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Orthogonalité et distances dans l'espace

 deux vecteurs dans l'espace.

Sommaire

Produit scalaire dans l'espacePropriétés du produit scalaireProduit scalaire dans une base et un repère orthonormés
Orthogonalité dans l'espaceOrthogonalité de deux vecteurs de l'espaceOrthogonalité de deux droites de l'espaceOrthogonalité d'un plan et d'une droite de l'espace
Vecteur normal à un plan☛ Justifier qu'un vecteur est normal à un planPosition relative d'une droite et d'un plan☛ Étudier la position relative d'une droite et d'un planPosition relative de deux plans
Projeté orthogonal d'un pointProjeté orthogonal d'un point sur une droiteProjeté orthogonal d'un point sur un planCaractérisation scalaire d'un plan de l'espace
Distances dans l'espaceDistances dans un repère orthonorméSphèrePlan médiateur d'un segment

Produit scalaire dans l'espace

Définition
Soit 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
 deux vecteurs dans l'espace.
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points de l'espace tels que 
u→=AB→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}u=AB
 et 
v→=AC→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}v=AC
.
Le produit scalaire de 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
, noté 
u→⋅v→\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}u⋅v
, est défini comme le produit scalaire 
AB→⋅AC→\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}AB⋅AC
 dans un plan contenant les trois points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
.
Remarques
    • Le produit scalaire
u→⋅v→\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}u⋅v
est bien défini car il ne dépend pas des représentants des vecteurs
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
et
AC→\overrightarrow{\text A\text C}AC
.
    • Toutes les propriétés du produit scalaire vues dans le plan sont ainsi prolongées à l'espace.
Propriété
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points de l'espace, tels que
B\text BB
et
C\text CC
sont distincts de 
A\text AA
.
Soit
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
des vecteurs de l'espace tels que 
u→=AB→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}u=AB
 et 
v→=AC→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}v=AC
.
Alors on a :
u→⋅v→=∣∣u→∣∣×∣∣v→∣∣×cos⁡(BAC^)=AB×AC×cos⁡(BAC^)\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})= \text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})}u⋅v=∣∣u∣∣×∣∣v∣∣×cos(BAC)=AB×AC×cos(BAC)​
Soit
H\text HH
 le projeté orthogonal du point
C\text CC
sur la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
. 
Remarque 1
Soit
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points alignés de l'espace, alors :
    • si 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
AC→\overrightarrow{\text A\text C}AC
 sont demême sens, on a : 
AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \text A\text B \times \text A\text CAB⋅AC=AB×AC
.
    • si
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
AC→\overrightarrow{\text A\text C}AC
 sont desens contraire, on a :
AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = -\text A\text B \times \text A\text CAB⋅AC=−AB×AC
.
Remarque 2
Soit
u→\overrightarrow{u}u
un vecteur de l'espace. On a 
u→⋅u→=u→2=∣∣u→∣∣2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 = ||\overrightarrow{u}||^2u⋅u=u2=∣∣u∣∣2
. 
u→⋅u→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}u⋅u
  est appelécarré scalairedu vecteur
u→\overrightarrow{u}u
.

Propriétés du produit scalaire

Propriété
Pour tous vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
, 
v→\overrightarrow{v}v
, 
w→\overrightarrow{w}w
de l'espace et tout réel
aaa
, on a :
u→⋅v→=v→⋅u→\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}u⋅v=v⋅u
 (symétrie)
u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w
et
u→⋅(av→)=a(u→⋅v→)\overrightarrow{u}\cdot (a\overrightarrow{v}) = a (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})u⋅(av)=a(u⋅v)
 (bilinéarité)
(u→+v→)2=u→2+2u→⋅v→+v→2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2(u+v)2=u2+2u⋅v+v2
(u→−v→)2=u→2−2u→⋅v→+v→2(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2(u−v)2=u2−2u⋅v+v2
(u→+v→)(u→−v→)=u→2−v→2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2(u+v)(u−v)=u2−v2
PropriétéFormules de polarisation
Pour tous vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
de l'espace, on a :
u→⋅v→=12(∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2)\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)u⋅v=21​(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2)
u→⋅v→=12(∣∣u→∣∣2+∣∣v→∣∣2−∣∣v→−u→∣∣2)\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2\right)u⋅v=21​(∣∣u∣∣2+∣∣v∣∣2−∣∣v−u∣∣2)
u→⋅v→=14(∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→−v→∣∣2)\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 14\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)u⋅v=41​(∣∣u+v∣∣2−∣∣u−v∣∣2)
Démonstration
Soit
u→\overrightarrow{u}u
et
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs de l'espace. On a :
∣∣u→+v→∣∣2=(u→+v→)2=(u→+v→)⋅(u→+v→)||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})∣∣u+v∣∣2=(u+v)2=(u+v)⋅(u+v)
∣∣u→+v→∣∣2=u→⋅u→+u→⋅v→+v→⋅u→+v→⋅v→||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}∣∣u+v∣∣2=u⋅u+u⋅v+v⋅u+v⋅v
∣∣u→+v→∣∣2=∣∣u→∣∣2+2u→⋅v→+∣∣v→∣∣2||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2∣∣u+v∣∣2=∣∣u∣∣2+2u⋅v+∣∣v∣∣2
D'où : 
2u→⋅v→=∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣22\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^22u⋅v=∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2
.
    • En développant de la même façon, on a : 
∣∣v→−u→∣∣2=∣∣v→∣∣2−2u→⋅v→+∣∣u→∣∣2||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{v}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{u}||^2∣∣v−u∣∣2=∣∣v∣∣2−2u⋅v+∣∣u∣∣2
.D'où : 
2u→⋅v→=∣∣v→∣∣2+∣∣u→∣∣2−∣∣v→−u→∣∣22\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^22u⋅v=∣∣v∣∣2+∣∣u∣∣2−∣∣v−u∣∣2
.
∣∣u→+v→∣∣2=∣∣u→∣∣2+2u→⋅v→+∣∣v→∣∣2||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2∣∣u+v∣∣2=∣∣u∣∣2+2u⋅v+∣∣v∣∣2
 et 
∣∣u→−v→∣∣2=∣∣u→∣∣2−2u→⋅v→+∣∣v→∣∣2||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2∣∣u−v∣∣2=∣∣u∣∣2−2u⋅v+∣∣v∣∣2
.On soustrait membre à membre ces deux égalités.
Remarque
Dans un triangle
ABC\text A\text B\text CABC
, si on connaît les longueurs des trois côtés, on peut calculer le produit scalaire entre deux vecteurs issus d'un même sommet : 
AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\boxed{\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \dfrac12\left(\text A\text B^2+\text A\text C^2-\text B\text C^2\right)}AB⋅AC=21​(AB2+AC2−BC2)​
.

Produit scalaire dans une base et un repère orthonormés

Définition
    • On appelle base orthonormée de l'espace toute base 
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espacetelle que les vecteurs
i→\overrightarrow{i}i
,\(\overrightarrow{j}\)et 
k→\overrightarrow{k}k
sont deux à deux orthogonaux et\(||\overrightarrow{i}|| = ||\overrightarrow{j}|| = ||\overrightarrow{k}|| = 1\).
    • Un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
de l'espace est dit orthonormési la base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
est orthonormée.
Propriété
Soit
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
un repère orthonormé de l'espace. Soit \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y \\z \\ \end{pmatrix}\) et 
v→(x′y′z′)\displaystyle\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \\z' \\ \end{pmatrix}v​x′y′z′​​
deux vecteurs. Alors on a : 
u→⋅v→=xx′+yy′+zz′\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =xx'+yy'+zz'}u⋅v=xx′+yy′+zz′​
.
En particulier :
∣∣u→∣∣=x2+y2+z2||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}∣∣u∣∣=x2+y2+z2​
.
Démonstration
D'après une formule de polarisation, on a 
u→⋅v→=12(∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2)\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)u⋅v=21​(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2)
.
Or 
u→+v→(x+x′y+y′z+z′)\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \\z +z'\\ \end{pmatrix}u+v​x+x′y+y′z+z′​​
, donc 
∣∣u→+v→∣∣2=(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2∣∣u+v∣∣2=(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2
.
De plus, 
∣∣u→∣∣2=x2+y2+z2||\overrightarrow{u}||^2 = x^2+y^2+z^2∣∣u∣∣2=x2+y2+z2
 et, de même, 
∣∣v→∣∣2=x′2+y′2+z′2||\overrightarrow{v}||^2 = x'^2+y'^2+z'^2∣∣v∣∣2=x′2+y′2+z′2
.
Alors 
∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2==(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−(x2+y2+z2)−(x′2+y′2+z′2)||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2==(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−(x2+y2+z2)−(x′2+y′2+z′2)
D'où 
∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2==(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2=x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2+z2+2zz′+z′2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2=2xx′+2yy′+2zz′=2(xx′+yy′+zz′)||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 =\\ = (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2\\= 2xx'+2yy'+2zz'\\= 2(xx'+yy'+zz')∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2==(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2=x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2+z2+2zz′+z′2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2=2xx′+2yy′+2zz′=2(xx′+yy′+zz′)
D'où 
u→⋅v→=12(2(xx′+yy′+zz′))=xx′+yy′+zz′\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(2(xx'+yy'+zz')\right) = xx'+yy'+zz'u⋅v=21​(2(xx′+yy′+zz′))=xx′+yy′+zz′
.
Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points
A(−1 ; 2 ;−4)\text A(-1~;~2~;-4)A(−1 ; 2 ;−4)
, 
B(−3 ; 6 ; 5)\text B(-3~;~6~;~5)B(−3 ; 6 ; 5)
et
C(1 ; 1 ;−1)\text C(1~;~1~;-1)C(1 ; 1 ;−1)
. Calculer le produit scalaire
AB→⋅AC→\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}AB⋅AC
.
Solution
On a 
AB→(−249)\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} -2\\ 4 \\9 \\ \end{pmatrix}AB​−249​​
 et 
AC→(2−13)\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \\ \end{pmatrix}AC​2−13​​
donc 
AB→⋅AC→=−2×2+4×(−1)+9×3=−4−4+27=19\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = -2\times 2+4\times (-1)+9 \times 3=-4-4+27=19AB⋅AC=−2×2+4×(−1)+9×3=−4−4+27=19
.

Orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité de deux vecteurs de l'espace

Définition
    • Soit
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
deux vecteurs non nuls de l'espace.Soit
A\text AA
 un point de l'espace. Soit
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
 les droites de l'espace passant par\(\text A\)et de vecteurs directeurs respectifs
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
.Les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
sont dits orthogonaux si les droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
sont perpendiculaires.
    • Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
Propriété
Deux vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
de l'espace sont orthogonaux si et seulement si
u→⋅v→=0\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0}u⋅v=0​
.
Démonstration
Soit
u→\overrightarrow uu
et 
v→\overrightarrow vv
deux vecteurs de l'espace. On note
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
trois points tels que
u→=AB→\overrightarrow u = \overrightarrow{\mathrm{AB}}u=AB
et
v→=BC→\overrightarrow v = \overrightarrow{\mathrm{BC}}v=BC
. Alors 
AC→=u→+v→\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow u + \overrightarrow vAC=u+v
.
    • On suppose
u→\overrightarrow uu
et 
v→\overrightarrow vv
orthogonaux. 
Alors, le triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
est rectangle en
B\text BB
.
Donc, par le théorème de Pythagore,
AC2=AB2+BC2\mathrm{AC^2=AB^2+BC^2}AC2=AB2+BC2
, soit
∣∣u→+v→∣∣2=∣∣u→∣∣2+∣∣v→∣∣2||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2∣∣u+v∣∣2=∣∣u∣∣2+∣∣v∣∣2
.
Cette égalité équivaut à 
∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2=0||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2=0
. 
Donc, d'après une identité de polarisation,
u→⋅v→=12(∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2)=12×0=0\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) = \dfrac12 \times 0 = 0u⋅v=21​(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2)=21​×0=0
.
    • Réciproquement, d'après une identité de polarisation, dire que
u→⋅v→=0\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =0u⋅v=0
 signifie que
12(∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2)=0\dfrac12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) =021​(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2)=0
, soit
∣∣u→+v→∣∣2−∣∣u→∣∣2−∣∣v→∣∣2=0||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2=0
, soit 
∣∣u→+v→∣∣2=∣∣u→∣∣2+∣∣v→∣∣2||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2∣∣u+v∣∣2=∣∣u∣∣2+∣∣v∣∣2
.C'est l'écriture vectorielle de la relation de Pythagore. Donc, par la réciproque du théorème de Pythagore, avec les notations ci-dessus, le triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
est rectangle en
B\text BB
, donc les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
sont orthogonaux.

Orthogonalité de deux droites de l'espace

Définitions
    • Soit 
d1d_1d1​
une droite de l'espace de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
et
d2d_2d2​
une droite de l'espace de vecteur directeur 
v→\overrightarrow{v}v
. Les droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
sont ditesorthogonalessi
u→\overrightarrow{u}u
et 
v→\overrightarrow{v}v
sont orthogonaux.
    • Deux droites de l'espace sontperpendiculaireslorsqu'elles sont orthogonales et sécantes.
Remarque
Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales. La réciproque est fausse.
Propriété
Deux droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
de l'espace sont orthogonales si et seulement s'il existe une droite
ddd
parallèle à
d1d_1d1​
et perpendiculaire à 
d2d_2d2​
.
Exemple
Soit 
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
 le cube suivant.
    • Les droites
(EF)\mathrm{(EF)}(EF)
et
(FG)\mathrm{(FG)}(FG)
sont perpendiculaires.
    • Les droites
(AD)\mathrm{(AD)}(AD)
et
(EF)\mathrm{(EF)}(EF)
sont orthogonales. En effet,
(AD)/ ⁣/(FG)\mathrm{(AD)/\!/(FG)}(AD)//(FG)
et
(EF)⊥(FG)\mathrm{(EF)\perp (FG)}(EF)⊥(FG)
.
Propriétés
  • Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors toute droite de l'espace orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
  • Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite de l'espace parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.

Orthogonalité d'un plan et d'une droite de l'espace

Définition
Une droite de l'espace estorthogonaleà un plan lorsqu'elle est orthogonale àtoutes les droitesdu plan.
Propriété
Une droite de l'espace estorthogonale à un plansi et seulement si elle est orthogonale àdeux droites sécantes du plan.
Remarque
Une droiteorthogonaleà un plan lui est toujours sécante, alors on peut dire que la droite estperpendiculaireau plan.
Exemple
Soit le cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
.
    • La droite
(GC)\mathrm{(GC)}(GC)
est perpendiculaire à la droite
(DC)\mathrm{(DC)}(DC)
et à la droite
(BC)\mathrm{(BC)}(BC)
.Comme
(DC)\mathrm{(DC)}(DC)
et
(BC)\mathrm{(BC)}(BC)
sont deux droites sécantes du plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
, alors la droite
(GC)\mathrm{(GC)}(GC)
est orthogonale au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.
    • La droite
(GC)\mathrm{(GC)}(GC)
est orthogonale au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
. Elle est donc, en particulier, orthogonale à la droite 
(BD)\mathrm{(BD)}(BD)
.
Propriétés
  • Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
  • Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
  • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux.
Propriété
Soit\(d\)une droite de l'espace de vecteur directeur\(\overrightarrow{u}\) et 
PPP
un plan dirigé par lesvecteurs
v→\overrightarrow{v}v
et
w→\overrightarrow{w}w
. La droite\(d\)et le plan
PPP
sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à la fois à\(\overrightarrow{v}\) et à\(\overrightarrow{w}\).

Vecteur normal à un plan

Définition
Un vecteur 
n→\overrightarrow{n}n
non nul de l'espace estnormalà un plan
PPP
si 
n→\overrightarrow{n}n
est un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan 
PPP
.
Propriété
Soit un plan
PPP
de base
(u→,v→)( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})(u,v)
. Un vecteur
n→\overrightarrow{n}n
non nul de l'espace est normal à ce plan s'il est orthogonal à la fois à
u→\overrightarrow{u}u
et à
v→\overrightarrow{v}v
.
Démonstration
Soit
(u→,v→)( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})(u,v)
une base de
PPP
. 
Dire que le vecteur
n→\overrightarrow{n}n
est un vecteur non nul normal à 
PPP
signifie que
n→\overrightarrow{n}n
est un vecteur directeur d'une droite\(d\)orthogonale au plan
PPP
.
Or
n→\overrightarrow{n}n
est un vecteur directeur d'une droite\(d\)orthogonale au plan
PPP
si et seulement si
n→\overrightarrow{n}n
 est orthogonal à la fois à\(\overrightarrow{v}\) et à\(\overrightarrow{w}\).
Remarques
    • Si 
n→\overrightarrow{n}n
est un vecteur normal à un plan
PPP
et si
n′→\overrightarrow{n'}n′
est un vecteur non nul colinéaire à 
n→\overrightarrow{n}n
, alors 
n′→\overrightarrow{n'}n′
 est aussi un vecteur normal au plan 
PPP
​​​​.
    • Si
n→\overrightarrow{n}n
et 
n′→\overrightarrow{n'}n′
sont des vecteurs normaux à un même plan
PPP
, alors
n→\overrightarrow{n}n
et
n′→\overrightarrow{n'}n′
 sont colinéaires.

☛ Justifier qu'un vecteur est normal à un plan

Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace, soit
A(−1 ;−2 ; 3)\text A(-1~;-2~;~3)A(−1 ;−2 ; 3)
,
B(1 ;−2 ; 7)\text B(1~;-2~;~7)B(1 ;−2 ; 7)
et
C(1 ; 0 ; 2)\text C(1~;~0~;~2)C(1 ; 0 ; 2)
trois points. On admet que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
forment un plan. 
Soit
n→(−4 ; 5 ; 2)\overrightarrow{n}(-4~;~5~;~2)n(−4 ; 5 ; 2)
un vecteur de l'espace. Justifier que 
n→\overrightarrow{n}n
est normal au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.
Solution
On a 
AB→(204)\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}AB​204​​
 et 
AC→(22−1)\mathrm{\overrightarrow{AC}} \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}AC​22−1​​
 deux vecteurs du plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
qui sont non colinéaires.
Alors 
n→⋅AB→=−4×2+5×0+2×4=−8+0+8=0\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}} = -4\times 2+5\times 0+2\times 4=-8+0+8=0n⋅AB=−4×2+5×0+2×4=−8+0+8=0
 et 
n→⋅AC→=−4×2+5×2+2×(−1)=−8+10−2=−10+10=0\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AC}} = -4\times 2+5\times 2+2\times (-1)=-8+10-2=-10+10=0n⋅AC=−4×2+5×2+2×(−1)=−8+10−2=−10+10=0
.
Conclusion: 
n→\overrightarrow{n}n
 est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.

Position relative d'une droite et d'un plan

Propriété
Soit
ddd
une droite de l'espace de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
Soit
PPP
un plan de l'espace de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.
La droite
ddd
estparallèleau plan
PPP
 si et seulement si
n→\overrightarrow{n}n
et
u→\overrightarrow{u}u
sont orthogonaux, c'est-à-dire 
n→⋅u→=0\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0}n⋅u=0​
.
Remarque 1
Si
n→\overrightarrow nn
et
u→\overrightarrow{u}u
sont orthogonaux, alors la droite
ddd
est soit strictement parallèle au plan
PPP
, soit incluse dans le plan
PPP
.
Remarque 2
Soit
ddd
une droite de l'espace de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
Soit
PPP
un plan de l'espace de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.
La droite
ddd
estsécanteavec le plan
PPP
si et seulement si
n→\overrightarrow{n}n
et
u→\overrightarrow{u}u
 ne sont pas orthogonaux, c'est-à-dire 
n→⋅u→≠0\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}\neq 0}n⋅u=0​
.
Cas particulier
Soit
ddd
une droite de l'espace de vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
.
Soit
PPP
un plan de l'espace de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.
La droite
ddd
estorthogonaleau plan
PPP
si et seulement si 
n→\overrightarrow{n}n
et
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires.

☛ Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

 Énoncé
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
1.Soit 
ddd
une droite dirigée par 
u→(23−3)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -3 \\ \end{pmatrix}u​23−3​​
 et
PPP
un plan de vecteur normal 
n→(−31−1)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}-3\\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}n​−31−1​​
.
Étudier la position relative de
ddd
et
PPP
.
2.Soit 
ddd
une droite dirigée par 
u→(53−1)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}u​53−1​​
 et
PPP
un plan de vecteur normal 
n→(1−20)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \\ \end{pmatrix}n​1−20​​
.
Étudier la position relative de
ddd
et
PPP
.
3.Soit 
ddd
une droite dirigée par 
u→(46−2)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}4\\6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}u​46−2​​
 et
PPP
un plan de vecteur normal 
n→(−2−31)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\ -3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}n​−2−31​​
.
Étudier la position relative de
ddd
et
PPP
.
Solution
1.
n→⋅u→=2×(−3)+3×1+(−3)×(−1)=−6+3+3=0\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=2\times (-3)+3\times 1+(-3)\times (-1)=-6+3+3=0n⋅u=2×(−3)+3×1+(−3)×(−1)=−6+3+3=0
.
Donc
ddd
est parallèle à
PPP
.
2.
n→⋅u→=5×1+3×(−2)+(−1)×0=5−6+0=−1≠0\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u} = 5\times1+3\times (-2)+(-1)\times 0=5-6+0=-1\neq 0n⋅u=5×1+3×(−2)+(−1)×0=5−6+0=−1=0
.
Donc 
ddd
 et 
PPP
 sont sécants.
3.
u→=−2n→\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{n}u=−2n
, donc 
n→\overrightarrow{n}n
 et 
u→\overrightarrow{u}u
 sont colinéaires :
ddd
est donc orthogonale à
PPP
.

Position relative de deux plans

Propriété
Soit 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
deux plans de l'espace de vecteurs normauxrespectifs
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
.
Les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont parallèles si et seulement si
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
sont colinéaires.
Remarque
Soit 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
deux plans de l'espace de vecteurs normaux respectifs
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
.
Les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont sécants selon une droite
ddd
lorsque
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
ne sont pas colinéaires.
Définition
Soit 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
deux plans de l'espace de vecteurs normaux respectifs
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
.
On dit que les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sontperpendiculaireslorsque
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
est orthogonal à
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
.

Projeté orthogonal d'un point

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

 Propriété
Soit
A\text AA
un point de l'espace et
ddd
une droite de l'espace. Il existe un unique plan passant par
A\text AA
et orthogonal à
ddd
. La droite
ddd
est alors sécante à ce plan.Définition
Soit
A\text AA
un point de l'espace et
ddd
une droite de l'espace. Leprojeté orthogonaldu point
A\text AA
sur la droite
ddd
est le point
H\text HH
appartenant à la droite
ddd
et tel que la droite
(AH)(\text A\text H)(AH)
est orthogonale à la droite
ddd
.

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Propriété
Soit
A\text AA
un point de l'espace et
PPP
un plan de l'espace. Il existe une unique droite passant par
A\text AA
et orthogonale à
PPP
. Le plan
PPP
  est alors sécant à cette droite.
Définition
Soit
A\text AA
un point de l'espace et
PPP
un plan de l'espace.
Leprojeté orthogonaldu point
A\text AA
sur le plan
PPP
est le point
H\text HH
appartenant au plan
PPP
et tel que la droite
(AH)(\text A\text H)(AH)
est orthogonale au plan
PPP
.

Caractérisation scalaire d'un plan de l'espace

Propriété
Soit
A\text AA
un point de l'espace et
n→\overrightarrow{n}n
un vecteur non nul de l'espace.
1.Il existe un unique plan passant par
A\text AA
et de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.
2.Ce plan est l'ensemble des points
M\text MM
de l'espace tels que
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
.
Démonstration
1. ExistenceSoit\(\overrightarrow{n}\)un vecteur de l'espace. On admet l'existence de deux vecteurs
u→\overrightarrow uu
et
v→\overrightarrow vv
tels que
(u→,v→,n→)\left(\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow n\right)(u,v,n)
soit une base orthogonale de l'espace. Les vecteurs\(\overrightarrow u\)et\(\overrightarrow v\)ne sont pas colinéaires, et sont tous les deux orthogonaux à\(\overrightarrow{n}\). Le plan
PPP
passant par
A\text AA
et dirigé par\(\overrightarrow u\)et\(\overrightarrow v\)convient.
UnicitéSoit un autre plan\(P_1\) passant par\(\text A\)et de vecteur normal\(\overrightarrow{n}\). Alors la droite passant par \(\text A\)et dirigée par\(\overrightarrow{n}\)est orthogonale à la fois à\(P\)et à\(P_1\). Donc les plans sont parallèles entre eux. Or ils passent pas un même point \(\text A\), ils sont donc confondus.
2. Démonstration du second point
    • Soit
M\text MM
un point du plan
PPP
passant par
A\text AA
et de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.Alors le vecteur 
AM→\overrightarrow{\text A\text M}AM
 est un vecteur de la direction du plan
PPP
.Donc ce vecteur est orthogonal au vecteur
n→\overrightarrow{n}n
. Alors
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
.
    • Soit le plan
PPP
passant par
A\text AA
et de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.Soit
M\text MM
un point de l'espace qui vérifie 
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
. Montrons que 
M∈P\text M \in PM∈P
.Soit
H\text HH
 le projeté orthogonal de 
M\text MM
 sur la droite
ddd
passant par
A\text AA
et dirigée par 
n→\overrightarrow{n}n
.Alors 
AM→⋅n→=AH→⋅n→\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}AM⋅n=AH⋅n
. Or 
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
, donc 
AH→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=0AH⋅n=0
.Comme
A\text AA
et
H\text HH
sont des points de
ddd
, alors 
AH→\overrightarrow{\text A\text H}AH
 et 
n→\overrightarrow{n}n
 sont colinéaires, donc 
0=AH→⋅n→=∣AH∣×∣∣n→∣∣0=\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=|\text A\text H| \times ||\overrightarrow{n}||0=AH⋅n=∣AH∣×∣∣n∣∣
. Mais 
n→\overrightarrow{n}n
 est un vecteur non nul, donc sa norme n'est pas nulle. Donc cela implique que 
∣AH∣=0|\text A\text H|=0∣AH∣=0
. Cela signifie que
A=H\text A=\text HA=H
.Ainsi le projeté orthogonal de 
M\text MM
 sur
ddd
 est le point
A\text AA
, donc
M\text MM
appartient à 
PPP
.

Distances dans l'espace

Distances dans un repère orthonormé

Propriété
Soit un repère orthonormé de l'espace
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit\(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)et \(\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)\) deux points de l'espace.
Alors, on a : \(\boxed{\mathrm{AB} = \sqrt{(x_\text A-x_\text B)^2+(y_\text A-y_\text B)^2+(z_\text A-z_\text B)^2}}\).

Sphère

Définition
Soit
Ω\OmegaΩ
un point de l'espace et 
rrr
un réel positif. On appellesphèrede centre 
Ω\OmegaΩ
 et de rayon 
rrr
 l'ensemble des points
M\text MM
de l'espace tels que 
ΩM=r\Omega \text M = rΩM=r
.
 Remarque
Si 
r=0r=0r=0
, alors la sphère est réduite au seul point 
Ω\OmegaΩ
.
Propriété
On se place dans un repère orthonormé de l'espace.
Soit 
Ω(x0 ; y0 ; z0)\Omega(x_0~;~y_0~;~z_0)Ω(x0​ ; y0​ ; z0​)
 un point de l'espace et 
rrr
 un nombre réel positif.
On considère la sphère
SSS
de centre 
Ω\OmegaΩ
 et de rayon 
rrr
.
Alors, on a : 
M(x ; y ; z)∈S⇔(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}M(x ; y ; z)∈S⇔(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2=r2​
.
Cette égalité est appelée une « équation cartésienne » de la sphère
SSS
.
Démonstration
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
un point de l'espace.
Le vecteur 
ΩM→\overrightarrow{\Omega\text M}ΩM
 a pour coordonnées 
(x−x0y−y0z−z0)\begin{pmatrix} x-x_0\\y-y_0 \\z-z_0 \\ \end{pmatrix}​x−x0​y−y0​z−z0​​​
, donc sa norme est donnée par 
ΩM=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2\Omega\text M = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}ΩM=(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2​
.
Or  
ΩM=r⇔ΩM2=r2\Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2ΩM=r⇔ΩM2=r2
.
D'où :
M(x ; y ; z)∈S⇔ΩM=r⇔ΩM2=r2⇔(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2 \Leftrightarrow\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}M(x ; y ; z)∈S⇔ΩM=r⇔ΩM2=r2⇔(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2=r2​
Exemple 1
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère la sphère
SSS
de centre 
A(−1 ; 2 ; 0)\text A(-1~;~2~;~0)A(−1 ; 2 ; 0)
 et de rayon 
333
.
On a : 
M(x ; y ; z)∈S⇔(x+1)2+(y−2)2+z2=9\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9}M(x ; y ; z)∈S⇔(x+1)2+(y−2)2+z2=9​
.
C'est une équation cartésienne de la sphère
SSS
.
Exemple 2
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère l'ensemble des points 
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
 de l'espace tels que 
(x−2)2+y2+(z+3)2=25(x-2)^2+y^2+(z+3)^2=25(x−2)2+y2+(z+3)2=25
.
Cet ensemble est la sphère de centre 
A(2 ; 0 ;−3)\text A(2~;~0~;-3)A(2 ; 0 ;−3)
 et de rayon 
r=5r=5r=5
.

Plan médiateur d'un segment

Définition
Soit
A\text AA
et
B\text BB
deux points distincts de l'espace.
On appelleplan médiateurdu segment
[AB][\text A\text B][AB]
 le plan passant par le milieu
I\text II
 du segment 
[AB][\text A\text B][AB]
et perpendiculaire à la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Propriété
Soit
A\text AA
et
B\text BB
deux points de l'espace.
    • Le plan médiateur du segment
[AB][\text A\text B][AB]
a pour vecteur normal 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
.
    • Le plan médiateur du segment
[AB][\text A\text B][AB]
est l'ensemble des points
M\text MM
de l'espace équidistants des points
A\text AA
et
B\text BB
, c'est-à-dire tels que
AM=BM\mathrm{AM=BM}AM=BM
.