Propriété
Soit
un entier naturel non nul.
Soit\(k\)ensembles
deux à deux disjoints.
Alors
.
Exemple
On considère l'ensemble des 8 classes de terminale générale dans un lycée, numérotées TG1 à TG8. On note\(E_1\)l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG1,
l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG2, etc. Alors le nombre total d'élèves en terminale générale dans ce lycée est donné par : \(\text{Card}(E_1)+\text{Card}(E_2)+\cdots+\text{Card}(E_8)\).
Définition
Soit
un ensemble.
Soit
un entier naturel non nul.
On dit que les sous-ensembles non vides
,
, ...,
forment unepartitionde l'ensemble
lorsque les
sontdeux à deux disjointsetleur réunion est\(E\).
Exemples
• Dans l'exemple précédent, l'ensemble des élèves de chaque classe de terminale générale forment une partition de l'ensemble des élèves de terminale générale du lycée.
• L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de
.
Propriété
Soit
un ensemble fini.
Soit
un entier naturel non nul.
Si
,
, ...,
constituent une partition de
, alors
.
☛ Utiliser le principe additif
Énoncé
Combien y a-t-il de carrés dans la figure ci-dessous ?
Solution
On appelle
l'ensemble des carrés de cette figure.
Pour tout
compris entre
et
, on appelle
le sous-ensemble constitué des carrés de côté
carreaux.
Alors
,
,
et
.
Les sous-ensembles
forment une partition de
.
Donc
.
Principe multiplicatif
Propriété
Soit
un entier naturel non nul
.
Soit\(k\)ensembles non vides
.
Lorsque les ensembles
sont finis, on a :
.
En particulier, lorsque
pour tout
allant de
à
, on obtient :
Exemples
• On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées
à
et un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées
à
. Le nombre de résultats possibles à l'issue de ces deux lancers est :
.
• On lance deux fois un dé équilibré à
faces numérotées
à
. Le nombre de couples possibles de résultats de ces lancers est de
.
• On lance
fois une pièce équilibrée. Le nombre de mots à
lettres, formés avec les lettres
et
, possibles est de
.