Revenir
Revenir

Vecteurs, droites et plans, repérage dans l'espace

deux points de l'espace. La transformation qui à tout point

Sommaire

Vecteurs de l'espaceTranslation et vecteurs de l'espaceSomme de vecteurs de l'espace☛ Décomposer un vecteurProduit d'un vecteur de l'espace par un réel☛ Additionner des vecteurs de l'espaceCombinaison linéaire de vecteurs de l'espace☛ Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs
Droites et plans de l'espaceCaractérisation vectorielle d'une droite de l'espacePosition relative de deux droites de l'espace✎ Position relative de deux droites de l'espace
Points et vecteurs coplanaires
Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace
Comment définir un plan ?
Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace
Position relative de deux plans de l'espace
Repérage dans l'espaceBase de l'espaceRepère de l'espace✎☛ Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espaceOpérations sur les coordonnées✎☛ Utiliser la colinéarité de deux vecteurs✎☛ Démontrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires✎☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs coplanaires☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs non coplanaires☛ Étudier la coplanarité de quatre points

Vecteurs de l'espace

Translation et vecteurs de l'espace

Définition
Soit
A\text AA
et
B\text BB
deux points de l'espace. La transformation qui à tout point
C\text CC
de l'espace associe le point
D\text DD
de l'espace tel que
ABDC\text A\text B\text D\text CABDC
est un parallélogramme (éventuellement aplati) est latranslationde vecteur
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
.
Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points de l'espace. Soit
D\text DD
l'image de
C\text CC
par la translation de vecteur 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
.
Alors, les vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text C\text D}CD
 sontégaux. Les vecteurs\(\overrightarrow{\text A\text B}\)et \(\overrightarrow{\text C\text D}\)sont des représentants d'un même vecteur.
Remarques
Si 
A\text AA
et 
B\text BB
sont distincts, le vecteur 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 est caractérisé par :
    • sadirection(celle de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
) ;
    • sonsens(de
A\text AA
vers
B\text BB
) ;
    • sanorme, notée 
∣∣AB→∣∣||\overrightarrow{\text A\text B}||∣∣AB∣∣
, qui est la longueur 
AB\text A\text BAB
.
Si 
A\text AA
et 
B\text BB
sont confondus, le vecteur 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 est le vecteur nul. On le note
0→\overrightarrow{0}0
.
Propriété
Soit
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text C\text D}CD
deux vecteurs de l'espace, différents du vecteur nul. Les vecteurs
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text C\text D}CD
sont égaux si et seulement s'ils ont mêmedirection, mêmesenset mêmelongueur.
Propriété
Soit
A\text AA
un point de l'espace et 
u→\overrightarrow{u}u
un vecteur de l'espace. Il existe un unique point
M\text MM
de l'espace tel que
AM→=u→\overrightarrow{\text A\text M}=\overrightarrow{u}AM=u
.

Somme de vecteurs de l'espace

Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
  et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace. La translation de vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
 suivie de la translation de vecteur
v→\overrightarrow{v}v
est unetranslation.
Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
  et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace. La translation de vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
 suivie de la translation de vecteur
v→\overrightarrow{v}v
est la translation de vecteur
u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}u+v
.
Propriété Relation de Chasles
Soit 
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace.
Soit 
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points de l'espace tels que
u→=AB→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}u=AB
  et
v→=BC→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text B\text C}v=BC
.
Comme le vecteur
AC→\overrightarrow{\text A\text C}AC
est un représentant du vecteur
u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}u+v
, on obtient l'égalité suivante appelée relation de Chasles : 
AC→=AB→+BC→\overrightarrow{\text A\text C}=\overrightarrow{\text A\text B}+\overrightarrow{\text B\text C}AC=AB+BC
.
PropriétéRègle du parallélogramme
Soit
u→\overrightarrow{u}u
  et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace.
Soit 
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points de l'espace tels que
u→=AB→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}u=AB
  et
v→=AC→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}v=AC
.
Soit
D\text DD
le point de l'espace tel que
ABDC\text A\text B\text D\text CABDC
est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Alors, le vecteur
AD→\overrightarrow{\text A\text D}AD
est un représentant du vecteur
u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}u+v
.
Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
trois vecteurs de l'espace. Alors on a :
u→+v→=v→+u→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}u+v=v+u
 (commutativité) ;
u→+0→=0→+u→=u→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}u+0=0+u=u
 (élément neutre) ;
(u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)=u→+v→+w→(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}(u+v)+w=u+(v+w)=u+v+w
 (associativité).

☛ Décomposer un vecteur

Énoncé
Soit un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
. En utilisant la relation de Chasles, décomposer le vecteur 
AG→\mathrm{\overrightarrow{AG}}AG
 en fonction des vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
 et 
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.
Solution
On utilise la relation de Chasles. On obtient :
AG→=AB→+BC→+CG→\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}}AG=AB+BC+CG
.
Or
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
est un carré, donc
BC→=AD→\mathrm{\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}}BC=AD
.
De plus,
AEGC\mathrm{AEGC}AEGC
est un rectangle, donc
CG→=AE→\mathrm{\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}}CG=AE
.
Conclusion: 
AG→=AB→+AD→+AE→\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}}AG=AB+AD+AE
.

Produit d'un vecteur de l'espace par un réel

Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur non nul de l'espace et
kkk
un réel non nul. On définit le vecteur
ku→k\overrightarrow{u}ku
de la façon suivante :
    • le vecteur 
ku→k\overrightarrow{u}ku
a la même direction que le vecteur
u→\overrightarrow{u}u
;
    • si
kkk
est strictement positif, alors le vecteur
ku→k\overrightarrow{u}ku
a le même sens que le vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 et, si
kkk
est strictement négatif, alors levecteur 
ku→k\overrightarrow{u}ku
a le sens contraire du vecteur
u→\overrightarrow{u}u
;
    • le vecteur \(k\overrightarrow{u}\)a pour norme\(\left|k\right|\times\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert\).
Remarque
Soit 
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur de l'espace et \(k\)un réel. On a :
0u→=k0→=0→0\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}0u=k0=0
.
Définition
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 un vecteur de l'espace. Alors le vecteur
−u→-\overrightarrow{u}−u
est défini par
(−1)u→(-1)\overrightarrow{u}(−1)u
.
 Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace. Soit
kkk
et
k′k'k′
deux réels. Alors on a :
u→+(−u→)=u→−u→=0→\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}u+(−u)=u−u=0
ku→=0→k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}ku=0
si et seulement si 
k=0k=0k=0
 ou 
u→=0→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}u=0
k(k′u→)=(kk′)u→k(k'\overrightarrow{u})=(kk')\overrightarrow{u}k(k′u)=(kk′)u
(k+k′)u→=ku→+k′u→(k+k')\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{u}+k'\overrightarrow{u}(k+k′)u=ku+k′u
k(u→+v→)=ku→+kv→k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}k(u+v)=ku+kv
Définition
Soit 
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs non nuls de l'espace. On dit que
u→\overrightarrow{u}u
  et
v→\overrightarrow{v}v
sontcolinéairess'ils ont la même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel
kkk
tel que
u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}u=kv
ou
v→=ku→\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}v=ku
.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace.

☛ Additionner des vecteurs de l'espace

Énoncé
Soit
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
un tétraèdre.
Reproduire la figure et placer les points
M\mathrm{M}M
et
N\mathrm{N}N
définis par les expressions suivantes.
1.
CM→=13CB→+14CD→\mathrm{\overrightarrow{CM}=\dfrac13\overrightarrow{CB}+\dfrac14\overrightarrow{CD}}CM=31​CB+41​CD
2.
DN→=43DA→+15CA→\mathrm{\overrightarrow{DN}=\dfrac43\overrightarrow{DA}+\dfrac15\overrightarrow{CA}}DN=34​DA+51​CA
Solution
1.L'origine du vecteur
CM→\mathrm{\overrightarrow{CM}}CM
est le point
C\mathrm{C}C
. On construit le point
M\mathrm{M}M
, image du point
C\mathrm{C}C
par la translation de vecteur
13CB→\mathrm{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}}31​CB
suivie de la translation de vecteur
14CD→\mathrm{\dfrac14\overrightarrow{CD}}41​CD
.
2.L'origine du vecteur
DN→\mathrm{\overrightarrow{DN}}DN
est le point
D\mathrm{D}D
. On construit le point
N\mathrm{N}N
, image du  point
D\mathrm{D}D
par la translation de vecteur
43DA→\mathrm{\dfrac43\overrightarrow{DA}}34​DA
suivie de la translation de vecteur
15CA→\mathrm{\dfrac15 \overrightarrow{CA}}51​CA
.

Combinaison linéaire de vecteurs de l'espace

Définition
Soit
u→,v→,w→\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}u,v,w
trois vecteurs de l'espace. On dit que 
w→\overrightarrow{w}w
 est une combinaison linéaire des vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
 lorsqu'il existe deux réels 
xxx
 et 
yyy
 tels que 
w→=xu→+yv→\boxed{\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}}w=xu+yv​
.
Remarque
On généralise cette définition en considérant une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs.
Définition
Trois vecteurs sont ditslinéairement indépendantslorsqu'aucun des trois vecteurs ne peut être écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
Exemple
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
1.On considère le point
I\mathrm II
milieu du segment
[BG]\mathrm{[BG]}[BG]
. 
Alors, d'après la règle du parallélogramme, on a :
BI→=12BC→+12BF→\mathrm{\overrightarrow{BI} = \dfrac12 \overrightarrow{BC} + \dfrac12 \overrightarrow{BF}}BI=21​BC+21​BF
.
Or, d'après la relation de Chasles, on a :
\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{AI}} & =& \mathrm{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}} \\ \mathrm{\overrightarrow{AI}} &= & \mathrm{\overrightarrow{AB} +( \dfrac12\overrightarrow{BC} + \dfrac12\overrightarrow{BF}}) \\\mathrm{\overrightarrow{AI}} &= & \mathrm{\overrightarrow{AB} + \dfrac12\overrightarrow{AD} + \dfrac12\overrightarrow{AE}}\end{array}
Doncle vecteur 
AI→\mathrm{\overrightarrow{AI}}AI
 est une combinaison linéaire des vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
 et 
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.
2.D'après la relation de Chasles, on a : \(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{AH}} & =& \mathrm{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GH}} \\\mathrm{\overrightarrow{AH}}&= & \mathrm{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}} \\\end{array}\).
Donc le vecteur 
AH→\mathrm{\overrightarrow{AH}}AH
 est une combinaison linéaire des vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 et 
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.

☛ Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs

 Énoncé
Soit
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
le tétraèdre ci-dessous.
Soit 
K\mathrm{K}K
le milieu du segment
[AD]\mathrm{[AD]}[AD]
et
L\mathrm{L}L
un point du segment
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
.
Les segments
[DB]\mathrm{[DB]}[DB]
et
[DC]\mathrm{[DC]}[DC]
sont régulièrement gradués.
1.Exprimer
DL→\mathrm{\overrightarrow{DL}}DL
comme combinaison linéaire des vecteurs
DB→\mathrm{\overrightarrow{DB}}DB
et
DC→\mathrm{\overrightarrow{DC}}DC
.
2.En déduire une expression de
KL→\mathrm{\overrightarrow{KL}}KL
comme combinaison linéaire des vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
,
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
et
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
.
Solution
1.
DL→=14DB→+34DC→\mathrm{\overrightarrow{DL}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\dfrac34\overrightarrow{DC}}DL=41​DB+43​DC
.
2.D'après la relation de Chasles, on a :\(\mathrm{\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DL}}\).
En utilisant le résultat de la question précédente et puisque
K\mathrm{K}K
le milieu du segment
[AD]\mathrm{[AD]}[AD]
, on a :
KL→=12AD→+(14DB→+34DC→)\mathrm{\overrightarrow{KL} =\dfrac12\overrightarrow{AD}+\bigg(\dfrac14\overrightarrow{DB}+\dfrac34\overrightarrow{DC}}\bigg)KL=21​AD+(41​DB+43​DC)
. D'après la relation de Chasles, on a :\(\mathrm{\overrightarrow{KL} =\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac14\overrightarrow{DA}+\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{DA}+\dfrac34\overrightarrow{AC}}\).
Conclusion:
KL→=−12AD→+14AB→+34AC→\mathrm{\overrightarrow{KL} =-\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}}KL=−21​AD+41​AB+43​AC
.

Droites et plans de l'espace

Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace

Définition
Soit
ddd
une droite de l'espace.
Un vecteur non nul
u→\overrightarrow{u}u
est appelévecteur directeurde la droite 
ddd
s'il existe deux points distincts
A\mathrm{A}A
et
B\mathrm{B}B
de
ddd
tels que 
AB→=u→\mathrm{\overrightarrow{AB}}=\overrightarrow{u}AB=u
.
Propriété
Soit
A\mathrm{A}A
et
B\mathrm{B}B
deux points distincts de l'espace.
La droite 
(AB)\mathrm{(AB)}(AB)
est l’ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l'espace tels que le vecteur
AM→\mathrm{\overrightarrow{AM}}AM
  est colinéaire au vecteur 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
.
Ainsi, la droite
(AB)\mathrm{(AB)}(AB)
est l'ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l’espace tels que 
AM→=kAB→\mathrm{\overrightarrow{AM}} = k\mathrm{\overrightarrow{AB}}AM=kAB
, où
kkk
est un réel. 
Remarques
    • Une droite
ddd
de l'espace est définie de manière unique par la donnée de deux points distincts.
    • Une droite
ddd
de l'espace est définie de manière unique par la donnée d'un point
A\mathrm{A}A
et d'un vecteur
u→\overrightarrow{u}u
non nul.

Position relative de deux droites de l'espace

Définition
Deux droites de l'espace sont coplanaires s'il existe un plan qui les contient toutes les deux.
Propriété
Deux droites 
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes ou parallèles.
    • Les droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
sontsécantes.
    • Les droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
sontparallèles(soit strictement parallèles, soit confondues).
Exemple
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
Les droites
(EG)\mathrm{(EG)}(EG)
et
(FG)\mathrm{(FG)}(FG)
appartiennent au même plan 
(EFG)\mathrm{(EFG)}(EFG)
et sont sécantes en
G\mathrm{G}G
.
Les droites
(AD)\mathrm{(AD)}(AD)
et
(FG)\mathrm{(FG)}(FG)
appartiennent au même plan
(ADG)\mathrm{(ADG)}(ADG)
et sont strictement parallèles.
Les droites
(AD)\mathrm{(AD)}(AD)
et
(CG)\mathrm{(CG)}(CG)
sont non coplanaires.
Remarque
Si deux droites de l'espace n'ont pas de point commun, alors elles sont soit strictement parallèles soit non coplanaires.

✎ Position relative de deux droites de l'espace

Points et vecteurs coplanaires

Définition
On dit que despointssontcoplanairess'il existe un plan qui contient tous ces points.
Remarques
  • Trois points sont toujours coplanaires.
  • Quatre points ne sont pas coplanaires lorsque l'un d'eux n'appartient pas au plan formé par lestrois autres points non alignés.
Définition
Troisvecteurs
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
de l'espace sontcoplanairess'il existe quatre points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
,
C\mathrm{C}C
 et 
D\mathrm{D}D
coplanaires tels que
u→=AB→\overrightarrow{u}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}u=AB
, 
v→=AC→\overrightarrow{v}=\mathrm{\overrightarrow{AC}}v=AC
et
w→=AD→\overrightarrow{w}=\mathrm{\overrightarrow{AD}}w=AD
.
Exemple
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
Les points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
,
C\mathrm{C}C
 et 
D\mathrm{D}D
sont coplanaires car 
D\mathrm{D}D
appartient au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.
Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
 sont donc coplanaires.

Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace

Définitions
Soit
PPP
un plan de l'espace.
Deux vecteurs de l'espace, non colinéaires,
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
forment unebasedu plan
PPP
s'il existe trois points non alignés
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
et 
C\mathrm{C}C
du plan\(P\) tels que 
AB→+AC→=u→+v→\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}AB+AC=u+v
.
On dit alors que le plan
PPP
 estdirigépar lesvecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
.
On dit aussi que
(A ;u→,v→)(\mathrm{A}~ ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})(A ;u,v)
est unrepèrede 
PPP
.
Propriété
Soit
PPP
un plande l'espace et
(A ;u→,v→)(\mathrm{A}~ ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})(A ;u,v)
un repère de ce plan. Alors, le plan
PPP
est l'ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l'espace tels que : 
AM→=xu→+yv→\mathrm{\overrightarrow{AM} }= x \overrightarrow{u}+ y \overrightarrow{v}AM=xu+yv
, où
xxx
et
yyy
sont des réels, c'est-à-dire l'ensemble des points
M\mathrm{M}M
tels que
AM→\mathrm{\overrightarrow{AM} }AM
est une combinaison linéaire des vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
.
Propriété
Soit
A\text AA
,
B\mathrm{B}B
et 
C\mathrm{C}C
trois points non alignés de l'espace.
Le plan\(\mathrm{(ABC)}\)est l'ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l’espace tels que
AM→=xAB→+yAC→\mathrm{\overrightarrow{AM} }= x \mathrm{\overrightarrow{AB}}+ y \mathrm{\overrightarrow{AC}}AM=xAB+yAC
, où
xxx
et
yyy
sont des réels.
Ainsi, le plan\(\mathrm{(ABC)}\)est l’ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l'espace tels que le vecteur
AM→\mathrm{\overrightarrow{AM}}AM
  est une combinaison linéaire des vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
.
 Propriété
Soit
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteursnon colinéaires.
Les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
 et
w→\overrightarrow{w}w
sontcoplanairessi et seulement si
w→\overrightarrow{w}w
est une combinaison linéaire de
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
, c'est-à-dire s'il existe deux réels 
xxx
 et 
yyy
 tels que 
w→=xu→+yv→{\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}}w=xu+yv
.
Exemple
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
    • Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
ne sont pas colinéaires et
AC→=AB→+AD→\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AD}}AC=AB+AD
.
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 est une combinaison linéaire de 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
.Donc
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
 sont coplanaires.
    • Soit
I\mathrm{I}I
et
J\mathrm{J}J
les milieux respectifs des côtés
[BF]\mathrm{[BF]}[BF]
et
[CG]\mathrm{[CG]}[CG]
.Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
EG→\mathrm{\overrightarrow{EG}}EG
et 
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
sont coplanaires.En effet,
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et 
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
ne sont pas colinéaires et 
EG→=AC→=AB→+BC→=AB→+IJ→\mathrm{\overrightarrow{EG}}=\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{BC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{IJ}}EG=AC=AB+BC=AB+IJ
.  
    • Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
 et 
CG→\mathrm{\overrightarrow{CG}}CG
ne sont pas coplanaires car 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
ne sont pas colinéaires mais 
CG→\mathrm{\overrightarrow{CG}}CG
n'est pas une combinaison linéaire des vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
.
Propriétés
    • Soit
PPP
un plande l'espace et
(A ;u→,v→)(\mathrm{A}~; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})(A ;u,v)
un repère de ce plan. Ce plan est l'ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l'espace tels que
AM→\mathrm{\overrightarrow{AM}}AM
, 
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont coplanaires.
    • Soit
A\text AA
,
B\mathrm{B}B
et 
C\mathrm{C}C
trois points non alignés de l'espace. Le plan\(\mathrm{(ABC)}\)estl’ensemble des points
M\mathrm{M}M
de l'espace tels que les vecteurs
AM→\mathrm{\overrightarrow{AM}}AM
,
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
sont coplanaires.

Comment définir un plan ?

Propriété
Un plan\(P\) de l'espace est défini de manière unique par la donnée :
    • de trois points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
non alignés. On note ce plan\(\mathrm{(ABC)}\) :
    • d'un point
A\mathrm{A}A
et deux vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
, non colinéaires :
    • d'une droite
ddd
et d'un point
A\mathrm{A}A
n'appartenant pas à la droite
ddd
 :
    • de deux droites sécantes
d1d_1d1​
 et
d2d_2d2​
 :
    • de deux droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
strictement parallèles :

Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace

Propriété
Soit 
ddd
une droite de l'espace et
PPP
un plan de l'espace. La droite
ddd
est soitsécanteavec le plan
PPP
, soitparallèle au plan
PPP
.
Dans le cas où la droite
ddd
est parallèle au plan
PPP
, elle est soitinclusedans le plan
PPP
, soitstrictement parallèleau plan
PPP
.
ddd
et
PPP
sontsécantsen
I\text II
. On écrit : \(d \cap P=\{\text I\}\).
    • \(d\) estinclusedans
PPP
. On écrit :
d⊂Pd \subset Pd⊂P
. 
ddd
eststrictement parallèleà
PPP
. On écrit : \(d /\!/ P\). 
Propriétés
    • Si deux points distincts
A\mathrm{A}A
et
B\mathrm{B}B
appartiennent à un plan
PPP
, alors la droite
(AB)\mathrm{(AB)}(AB)
est incluse dans le plan
PPP
.
    • Si
ddd
est une droite parallèle à une droite
∆∆∆
contenue dans un plan
PPP
, alors la droite
ddd
est parallèle au plan
PPP
.
    • Si
ddd
est une droite parallèle à un plan
PPP
, alors il existe une droite 
∆∆∆
contenue dans le plan
PPP
et parallèle à la droite
ddd
.

Position relative de deux plans de l'espace

Propriété
Deux plans de l'espace sont soitsécantssuivant une droite, soitparallèles.
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sontparallèles(strictement parallèles ou confondus) :
Les plans 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
admettent alors une même base.
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sontsécantssuivant une droite
ddd
 :
Exemple
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un parallélépipède rectangle.
    • Les plans
(BCG)\mathrm{(BCG)}(BCG)
et
(BCE)\mathrm{(BCE)}(BCE)
sont sécants suivant la droite
(BC)\mathrm{(BC)}(BC)
.
    • Les plans
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
et
(EFG)\mathrm{(EFG)}(EFG)
sont strictement parallèles.
Propriétés
    • Si un plan 
P1P_1P1​
contient deux droites sécantes parallèles à un second plan
P2P_2P2​
, alors
P1P_1P1​
est parallèle à
P2P_2P2​
.
    • Si deux plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
 sont parallèles, alors tout plan
PPP
qui coupe
P1P_1P1​
 coupe aussi 
P2P_2P2​
 et les droites d'intersection sont parallèles.
Théorème du toit
Soit deux plans sécants
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
. Soit une droite
d1d_1d1​
 incluse dans
P1P_1P1​
et une droite
d2d_2d2​
dans
P2P_2P2​
telles que 
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
sont parallèles.
Si
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont sécants suivant une droite
ddd
, alors \(d/\!/d_1\) et 
d/ ⁣/d2d/\!/d_2d//d2​
.

Repérage dans l'espace

Base de l'espace

Définition
Unebase de l'espaceest formée de trois vecteurs non coplanaires.
Remarques
    • Une base du plan est formée de deux vecteurs non colinéaires.On dit qu'un plan est de dimension
222
.
    • Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.On dit que l'espace est de dimension
333
.
Exemple
Dans la figure ci-dessous,
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
est un cube.
Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
,
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
et 
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
 sont non coplanaires.
Le triplet
(AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(AB,AD,AE)
forme une base de l’espace.
Propriété et définition
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. Soit 
u→\overrightarrow uu
 un vecteur de l'espace.
Alors le vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
s’écrit de manièreuniquesous la forme
u→=xi→+yj→+zk→\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}u=xi+yj​+zk
. 
Les trois nombres
xxx
,
yyy
et
zzz
s'appellent les coordonnées du vecteur 
u→\overrightarrow uu
 dans la base 
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
. 
On note alors 
u→(x ; y ; z)\overrightarrow{u}(x~;~y~;~z)u(x ; y ; z)
ou 
u→(xyz)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\\end{pmatrix}u​xyz​​
. 
Exemple
On reprend l'exemple ci-dessus. Soit
I\mathrm{I}I
le milieu du segment
[FG]\mathrm{[FG]}[FG]
.
Alors :
\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{ID}} & = & \mathrm{\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HD}}\\ \mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}}\\\mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}}\\\end{array}
Donc le vecteur 
ID→\mathrm{\overrightarrow{ID}}ID
 a pour coordonnées :
ID→(−112−1)\mathrm{\overrightarrow{ID}}\begin{pmatrix} -1 \\\dfrac12 \\ -1\\\end{pmatrix}ID​−121​−1​​
. 

Repère de l'espace

Définition
Unrepère de l'espaceest formé d'un point
O\text OO
de l'espace et d'une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
de l'espace. On note
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
ce repère.
On dit que  le point
O\text OO
est l'originede ce repère.
Exemple 1
Dans la figure ci-dessous,
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
est un cube.
Le quadruplet
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
forme un repère de l’espace. 
Définition
Soit 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
 un repère de l'espace. Soit 
M\mathrm{M}M
 un point de l'espace. Les coordonnées du point
M\mathrm{M}M
dans le repère 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
 sont les coordonnées du vecteur 
OM→\mathrm{\overrightarrow{OM}}OM
 dans la base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
.
On a :
OM→=xi→+yj→+zk→\mathrm{\overrightarrow{OM}} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}OM=xi+yj​+zk
.
On dit que
xxx
est l'abscissede
M\mathrm{M}M
,
yyy
est l'ordonnéede
M\mathrm{M}M
et
zzz
est lacotede
M\mathrm{M}M
.On écrit : \(\mathrm{M}(x~;~y~;~z)\).
Exemple 2
Soit le cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
 ci-dessous.
On se place dans le repère 
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
.
    • On a 
AB→=1AB→+0AD→+0AE→\mathrm{\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}AB=1AB+0AD+0AE
 donc les coordonnées de
B\mathrm{B}B
sont
B(1 ; 0 ; 0)\mathrm{B(1~;~0~;~0)}B(1 ; 0 ; 0)
.
    • De la même manière, les coordonnées de
D\mathrm{D}D
sont
D(0 ; 1 ; 0)\mathrm{D(0~;~1~;~0)}D(0 ; 1 ; 0)
et celles de
E\mathrm{E}E
sont
E(0 ; 0 ; 1)\mathrm{E(0~;~0~;~1)}E(0 ; 0 ; 1)
.
AG→=AB→+AD→+AE→\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}AG=AB+AD+AE
 donc les coordonnées de
G\mathrm{G}G
sont
G(1 ; 1 ; 1)\mathrm{G(1~;~1~;~1)}G(1 ; 1 ; 1)
.
    • Soit
I\mathrm{I}I
le milieu du segment
[FG]\mathrm{[FG]}[FG]
. Alors 
AI→=AB→+BF→+FI→=AB→+AE→+12AD→=AB→+12AD→+AE→\mathrm{\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FI} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}AI=AB+BF+FI=AB+AE+21​AD=AB+21​AD+AE
.Donc
I\mathrm{I}I
a pour coordonnées 
I(1 ; 12 ; 1)\mathrm{I\left(1~;~\dfrac12~;~1\right)}I(1 ; 21​ ; 1)
.

✎☛ Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Méthode
Soit
(O ;i→,j→,k→)\left(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
 un repère de l'espace. On veut déterminer les coordonnées d'un point
M\mathrm{M}M
dans ce repère.
On considère le vecteur 
OM→\mathrm{\overrightarrow{OM}}OM
.
On le décompose, à l'aide de la relation de Chasles, pour l'exprimer en fonction des vecteurs 
i→\overrightarrow{i}i
, 
j→\overrightarrow{j}j​
 et 
k→\overrightarrow{k}k
.
Les coefficients obtenus devant
i→\overrightarrow{i}i
, 
j→\overrightarrow{j}j​
 et 
k→\overrightarrow{k}k
,danscet ordre, sont les coordonnées du vecteur
OM→\mathrm{\overrightarrow{OM}}OM
. Comme
O\mathrm{O}O
est l'origine du repère, ces coordonnées sont aussi celles du point
M\mathrm{M}M
.
Énoncé
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
Soit 
I\mathrm{I}I
,
J\mathrm{J}J
,
K\mathrm{K}K
les milieux respectifs des segments
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
,
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
et
[FG]\mathrm{[FG]}[FG]
.
Soit
L\mathrm{L}L
le centre de la face
BCGH\mathrm{BCGH}BCGH
. 
On se place dans le repère 
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
.
1.Déterminer les coordonnées de chacun des sommets du cube.
2.Déterminer les coordonnées des points
I\mathrm{I}I
, 
J\mathrm{J}J
,
K\mathrm{K}K
 et
L\mathrm{L}L
.
3. Déterminer les coordonnées du vecteur 
LK→\mathrm{\overrightarrow{LK}}LK
.
Solution
1.Le point 
A\mathrm{A}A
est l'origine du repère, donc
A(0 ; 0 ; 0)\mathrm{A(0~;~0~;~0)}A(0 ; 0 ; 0)
.\(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) est le premier vecteur de la base, 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
est le deuxième vecteur de la base,
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
est le troisième vecteur de la base.
AB→=1AB→+0AD→+0AE→\mathrm{\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}AB=1AB+0AD+0AE
, donc
B(1 ; 0 ; 0)\mathrm{B(1~;~0~;~0)}B(1 ; 0 ; 0)
.
AC→=AB→+BC→=AB→+AD→=1AB→+1AD→+0AE→\mathrm{\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 1\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AD} + 0\overrightarrow{AE}}AC=AB+BC=AB+AD=1AB+1AD+0AE
, donc
C(1 ; 1 ; 0)\mathrm{C(1~;~1~;~0)}C(1 ; 1 ; 0)
.
AD→=0AB→+1AD→+0AE→\mathrm{\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}AD=0AB+1AD+0AE
, donc 
D(0 ; 1 ; 0)\mathrm{D(0~;~1~;~0)}D(0 ; 1 ; 0)
.
AE→=0AB→+0AD→+1AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}=0\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}AE=0AB+0AD+1AE
, donc 
E(0 ; 0 ; 1)\mathrm{E(0~;~0~;~1)}E(0 ; 0 ; 1)
.
AF→=AE→+EF→=AE→+AD→=0AB→+1AD→+1AE→\mathrm{\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}AF=AE+EF=AE+AD=0AB+1AD+1AE
, donc 
F(0 ; 1 ; 1)\mathrm{F(0~;~1~;~1)}F(0 ; 1 ; 1)
.
AG→=AB→+BC→+CG→=1AB→+1AD→+1AE→\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} = 1\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}AG=AB+BC+CG=1AB+1AD+1AE
, donc 
G(1 ; 1 ; 1)\mathrm{G(1~;~1~;~1)}G(1 ; 1 ; 1)
.
AH→=AB→+BH→=1AB→+0AD→+1AE→\mathrm{\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BH} = 1\overrightarrow{AB} + 0\overrightarrow{AD} + 1\overrightarrow{AE}}AH=AB+BH=1AB+0AD+1AE
, donc 
H(1 ; 0 ; 1)\mathrm{H(1~;~0~;~1)}H(1 ; 0 ; 1)
.
2.
AI→=12AB→\mathrm{\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}}AI=21​AB
, donc
I(12 ; 0 ; 0)\mathrm{I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)}I(21​ ; 0 ; 0)
.
AJ→=AB→+BJ→=AB→+12AD→\mathrm{\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}}AJ=AB+BJ=AB+21​AD
, donc 
J(1 ; 12 ; 0)\mathrm{J\left(1~;~\dfrac12~;~0\right)}J(1 ; 21​ ; 0)
.
AK→=AE→+EF→+FK→=12AB→+1AD→+1AE→\mathrm{\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FK} = \dfrac12\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}AK=AE+EF+FK=21​AB+1AD+1AE
, donc 
K(12 ; 1 ; 1)\mathrm{K\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)}K(21​ ; 1 ; 1)
.
AL→=AJ→+JL→=AB→+12AD→+12AE→\mathrm{\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AJ} +\overrightarrow{JL} =\overrightarrow{AB} +\dfrac12\overrightarrow{AD} +\dfrac12\overrightarrow{AE}}AL=AJ+JL=AB+21​AD+21​AE
, donc 
L(1 ; 12 ; 12)\mathrm{L\left(1~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right)}L(1 ; 21​ ; 21​)
.
3.
\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{LK}}& =& \mathrm{\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AK}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AE}}\\\end{array}
Donc
LK→(−121212)\mathrm{\overrightarrow{LK}}\begin{pmatrix} -\dfrac12 \\\dfrac12 \\ \dfrac12\\\end{pmatrix}LK​−21​21​21​​​
.

Opérations sur les coordonnées

Propriétés
1.Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. Soit 
u→(abc)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}u​abc​​
et
v→(a′b′c′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}v​a′b′c′​​
deux vecteurs de l'espace. Soit
kkk
un réel.
Alors :
    • le vecteur 
u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}u+v
 a pour coordonnées 
(a+a′b+b′c+c′)\begin{pmatrix} a+a' \\ b+b' \\ c+c' \\\end{pmatrix}​a+a′b+b′c+c′​​
;
    • le vecteur 
ku→k\overrightarrow{u}ku
 a pour coordonnées 
(kakbkc)\begin{pmatrix} ka \\ kb \\ kc \\\end{pmatrix}​kakbkc​​
;
    • les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnéessont proportionnelles.
2.Soit
(O ;i→,j→,k→)\left(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
un repère de l'espace. Soit 
A(xA ; yA ; zA)\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)A(xA​ ; yA​ ; zA​)
 et 
B(xB ; yB ; zB)\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)B(xB​ ; yB​ ; zB​)
 deux points de l'espace.
Alors :
    • le vecteur 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 a pour coordonnées 
(xB−xAyB−yAzB−zA)\begin{pmatrix} x_\text B-x_\text A \\ y_\text B -y_\text A \\ z_\text B-z_\text A \\\end{pmatrix}​xB​−xA​yB​−yA​zB​−zA​​​
;
    • le point
I\text II
, milieu du segment
[AB][\text A\text B][AB]
, a pour coordonnées 
I(xA+xB2 ; yA+yB2 ; zA+zB2)\text I\left(\dfrac{x_\text A+x_\text B}{2}~;~\dfrac{y_\text A+y_\text B}{2}~;~\dfrac{z_\text A+z_\text B}{2}\right)I(2xA​+xB​​ ; 2yA​+yB​​ ; 2zA​+zB​​)
.

✎☛ Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

Méthode
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. Deux vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
 sont colinéaires lorsqu'il existe un réel
kkk
tel que
u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}u=kv
 ou
v→=ku→\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}v=ku
 c'est-à-dire lorsque les coordonnées des vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et
v→\overrightarrow{v}v
sont proportionnelles.
Énoncé
On se place dans un repère 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
de l'espace. Soit 
A(−1 ; 3 ;−2)\mathrm{A(-1~;~3~;-2)}A(−1 ; 3 ;−2)
 et 
B(2 ; 0 ; 2)\mathrm{B(2~;~0~;~2)}B(2 ; 0 ; 2)
deux points. Déterminer les coordonnées 
yyy
 et 
zzz
 du point 
C(−7 ; y ; z)\text C(-7~;~y~;~z)C(−7 ; y ; z)
 telles que les points 
A\text AA
, 
B\text BB
 et 
C\text CC
 sont alignés.
Solution
Les points 
A\text AA
, 
B\text BB
 et 
C\text CC
 sont alignés si et seulement si les vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
sont colinéaires c'est-à-dire s'il existe un réel
kkk
tel que 
AB→=kAC→\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}AB=kAC
 car\(\text A\neq \text C\).On cherche donc, ici, à déterminer les réels \(y\) et 
zzz
tels que
AB→=kAC→\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}AB=kAC
.
Soit
kkk
un réel.
On a :
AB→(3−34)\mathrm{\overrightarrow{AB}}\begin{pmatrix} 3\\-3\\ 4\\\end{pmatrix}AB​3−34​​
et 
AC→(−6y−3z+2)\mathrm{\overrightarrow{AC}}\begin{pmatrix} -6\\y-3\\ z+2\\\end{pmatrix}AC​−6y−3z+2​​
.
L'expression 
AB→=kAC→\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}AB=kAC
  équivaut à 
{3=−6k−3=k(y−3)4=k(z+2)\begin{cases} 3=-6k\\ -3=k(y-3) \\ 4=k(z+2) \end{cases}⎩⎨⎧​3=−6k−3=k(y−3)4=k(z+2)​
.
Par la première équation, on trouve 
k=−12k=-\dfrac12k=−21​
.
Puis, en remplaçant
kkk
dans le deux équations restantes, on obtient : 
{−3=−12(y−3)4=−12(z+2)\begin{cases} -3=-\dfrac12(y-3) \\ 4=-\dfrac12(z+2)\end{cases}⎩⎨⎧​−3=−21​(y−3)4=−21​(z+2)​
 puis 
{6=y−3−8=z+2\begin{cases}6=y-3 \\ -8=z+2\end{cases}{6=y−3−8=z+2​
 et enfin 
{9=y−10=z\begin{cases}9=y \\ -10=z\end{cases}{9=y−10=z​
.
On vérifie que le triplet est bien solution du système.
Conclusion: 
C(−7 ; 9 ;−10)\mathrm{C}(-7~;~9~;-10)C(−7 ; 9 ;−10)
.

✎☛ Démontrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires

Méthode
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace.
Pour démontrer que deux vecteurs
u→(abc)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}u​abc​​
et 
v→(a′b′c′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}v​a′b′c′​​
ne sont pas colinéaires, on démontre que le système 
{a=ka′b=kb′c=kc′\begin{cases}a=ka' \\ b=kb' \\ c=kc'\end{cases}⎩⎨⎧​a=ka′b=kb′c=kc′​
, d'inconnue
kkk
, n'admet pas de solution.
Remarque
Pour démontrer que deux vecteurs\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}\) et\(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires, on effectue les produits en croix entre leurs coordonnées : 
ab′ab'ab′
 et \(ba'\)
    • \(ac'\) et
ca′ca'ca′
    • \(bc'\) et
cb′cb'cb′
Si, pour l'un de ces couples, la valeur des produits est différente, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Énoncé
L'espace est muni d'un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. Soit 
A(−1 ; 0 ; 2)\text A(-1~;~0~;~2)A(−1 ; 0 ; 2)
, 
B(3 ; 2 ;−4)\text B(3~;~2~;-4)B(3 ; 2 ;−4)
 et 
C(1 ; −4 ; 2)\text C(1~;~-4~;~2)C(1 ; −4 ; 2)
. Justifier que ces trois points définissent un plan.
Solution 1
Les points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
et
C\mathrm{C}C
définissent un plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
si et seulement s'ils ne sont pas alignés, ce qui revient à dire que les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
ne sont pas colinéaires.
On a : 
AB→(42−6)\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \\\end{pmatrix}AB​42−6​​
 et 
AC→(2−40)\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} 2\\ -4 \\0 \\ \end{pmatrix}AC​2−40​​
.On cherche un réel\(k\)tel que 
AB→=kAC→\overrightarrow{\text A\text B}=k\overrightarrow{\text A\text C}AB=kAC
. 
kkk
vérifie donc le système suivant : 
{4=2k2=−4k−6=0\begin{cases}4=2k\\2=-4k\\-6 = 0\end{cases}⎩⎨⎧​4=2k2=−4k−6=0​
.
Or, la troisième équation du système correspond à une égalité fausse, donc le système n'admet pas de solution.
Les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
ne sont pas colinéaires.
Les trois points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
et
C\mathrm{C}C
ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan.
Solution 2
On a : 
AB→(42−6)\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \\\end{pmatrix}AB​42−6​​
 et 
AC→(2−40)\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} 2\\ -4 \\0 \\ \end{pmatrix}AC​2−40​​
.
Or, les produits en croix 
4×0=04 \times 0=04×0=0
 et 
−6×2=−12-6\times 2=-12−6×2=−12
 sont différents.
Donc les coordonnées des vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
ne sont pas proportionnelles.
Donc les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
ne sont pas colinéaires.
Les trois points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
et
C\mathrm{C}C
ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan.
Remarque
Si l'un des vecteurs comporte une coordonnée nulle et si la coordonnée correspondante de l'autre vecteur n'est pas nulle, alors les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

✎☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs coplanaires

Méthode
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace.
Étudier la coplanarité de trois vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
(où
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
ne sont pas colinéaires) revient à chercher s'il existe deux réels 
aaa
et
bbb
tels que 
u→=av→+bw→\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}u=av+bw
.
On traduit cette égalité vectorielle à l'aide des coordonnées des vecteurs et on résout le système obtenu d'inconnues
aaa
et
bbb
.
Énoncé
Dans une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace, on donne les vecteurs 
u→(−132)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \\3\\ 2\\\end{pmatrix}u​−132​​
, 
v→(402)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\0\\ 2\\\end{pmatrix}v​402​​
 et 
w→(−794)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -7 \\9\\ 4\\\end{pmatrix}w​−794​​
. Les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
sont-ils coplanaires ?
Solution
Les vecteurs
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
ne sont pas colinéaires.
On cherche
aaa
et
bbb
réels tels que 
u→=av→+bw→\overrightarrow{u} = a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}u=av+bw
, ce qui équivaut à : 
{−1=4a−7b3=9b2=2a+4b\begin{cases} -1=4a-7b\\ 3=9b \\ 2=2a+4b \end{cases}⎩⎨⎧​−1=4a−7b3=9b2=2a+4b​
.
La deuxième équation donne :
b=13b=\dfrac13b=31​
.
On remplace cette valeur de
bbb
dans les deux autres équations pour trouver
aaa
: 
{−1=4a−732=2a+43\begin{cases} -1=4a-\dfrac73\\ 2=2a+\dfrac43 \end{cases}⎩⎨⎧​−1=4a−37​2=2a+34​​
.
On en déduit :
{4a=−1+73=432a=2−43=23\begin{cases} 4a=-1+\dfrac73=\dfrac43\\ 2a=2-\dfrac43=\dfrac23 \end{cases}⎩⎨⎧​4a=−1+37​=34​2a=2−34​=32​​
.
Les deux équations donnent : 
a=13a=\dfrac13a=31​
.
On vérifie que le couple
(13 ; 13)\left(\dfrac13~;~\dfrac13\right)(31​ ; 31​)
est bien solution du système de trois équations.
Conclusion: le système admet un unique couple solution 
(13 ; 13)\left(\dfrac13~;~\dfrac13\right)(31​ ; 31​)
. 
On a alors 
u→=13v→+13w→\overrightarrow{u} = \dfrac13\overrightarrow{v}+\dfrac13\overrightarrow{w}u=31​v+31​w
.
Les trois vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
sont donc coplanaires.

☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs non coplanaires

Énoncé
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. On donne les vecteurs 
u→(0−11)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 1\\\end{pmatrix}u​0−11​​
, 
v→(−2−13)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -2 \\-1\\ 3\\\end{pmatrix}v​−2−13​​
et 
w→(−1−1−1)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -1 \\-1\\ -1\\\end{pmatrix}w​−1−1−1​​
. Les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
sont-ils coplanaires ?
Solution
Les vecteurs
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
ne sont pas colinéaires.
On cherche l'existence de réels
aaa
et
bbb
tels que 
u→=av→+bw→\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}u=av+bw
ce qui équivaut à : 
{0=−2a−b−1=−a−b1=3a−b\begin{cases} 0=-2a-b \\ -1=-a-b \\ 1=3a-b\end{cases}⎩⎨⎧​0=−2a−b−1=−a−b1=3a−b​
soit 
{0=2a+b1=a+b1=3a−b\begin{cases} 0=2a+b \\ 1=a+b \\ 1=3a-b\end{cases}⎩⎨⎧​0=2a+b1=a+b1=3a−b​
.
On résout le système partiel formé des deux premières équations : 
{0=2a+b1=a+b\begin{cases} 0=2a+b \\ 1=a+b\end{cases}{0=2a+b1=a+b​
.
En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient : 
a=−1a=-1a=−1
.
Puis, en remplaçant cette valeur dans l'une de ces deux équations, on obtient
b=2b=2b=2
.
Enfin, on remplace ces deux valeurs dans l'équation restante : 
3a−b=3×(−1)−2=−3−2=−5≠13a-b=3\times (-1)-2=-3-2=-5 \neq 13a−b=3×(−1)−2=−3−2=−5=1
.
Les valeurs trouvées de 
aaa
et 
bbb
ne conviennent pas, donc le système n'admet pas de couple solution. 
Conclusion: il n'existe pas deux réels 
aaa
et
bbb
tels que 
u→=av→+bw→\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}u=av+bw
.
On ne peut pas exprimer le vecteur
u→\overrightarrow{u}u
comme combinaison linéaire des vecteurs
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
.
Les trois vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
,
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
ne sont pas coplanaires.

☛ Étudier la coplanarité de quatre points

Énoncé
Dans un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
de l'espace, on donne les points
A(2 ; 1 ; 4)\text A(2~;~1~;~4)A(2 ; 1 ; 4)
,
B(4 ;−1 ; 0)\text B(4~;-1~;~0)B(4 ;−1 ; 0)
,
C(0 ; 3 ; 2)\text C(0~;~3~;~2)C(0 ; 3 ; 2)
et
D(4 ; 3 ;−2)\text D(4~;~3~;-2)D(4 ; 3 ;−2)
. Les points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
,
C\mathrm{C}C
 et 
D\mathrm{D}D
sont-ils coplanaires ?
Solution
On étudie la coplanarité des vecteurs 
AB→(2−2−4)\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 2 \\-2\\ -4\\\end{pmatrix}AB​2−2−4​​
, 
AC→(−22−2)\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} -2 \\2\\ -2\\\end{pmatrix}AC​−22−2​​
 et 
AD→(22−6)\overrightarrow{\text A\text D}\begin{pmatrix} 2 \\2\\ -6\\\end{pmatrix}AD​22−6​​
.
Les vecteurs 
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
ne sont pas colinéaires.
On cherche les réels
aaa
 et 
bbb
tels que : 
AB→=aAC→+bAD→\overrightarrow{\text A\text B}=a\overrightarrow{\text A\text C}+b\overrightarrow{\text A\text D}AB=aAC+bAD
ce qui équivaut au système : 
{2=−2a+2b−2=2a+2b−4=−2a−6b\begin{cases} 2=-2a+2b\\ -2=2a+2b\\-4=-2a-6b \end{cases}⎩⎨⎧​2=−2a+2b−2=2a+2b−4=−2a−6b​
soit
{1=−a+b−1=a+b−2=−a−3b\begin{cases} 1=-a+b\\ -1=a+b\\-2=-a-3b \end{cases}⎩⎨⎧​1=−a+b−1=a+b−2=−a−3b​
.
On résout le système partiel formé par les deux premières équations : 
{1=−a+b−1=a+b\begin{cases} 1=-a+b\\ -1=a+b\\ \end{cases}{1=−a+b−1=a+b​
.
En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient : 
2b=02b=02b=0
soit
b=0b=0b=0
.
On remplace cette valeur de
bbb
dans l'une des deux équations et on trouve : 
a=−1a=-1a=−1
.
On remplace les deux valeurs trouvées dans la troisième équation, on obtient : 
−a−3b=−(−1)−3×0=1≠−2-a-3b =-(-1)-3\times 0=1 \neq -2−a−3b=−(−1)−3×0=1=−2
.
Conclusion: les valeurs trouvées de 
aaa
et 
bbb
ne conviennent pas. Le système n'admet pas de couple solution, alors les vecteurs 
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
, 
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
 et 
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
ne sont pas coplanaires.
Les points
A\mathrm{A}A
,
B\mathrm{B}B
,
C\mathrm{C}C
 et 
D\mathrm{D}D
ne sont donc pas coplanaires.