Partie I

    0. On sait que le joueur A voit les cartes

$$15$$

,

$$10$$

,

$$9$$

et

$$2$$

.On note \(F\) l'événement : « Le joueur A a la carte la plus forte ». On sait qu'il reste alors \(18\) cartes. Parmi ces \(18\) cartes, il y a les cartes de \(16\) à \(21\) et l'excuse qui peuvent être plus fortes que la meilleure carte. Alors \(P(F)=\dfrac{7}{18}\approx 0{,}389\) .Si le joueur A est le premier à parler, on sait qu'il a environ \(39~\) % de chances de remporter le pli. Il a donc environ \(61~\) % de chances de ne pas gagner, donc il a tout intérêt à annoncer «  \(0\)  ».Le joueur précédent a annoncé qu'il ne faisait pas le pli. Il voit les cartes \(10\) , \(9\) et \(2\) ainsi que la carte du joueur A. Parmi les \(18\) cartes qu'il ne voit pas, douze sont supérieures à \(10\) donc il a plus d'une chance sur deux de remporter le pli. Or il annonce ne pas faire le pli, donc il y a parmi les cartes qu'il voit une carte supérieure ou égale à \(12\) . Parmi ces cartes, sept sont supérieures ou égales à \(15\) (la carte qu'il a en main) donc le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.

    1. Le joueur A voit

$$n - 1$$

cartes. On note 

$$p$$

la valeur de la carte la plus élevée parmi ces cartes. On a

$$22 - p$$

cartes d'une valeur supérieure à

$$p$$

(en comptant l'excuse) et le nombre de cartes restantes possibles pour le joueur A est de

$$22 - (n - 1) = 23 - n$$

. La probabilité que le joueur A remporte le pli est alors

$$\dfrac{22-p}{23-n}$$

.

Partie II

    0. On souhaite savoir quel est le nombre de mains possibles lors du tour à 

$$10$$

cartes. On doit choisir

$$10$$

cartes parmi

$$40$$

, donc le nombre

$$N$$

est 

$$N=\displaystyle \binom{40}{10} = \dfrac{40!}{10!\times 30!}=847\,660\,528$$

.

    1. On cherche le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. Il faut donc choisir les 

$$10$$

cartes de la main du joueur parmi

$$37$$

cartes seulement

$$(40 - 3)$$

. Ce nombre de mains est donc

$$N_0=\displaystyle\binom{37}{10} = \dfrac{37!}{10!\times 27!} = 348\,330\,136$$

. La probabilité pour un joueur de n'avoir aucun retourneur en main est donc de  

$$\dfrac{N_0}{N} = \dfrac{348\,330\,136}{847\,660\,528} = \dfrac{203}{494}\approx 0{,}411$$

.

    2. On cherche le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. Il faut donc choisir deux retourneurs parmi les trois puis choisir le reste des cartes (huit cartes) parmi les trente-sept restantes. Ainsi

$$N_2=\displaystyle\binom32\binom{37}{8}=3\times \dfrac{37!}{8!\times 29!}=115\,824\,060$$

. La probabilité d'avoir exactement deux retourneurs en main pour un joueur donné est donc de

$$\dfrac{N_2}{N} = \dfrac{115\,824\,060}{847\,660\,528} = \dfrac{135}{988}\approx 0{,}137$$

.

    3. Notons

$$X$$

la variable aléatoire désignant le nombre de cartes spéciales qu'a en main un joueur lors du tour à

$$10$$

cartes. Comme il y a quatre joueurs, on a quatre variables aléatoires

$$X_1$$

,

$$X_2$$

,

$$X_3$$

et

$$X_4$$

suivant la loi de probabilités de

$$X$$

. On a

$$9$$

cartes spéciales, et toutes sont réparties entre les quatre joueurs donc

$$X_1+X_2+X_3+X_4=9$$

. On a, de plus,

$$E(X_i)=E(X)$$

, pour tout

$$i$$

entre

$$1$$

et

$$4$$

. On a ainsi

$$E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=9$$

, donc

$$4\times E(X) = 9$$

 et ainsi

$$E(X)=\dfrac94=2{,}25$$

. En moyenne, un joueur aura donc

$$2{,}25$$

cartes spéciales en main.

    4. On doit choisir la répartition possible des

$$40$$

cartes parmi les

$$4$$

joueurs. Notons

$$R$$

ce nombre. On doit choisir

$$10$$

cartes pour le premier joueur, puis 

$$10$$

cartes pour le deuxième joueur parmi les

$$30$$

restantes, puis 

$$10$$

cartes pour le troisième joueur parmi les

$$20$$

restantes, et enfin les 

$$10$$

dernières cartes pour le quatrième joueur. Ainsi :

$$\begin{array}{rcl}R &= &\displaystyle \binom{40}{10}\times \binom{30}{10}\times \binom{20}{10}\times \binom{10}{10}\\R & =& \dfrac{40!}{10!\times30!}\times \dfrac{30!}{10!\times20!}\times \dfrac{20!}{10!\times10!}\times 1\\R& = &\dfrac{40!}{(10!)^4}\approx 4{,}71\times 10^{21}\\\end{array}$$

.Il y a ainsi près de

$$4{,}71$$

milliers de milliards de milliards de répartitions possibles.