Définition
Un ensemble \(E\) est dit fini lorsque le nombre d’éléments de cet ensemble est fini. On appelle ce nombre d'éléments le cardinal de l’ensemble\(E\). On le note\(\text{Card}(E)\)ou
.
Exemples
.
• Soit
l'ensemble formé de l'entier
. C'est un singleton.Son cardinal est
.
• Soit
l'ensemble des diviseurs positifs de
.
est une paire.Son cardinal est
.
• Soit
l'ensemble des solutions, dans
, de l'équation
.Alors
donc
.
• Soit
l'ensemble des lettres de l'alphabet français.
. Son cardinal est
.
Remarque
Certains ensembles ne sont pas finis : l'ensemble \(\mathbb N\)n'est pas fini, l'ensemble
n'est pas fini, l'ensemble
n'est pas fini, etc.
Opérations sur les ensembles
Un questionnaire a été proposé aux employés d'une entreprise. L'une des questions portait sur la consommation de café et une autre sur la pratique régulière d'une activité sportive.
Le diagramme ci-dessous donne une synthèse des réponses à ces deux questions.
1.Expliquer les notations
et
utilisées.
2.Interpréter les quatre valeurs numériques indiquées sur le diagramme.
3.Combien de personnes ont répondu au questionnaire ?
Cardinal de la réunion, cardinal de l'intersection
Propriété
Soit
un ensemble fini. Soit
et
deux sous-ensembles de
.
On a :
• Si
et
sont disjoints, alors
En particulier,
.
☛ Déterminer le cardinal de la réunion, le cardinal de l'intersection
Énoncé 1
Dans un camp de vacances hébergeant
personnes,
personnes pratiquent le vélo,
le ping pong et
personnes ne pratiquent aucune de ces deux activités. Combien de personnes pratiquent à la fois le vélo et le ping pong?
Solution
Soit
l'ensemble des personnes qui pratiquent le vélo et
l'ensemble des personnes qui pratiquent le ping pong.
Alors
.
personnes pratiquent au moins l'une des activités.
De plus,
.
D'où
.
Conclusion:
personnes pratiquent à la fois le vélo et le ping pong.
Énoncé 2
Dans une association sportive, deux sports sont proposés : l'athlétisme et le badminton. On sait que, parmiles membresde l'association,
pratiquent l'athlétisme,
le badminton,
les deux sports et
ne pratiquent aucun de ces deux sports. Déterminer le nombre demembres dans cette association.
Solution
On appelle
l'ensemble desmembrespratiquant l'athlétisme et
l'ensemble desmembres pratiquant le badminton.
Avec les données de l'énoncé, on a :
,
,
et\(\text{Card}(\overline{A ∪ B})= 18\).
Comme
membres pratiquent les deux sports et
pratiquent l'athlétisme, on a alors
membresqui pratiquent uniquement l'athlétisme.
De même, il y a
membresqui ne pratiquent que le badminton.
On peut représenter la situation avec le diagramme suivant.
Conclusion: le nombre total de membres est donc de :
.
Exercice
Un certain produit se vend liquide ou en poudre. Un sondage fait ressortir les faits suivants :
• un tiers des personnes interrogées n'utilisent pas la poudre ;
• deux septièmes des personnes interrogées n'utilisent pas le liquide ;
personnes utilisent à la fois le liquide et la poudre ;
• un cinquième des personnes interrogées n'utilisent pas du tout de produit.
Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?