaite construire sa maison. Après avoir réalisé les plans des étages et comptabilisé les différentes surfaces, il réfléchit à la toiture et à la structure générale.
Partie A  La toiture
  • Plan de la toiture :
  •  Caractéristiques des tuiles :
Dimensions d’une tuile (en mm)420×200×32Uniteˊs par m211Masse par uniteˊ3,5 kg/tuile\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Dimensions d'une tuile (en mm)}&420\times 200\times 32 \\ \hline \text{Unités par m}^2 &11 \\ \hline \text{Masse par unité} &3{,}5\text{ kg/tuile} \\ \hline \end{array}Dimensions d’une tuile (en mm)Uniteˊs par m2Masse par uniteˊ​420×200×32113,5 kg/tuile​​
1.Calculer le nombre de tuiles nécessaire à cette couverture.
2.Calculer la masse de cette couverture.
Partie B  Les façades
  • Schéma général des fondations :
  • Caractéristiques d'un parpaing :
Dimensions d’un parpaing (en cm)20×20×50ProprieˊteˊSpeˊcialement adapteˊ aux murs de fac¸adesQuantiteˊ par palette60\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Dimensions d'un parpaing (en cm)}&20\times 20\times 50 \\ \hline \text{Propriété}&\text{Spécialement adapté aux murs de façades} \\ \hline \text{Quantité par palette} &60 \\ \hline \end{array}Dimensions d’un parpaing (en cm)ProprieˊteˊQuantiteˊ par palette​20×20×50Speˊcialement adapteˊ aux murs de fac¸​ades60​​
1.Calculer le périmètre des fondations.
2.En déduire le nombre de parpaings par rangée permettant de combler la structure des fondations.
3.Calculer le nombre de rangées.
4.En déduire le nombre total de parpaings.

Pergola et cabane **

Mme Boyer souhaite installer une pergola et une cabane en bois dans son jardin de 8,5 m de long selon les dimensions indiquées sur le schéma ainsi que les contraintes suivantes : 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la pergola est centrée par rapport aux deux poteaux verticaux selon la distance 
d
 indiquée sur le schéma ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la cabane a une profondeur de 2,10 m (comme le placard à outils) ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la surface de la cabane doit avoir une aire de moins de 5 m² afin d'éviter toute taxe foncière ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la pergola doit être jointe au placard à outils et à la cabane à construire.
Problématique  Quelle doit être la longueur maximale de la cabane afin de répondre à ces contraintes ? 
On note 
x
 la longueur de la cabane.
1.Donner l'expression de  la longueur totale (en m) du jardin en fonction  de
x
 et des différentes mesures indiquées sur  le schéma.
2. Calculer la valeur de 
x
 (en m). 
3.En déduire la surface de la cabane en m².
4.Cette surface est-elle conforme aux attentes ?
5.Écrire alors l'inéquation répondant à cette contrainte. Calculer la valeur maximale de 
x
 arrondie à 
10^-2
 (en mètres).
6.Quel sera dans ce cas, on considérant cette valeur, l'espace restant entre la cabane et le mur de la clôture si on souhaite coller la cabane à la pergola ?
7.Répondre aux questions de la problématique et réaliser un schéma à l'échelle 1/50e.

Projection à domicile ***

Un fan de cinéma souhaite transformer une pièce en salle de projection de cinéma. La pièce possède une porte en bois et une fenêtre vitrée. Le sol est en parquet, les murs et le plafond en plâtre peint. Le propriétaire souhaite installer quatre sièges de cinéma capitonnés au milieu de la pièce pour visionner ses films préférés et réfléchit à quelques modifications structurelles.
Problématique  Le propriétaire a-t-il besoin d'installer un faux plafond afin d'optimiser les conditions acoustiques de la pièce ? 
Un des paramètres importants en acoustique est le le temps de réverbérationt(en s) ? C'est la durée au bout de laquelle le niveau sonore a chuté de 60 dB après extinction de la source.
On sait que : 
0,16V=A×t0,16V=A\times t0,16V=A×t
V
 le volume de la pièce en m3;
A
 l'aire totale d’absorption de la pièce en m3.
1.Calculer le volume 
VVV
de la pièce (en m3).
2.Calculer la surface d'absorption totale (en m2) en retirant les surfaces d'ouvertures.
3.En déduire le temps de réverbération (en s).
4. Si on souhaite ne pas dépasser un temps de réverbération de 0,1 s, quel doit être le volume 
V (en m3)V \text{ (en m}^3)V (en m3)
? 
5.En déduire la hauteur maximale de la pièce afin de respecter cette contrainte.
6.Doit-on alors construire un faux plafond ? Répondre à la problématique.