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Évaluations

On étudie la fonction\(f(x)=1{,}2 x²\)sur l’intervalle 

Sommaire

Étude d'une fonction multiple de la fonction carréÉtude de deux fonctionsCalcul de vitesse et de durée de parcours en véloÉtude du Tower Bridge

Étude d'une fonction multiple de la fonction carré

On étudie la fonction\(f(x)=1{,}2 x²\)sur l’intervalle 
[−−6 ;6][--6~;6][−−6 ;6]
.
1.En utilisant la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant.
x−−6−−4−−2−−101246f(x)=1,2x2...........................\begin{array}{|c|c||c||c||c|c||c||c||c|c||c|} \hline x&--6&--4&--2&--1&0&1&2&4&6\\ \hline f(x)=1{,}2x^2&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\ \hline \end{array}xf(x)=1,2x2​−−6...​−−4...​−−2...​−−1...​0...​1...​2...​4...​6...​​
2.Tracer la représentation graphique de la fonction.
3.Construire le tableau de variations def.
4.Quelle est la valeur du minimum ? Pour quelle valeur de 
x
 est-il atteint?
5.Déterminer graphiquement la valeur de 
f(1,5)f(1{,}5)f(1,5)
 et retrouver le résultat par le calcul
6. a.Déterminer les antécédents de la valeur 0,5.
    b.Déterminer le résultat par le calcul (valeur exacte).

Étude de deux fonctions

1.Soit la fonction 
f
définie sur 
[−−2 ;4][--2~;4][−−2 ;4]
 par : 
f(x)=−3(1−2x)f(x)=-3(1-2x)f(x)=−3(1−2x)
.
    a.Calculer :
f(−2) ;f(0) ;f(3)f(-2)~;f(0)~;f(3)f(−2) ;f(0) ;f(3)
.
    b.Calculer l’image de (–1) et de 2.
2.Soit les fonctions 
f
 et 
g
 définies sur
[−−5 ;5][--5~;5][−−5 ;5]
 tels que :
f(x)=x²+1
g(x)=−3x+1g(x)=-3x+1g(x)=−3x+1
    a.Reproduire et compléter à l'aide de la calculatrice  le tableau suivant.
x−−5−−4−−3−−2−−1012345f(x).................................g(x).................................\begin{array}{|c|c||c||c||c|c||c||c||c|c||c|} \hline x&--5&--4&--3&--2&--1&0&1&2&3&4&5\\ \hline f(x)&...&...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\ \hline g(x)&...&...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\hline \end{array}xf(x)g(x)​−−5......​−−4......​−−3......​−−2......​−−1......​0......​1......​2......​3......​4......​5......​​
    b.Pour chaque question, répondre par vrai ou faux.
    • L'image par la fonction 
f
de (–4) est 17 ?
f(0)=0
 ?
g(−3)=10g(-3)=10g(−3)=10
 ?
    • La valeur 26 n'a aucun antécédent par la fonction 
f
 ?
g(4)=17
 ?
3.Construire les tableaux de variation des fonctions 
f
 et 
g
.
4.Résoudre graphiquement :
f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)
.
5.Pour quelles valeurs de 
x
 a-ton chacune des inégalités suivantes ?
    a.
f(x)<g(x)f(x) <g(x)f(x)<g(x)
    b.
f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)f(x)≥g(x)
.

Calcul de vitesse et de durée de parcours en vélo

Marc et Valérie font du vélo. Avant de partir, ils se fixent deux objectifs :
  • (1) atteindre la vitesse moyenne de 45 km/h sur 20 s ;
  • (2) parcourir au moins 4 km et estimer la durée nécessaire pour cette distance.
Partie A  La vitesse moyenne souhaitée sera-t-elle atteinte ?
La distance parcourue (en m) est modélisée par la fonction
f(x)
 définie sur
[0 ;50][0~;50][0 ;50]
 telle que :
f(x)=0,75x2f(x) = 0{,}75x2f(x)=0,75x2
 avec `x` : temps (en s).
1.Calculer la distance parcourue en 20 secondes.
2.Tracer la représentation graphique de la fonction 
f(x)
 sur l'intervalle donné avec la calculatrice ou le logiciel GeoGebra. 
3.Construire le tableau de variations de la fonction 
f(x)
 sur l'intervalle donné.
4.Déterminer 
f(50)f(50)f(50)
en explicitant ce que signifie le résultat.
5.a.En déduire lavitesse moyenne (en m/s) des cyclistes pendant les 50 premières secondes du parcours.
    b.Convertir cette vitesse en km/h et répondre à la problématique de la partie A.
Partie B  Au bout de combien de temps auront-ils parcouru une distance de 4 km ?
1.Déterminer graphiquement cette durée en explicitant la méthode utilisée.
2.Retrouver cette valeur par un calcul.
3.Répondre à la problématique de la partie B.
4.Calculer la vitesse moyenne sur les 4 km. 
5.Comparer cette vitesse avec celle calculée dans la partie A. Que pouvez-vous dire du mouvement ?

Étude du Tower Bridge

Le Tower Bridge est un pont très célèbre de Londres. C'est un pont levant, doncil permet aux véhicules et aux piétons de traverser la Tamise et aux grands navires de passer. Les touristes viennent du monde entier admirer son architecture et les prouesses technologiques de la fin duXIXe siècle.
On s'intéresse à la forme du pont levant modélisée par la fonction :
f(x)= −−4,76⋅10−3×x2f(x) =~--4{,}76\cdot 10^{-3}\times x^2f(x)= −−4,76⋅10−3×x2
avec : 
f(x) :
 hauteur entre l'horizontale au niveau de la bascule et un point de la structure du pont levant ;
x :
 distance horizontale.
Problématiques : 
  • Quelle est la hauteur maximale du pont levant ?
  • Pour quelle raison le pont doit-il être levé au passage d'un bateau ?
1.Expliquer ce qui est attendu.
2.Tracer la représentation graphique de la fonction.
3.Déterminer 
f(−30,75)f(-30{,}75)f(−30,75)
et 
f(30,75)f(30{,}75)f(30,75)
.
4.Construire le tableau de variation de la fonction
f(x)f(x)f(x)
.
5.Tracer la fonction 
h(x)=−4,5h(x)=-4,5h(x)=−4,5
 et rechercher les abscisses correspondant aux points d'intersection entre 
f(x)
 et 
h(x)
. Que représente concrètement cette droite par rapport au pont ? 
6.  Sachant que la hauteur entre la Tamise et le point C du pont (voir schéma) est  approximativement égale à 4,5 m, quelle est la hauteur entre la Tamise et la chaussée du pont ?
7.En supposant que la hauteur d'un bateau est de 12 m, expliquer pour quelle raison le pont levant doit s'ouvrir.