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Vecteurs, repérage et systèmes dans le plan

Dans un triangle isocèle rectangle, si les côtés de l'angle droit sont de longueur

Sommaire

Vecteurs du planFormulaireImage d'un point du plan par une translationSomme de vecteurs du planRelation de Chasles dans le planSynthèse - Opérations sur les vecteurs du plan
Repérage dans le planCoordonnées d'un vecteur du planCoordonnées d'un point du planVecteurs colinéairesCoordonnées d'un vecteur et du milieu d'un segmentUn quadrilatère particulier
Résolution de système linéaire✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues
✎☛ Résoudre un système par substitution
✎☛ Résoudre un système par combinaison

Vecteurs du plan

Formulaire

Propriété
Dans un triangle isocèle rectangle, si les côtés de l'angle droit sont de longueur
aaa
, alors l'hypoténuse est de longueur 
a2a\sqrt 2a2​
. Ceci revient à dire que les diagonales d'un carré de côté de longueur
aaa
 ont pour longueur
a2a\sqrt 2a2​
.
Propriété
Dans un triangle équilatéral, si le côté est de longueur
aaa
, alors la hauteur
hhh
 issue de n'importe quel sommet a pour longueur :
h=32ah=\dfrac{\sqrt 3}{2}ah=23​​a
.
PropriétéFormules d'aires
L'aire d'un triangleéquilatéralde côté de longueur
aaa
est donnée par : 
A=34a2\mathcal A = \dfrac{\sqrt 3}{4}a^2A=43​​a2
.
PropriétéFormules de volumes

Image d'un point du plan par une translation

Placer, sur la figure, les points suivants.
1.
T\text TT
, image de
E\text EE
par la translation qui à
F\text FF
associe
G\text GG
.
2.
U\text UU
, image de
G\text GG
par la translation qui transforme
F\text FF
en
E\text EE
.
3.
K\text KK
, image de
C\text CC
par la translation de vecteur
BD→\overrightarrow{\text B\text D}BD
.
4.
L\text LL
, image de
C\text CC
par la translation de vecteur
DB→\overrightarrow{\text D\text B}DB
.

Somme de vecteurs du plan

Soit 
ABC\mathrm{ABC}ABC
un triangle.
Reproduire la figure et construire les points 
M\text MM
,
N\text NN
, 
P\text PP
et
Q\text QQ
définis par les égalités suivantes.
1.
AM→=AB→+AC→\mathrm{\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}AM=AB+AC
2.
BN→=AC→+BA→\mathrm{\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}}BN=AC+BA
3.
CP→=AB→+AB→\mathrm{\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}}CP=AB+AB
4.
AQ→=BC→+AC→\mathrm{\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}}AQ​=BC+AC

Relation de Chasles dans le plan

En utilisant la relation de Chasles, écrire les expressions vectorielles suivantes sous la forme d'un seul vecteur si possible.
1.
AD→+DF→\mathrm{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}}AD+DF
2.
CB→+CA→\mathrm{\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}}CB+CA
3.
DF→−FG→\mathrm{\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{FG}}DF−FG
4.
AB→−AC→\mathrm{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}AB−AC
5.
RS→+AR→\mathrm{\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{AR}}RS+AR
6.
EG→+GT→\mathrm{\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GT}}EG+GT
7. 
AL→−LA→\mathrm{\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{LA}}AL−LA
8.
−AD→−DB→\mathrm{-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DB}}−AD−DB
9.
AB→+BC→+CA→\mathrm{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}}AB+BC+CA
10.
IJ→+KI→+JK→\mathrm{\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{JK}}IJ+KI+JK
11.
AB→+AC→+BC→\mathrm{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}AB+AC+BC
12.
DE→+FG→+EF→+DG→\mathrm{\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DG}}DE+FG+EF+DG
13. 
AB→−DB→+DE→\mathrm{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}}AB−DB+DE
14.
RT→−ST→+RS→\mathrm{\overrightarrow{RT}-\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{RS}}RT−ST+RS
15.
AB→+MA→−MB→+BA→\mathrm{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}}AB+MA−MB+BA
16. 
2MN→−MP→−PQ→+MQ→\mathrm{2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MQ}}2MN−MP−PQ​+MQ​

Synthèse - Opérations sur les vecteurs du plan

Soit un triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
.
Reproduire la figure et construire les points
M,N,P,Q et R\text M, \text N, \text P, \text Q \text{ et }\text RM,N,P,Q et R
définis par les égalités suivantes.
1.
AM→=2BC→\mathrm{\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}}AM=2BC
2.
BN→=23AC→\mathrm{\overrightarrow{BN}=\dfrac23\overrightarrow{AC}}BN=32​AC
3.
CP→=2AB→−13AC→\mathrm{\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}}CP=2AB−31​AC
4.
AQ→=−43AC→\mathrm{\overrightarrow{AQ}=-\dfrac43\overrightarrow{AC}}AQ​=−34​AC
5.
AR→=−34BC→\mathrm{\overrightarrow{AR}=-\dfrac34\overrightarrow{BC}}AR=−43​BC

Repérage dans le plan

Coordonnées d'un vecteur du plan

Exercice 1
Dans chaque cas, le plan est muni d'une base 
(i→,j→)\left(\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(i,j​)
.
1.Lire les coordonnées des vecteurs
u→\overrightarrow uu
et
v→\overrightarrow vv
.
2.Tracer un représentant du vecteur
w→(3−2)\displaystyle \overrightarrow w\binom{3}{-2}w(−23​)
.
Exercice 2
Dans chaque cas, le plan est muni d'une base 
(i→,j→)\left(\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(i,j​)
.
Tracer un représentant des vecteurs
v→\overrightarrow vv
et
w→\overrightarrow ww
.

Coordonnées d'un point du plan

Exercice 1
Le plan est muni d'un repère
(O ;i→,j→)\left(\mathrm O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
.
Lire les coordonnées des points ci-dessous.
Exercice 2
1.On munit le plan d'un repère. Placer dans ce repère les points suivants.
G(3 ; 1)H(−2 ; 1)K(−4 ;−2)L(0 ;−2)M(3 ; 0)N(1,5 ;−2,5)\mathrm{G(3~;~1) \quad H(-2~;~1)\quad K(-4~;-2)\quad L(0~;-2)\quad M(3~;~0)\quad N(1{,}5~;-2{,}5)}G(3 ; 1)H(−2 ; 1)K(−4 ;−2)L(0 ;−2)M(3 ; 0)N(1,5 ;−2,5)
2.On munit le plan d'un repère. Placer dans ce repère les points suivants.
P(2 ; 2,5)Q(−3,5 ; 1)R(−4 ;−1,5)S(0 ;−1,5)T(2,5 ;−0,5)U(−3 ;−1)\mathrm{P(2~;~2{,}5) \quad Q(-3{,}5~;~1)\quad R(-4~;-1{,}5)\quad S(0~;-1{,}5)\quad T(2{,}5~;-0{,}5) \quad U(-3~;-1)}P(2 ; 2,5)Q(−3,5 ; 1)R(−4 ;−1,5)S(0 ;−1,5)T(2,5 ;−0,5)U(−3 ;−1)

Vecteurs colinéaires

Le plan est muni d'une base
(i→,j→)\left(\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(i,j​)
.
Soit 
xxx
un réel. Soit deux vecteurs du plan
u→(x−12)\displaystyle \overrightarrow u\binom{x-1}{2}u(2x−1​)
et
v→(−57)\displaystyle \overrightarrow v\binom{-5}{7}v(7−5​)
.
Déterminer le réel
xxx
pour que 
u→\overrightarrow uu
et 
v→\overrightarrow vv
soient colinéaires.

Coordonnées d'un vecteur et du milieu d'un segment

Exercice 1
Dans un repère 
(O ;i→,j→)\left(\mathrm O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points suivants : 
A(5 ; 3),B(−4 ; 3),C(7 ;−5),D(−9 ;−4),E(0 ; 5),F(0 ;−3) et G(−1 ;−2)\mathrm{A(5~;~3), B(-4~;~3), C(7~;-5), D(-9~;-4), E(0~;~5), F(0~;-3) \text{ et }G(-1~;-2)}A(5 ; 3),B(−4 ; 3),C(7 ;−5),D(−9 ;−4),E(0 ; 5),F(0 ;−3) et G(−1 ;−2)
.
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
AB→,CD→,BC→,AE→,BF→,CA→,OF→,BG→,GE→,AD→,DB→,DG→\mathrm{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{BF}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{OF}, \overrightarrow{BG}, \overrightarrow{GE}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DG}}AB,CD,BC,AE,BF,CA,OF,BG,GE,AD,DB,DG
.
Exercice 2
Dans un repère 
(O ;i→,j→)\left(\mathrm O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
 du plan, on considèreles points suivants : 
A(3 ; 4),B(2 ; 5),C(0 ; 3) et D(−3 ;−4)\mathrm{A(3~;~4), B(2~;~5), C(0~;~3)\text{ et }D(-3~;-4)}A(3 ; 4),B(2 ; 5),C(0 ; 3) et D(−3 ;−4)
.
Calculer les coordonnées des points définis de la façon suivante.
1.
M\text MM
est le milieu de
[AB][\text A\text B][AB]
.
2.
N\text NN
est le milieu de
[BC][\text B\text C][BC]
.
3.
P\text PP
est le milieu de
[CD][\text C\text D][CD]
.
4.
Q\text QQ
est le milieu de
[DA][\text D\text A][DA]
.
5.
R\text RR
est le milieu de
[AC][\text A\text C][AC]
.
6.
S\text SS
est le milieu de
[BD][\text B\text D][BD]
.

Un quadrilatère particulier

Dans un repère 
(O ;i→,j→)\left(\mathrm O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points suivants :
A(−6 ; 5),B(−3 ; 0),C(4 ;−3) et D(1 ; 2)\mathrm{A(-6~;~5), B(-3~;~0), C(4~;-3)\text{ et }D(1~;~2)}A(−6 ; 5),B(−3 ; 0),C(4 ;−3) et D(1 ; 2)
.
1.Calculer les coordonnées des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et
DC→\overrightarrow{\text D\text C}DC
. Quelle est la nature du quadrilatère
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
?
2.Calculer les coordonnées du point
K\text KK
milieu de
[AC][\text A\text C][AC]
. Quelles sont les coordonnées du point
L\text LL
milieu de
[BD][\text B\text D][BD]
?

Résolution de système linéaire

✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Méthode
On considère le système de deux équations linéaires à deux inconnues suivant :
{ax+by=ca′x+b′y=c′\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\\ \end{cases}{ax+by=ca′x+b′y=c′​
 où
aaa
,
a′a'a′
,
bbb
,
b′b'b′
,
ccc
,
c′c'c′
sont des réels donnés.
xxx
et
yyy
sont lesinconnuesde ce système d'équations.
Lorsqu'elles existent, les valeurs de
xxx
et
yyy
qui rendent les deux égalités vraies en même temps forment lecouple solution du système, noté\((x~;~y)\).
Les deux équations qui constituent ce système sont des équations cartésiennes de droites dans un repère du plan. Résoudre un tel système revient donc à chercher l'éventuel point d'intersection de ces droites qu'on note
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
.
La droite
d1d_1d1​
 est dirigée par le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\)et la droite
d2d_2d2​
 est dirigée par le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{v}\binom{-b'}{a'}\).Les droites\(d_1\)et
d2d_2d2​
sont parallèles si et seulement si les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si
−b×a′=−b′×a-b\times a' = -b'\times a−b×a′=−b′×a
soit 
ab′−a′b=0\boxed{ab'-a'b=0}ab′−a′b=0​
. 
On appelledéterminantdu systèmela quantité
ab′−a′bab'-a'bab′−a′b
.
Les droites sont donc parallèles si et seulement si le déterminant du système est nul.
Dans le plan, deux droites sont soit parallèles confondues, soit strictement parallèles, soit sécantes.
  • Premier cas :les deux droites sont confondues
    Le système admet alors une infinité de couples solutions. 
  • Deuxième cas: les deux droites sont strictement parallèles
    Le système n'admet aucun couple solution.
  • Troisième cas : les droites sont sécantes.
    Le système admet un unique couple solution.

✎☛ Résoudre un système par substitution

MéthodePar substitution
Pour résoudre par substitution un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on exprime, dans l'une des équations, l'une des inconnues en fonction de l'autre puis on remplace cette expression dans l'équation restante. On vérifie ensuite que le couple obtenue est bien solution du système.
Énoncé
Résoudre le système suivant par substitution : 
{2x−3y=−1x−y=−1\begin{cases} 2x-3y=-1 \\ x-y=-1 \end{cases}{2x−3y=−1x−y=−1​
.
Solution
Le déterminant du système est : 
2×(−1)−1×(−3)=12\times (-1)-1\times (-3)=12×(−1)−1×(−3)=1
.
Il est différent de 0, donc le système admet un unique couple solution.
On note
E1E_1E1​
et
E2E_2E2​
les deux équations du système: \(\begin{cases}  2x-3y=-1 \quad E_1\\  x-y=-1 \qquad E_2  \end{cases}\).
On exprime, dans
E2E_2E2​
,
yyy
en fonction de 
xxx
(on aurait aussi pu exprimer 
xxx
en fonction de 
yyy
) :  
y=x+1
.
On remplace cette expression de
yyy
 dans
E1E_1E1​
 :
2x−3(x+1)=−1⇔2x−3x−3=−1⇔−x=2⇔x=−22x-3(x+1)=-1 \Leftrightarrow 2x-3x-3=-1 \Leftrightarrow -x=2 \Leftrightarrow x=-22x−3(x+1)=−1⇔2x−3x−3=−1⇔−x=2⇔x=−2
.
On obtient : 
y=x+1=−2+1=−1y=x+1=-2+1=-1y=x+1=−2+1=−1
.
On vérifie que le couple
(−2 ;−1)(-2~;-1)(−2 ;−1)
est bien solution du système.
Conclusion:
(−2 ;−1)(-2~;-1)(−2 ;−1)
est le couple solution du système.

✎☛ Résoudre un système par combinaison

MéthodePar combinaison
Lorsque l'on résout par combinaison un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on ajoute ou on soustrait les deux équations membre à membre. Pour cela, on doit parfois auparavant multiplier (ou diviser) les membres d'une (ou deux) équation(s) par un nombre non nul bien choisi.
Énoncé
Résoudre le système suivant par combinaison : 
{5x+3y=2−10x+4y=−14\begin{cases} 5x+3y=2 \\ -10x+4y=-14 \end{cases}{5x+3y=2−10x+4y=−14​
.
Solution
Le déterminant du système est : 
5×4−(−10)×3=505\times 4-(-10)\times 3=505×4−(−10)×3=50
.
Il est différent de 
000
, donc le système admet un unique couple solution.
On note
E1E_1E1​
et
E2E_2E2​
les deux équations du système : 
{5x+3y=2E1−10x+4y=−14E2\begin{cases} 5x+3y=2 \hspace{1.55cm} E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}{5x+3y=2E1​−10x+4y=−14E2​​
.
On multiplie les deux membres de
E1E_1E1​
 par
222
.
On obtient le système suivant : \(\begin{cases} 10x+6y=4 \quad \qquad E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}\).
On ajoute, membre à membre, les deux équations.
On obtient :
(10x−10x)+(6y+4y)=4−14(10x-10x)+(6y+4y)=4-14(10x−10x)+(6y+4y)=4−14
 soit 
10y=−1010y=-1010y=−10
 soit 
y=−1y=-1y=−1
.
On remplace
yyy
par
−1-1−1
dans l'expression initiale de
E1E_1E1​
.
On obtient :
5x+3×(−1)=2⇔5x=5⇔x=15x+3\times (-1)=2 \Leftrightarrow 5x=5 \Leftrightarrow x=15x+3×(−1)=2⇔5x=5⇔x=1
.
On vérifie que le couple
(1 ;−1)(1~;-1)(1 ;−1)
est bien solution des deux équations.
Conclusion:
(1 ;−1)(1~;-1)(1 ;−1)
est le couple solution du système.