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1.Calculer le produit scalaire 

Sommaire

* Produit scalaire et orthogonalité☛ * Recherche d'un vecteur normal à un plan* Sphère
** Volume d'un tétraèdre (1)** Volume d'un tétraèdre (2)☛ ** Distances dans l'espace☛ ** Sphère
*** Aire d'un triangle*** Projeté d'un point sur un plan ?

* Produit scalaire et orthogonalité

Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube d'arête
111
.
1.Calculer le produit scalaire 
DF→⋅BG→\mathrm{\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BG}}DF⋅BG
.
2. Que déduit-on pour les droites 
(DF)\mathrm{(DF)}(DF)
 et 
(BG)\mathrm{(BG)}(BG)
 ?

☛ * Recherche d'un vecteur normal à un plan

Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. Soit 
u→(−212)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2\end{pmatrix}u​−212​​
 et 
v→(53−1)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5\\ 3 \\ -1\end{pmatrix}v​53−1​​
deux vecteurs de l'espace.
1. Justifier que les deux vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer alors les coordonnées d'un vecteur 
n→\overrightarrow{n}n
 non nul, orthogonal aux deux vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
.
Solution
1. Les produits en croix 
(-2)\times 3= -6
 et 
5×1=55\times 1=55×1=5
 sont différents.
Donc les vecteurs 
u→\overrightarrow{u}u
 et 
v→\overrightarrow{v}v
ne sont pas colinéaires.
2. On cherche 
n→(a ; b ; c)\overrightarrow{n}(a~;~b~;~c)n(a ; b ; c)
 tel que 
n→⋅u→=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}=0n⋅u=0
 et 
n→⋅v→=0\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0n⋅v=0
.
On résout le système : 
{−2a+b+2c=05a+3b−c=0\begin{cases} -2a+b+2c=0 \\ 5a+3b-c=0 \\ \end{cases}{−2a+b+2c=05a+3b−c=0​
.
On décide que le paramètre sera
aaa
et on résout le système
 : 
{b+2c=2a3b−c=−5a\begin{cases} b+2c=2a \\ 3b-c=-5a \\ \end{cases}{b+2c=2a3b−c=−5a​
, d'inconnues
bbb
et
ccc
.
En procédant par combinaison, on obtient :
7b=−8a7b=-8a7b=−8a
soit 
b=−87ab=-\dfrac87ab=−78​a
.
On remplace cette valeur dans l'une des deux équations et on obtient : 
c=117ac=\dfrac{11}{7}ac=711​a
.
On vérifie que ce couple est bien solution du système.
Les coordonnées de 
n→\overrightarrow{n}n
 s'écrivent : 
n→(a−87a117a)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ -\dfrac 87a \\ \dfrac{11}{7}a\end{pmatrix}n​a−78​a711​a​​
 avec 
a∈Ra\in\mathbb Ra∈R
.
Le vecteur 
n→\overrightarrow{n}n
 doit être non nul, donc on doit choisir 
a≠0a\neq 0a=0
.
On prend, par exemple, 
a=7a=7a=7
. On a donc 
n→(7−811)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 7\\ -8 \\ 11\end{pmatrix}n​7−811​​
.

* Sphère

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne les points 
A(2 ; 3 ;−1)\text A(2~;~3~;-1)A(2 ; 3 ;−1)
,
B(2 ; 8 ;−1)\text B(2~;~8~;-1)B(2 ; 8 ;−1)
, 
C(7 ;3 ;−1)\text C(7~;3~;-1)C(7 ;3 ;−1)
et
D(2 ;−1 ; 2)\text D(2~;-1~;~2)D(2 ;−1 ; 2)
.
Démontrer que les points
B\text BB
,
C\text CC
et
D\text DD
sont sur une même sphère de centre
A\text AA
.

** Volume d'un tétraèdre (1)

Une unité de longueur étant choisie dans l'espace,
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
est un parallélépipède rectangle tel que
CD=HD=1\mathrm{CD=HD=1}CD=HD=1
et
BC=2\mathrm{BC=2}BC=2
.
I\text II
est le milieu de l'arête
[AD]\mathrm{[AD]}[AD]
.
L'espace est muni du repère orthonormé
(A ;AB→,AI→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AI,AE)
.
1.Quelles sont les coordonnées des points
E\text EE
,
H\text HH
et
G\text GG
 ?
2. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :
V=Aire de la base×hauteur3\mathcal V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur} }{3}V=3Aire de la base×hauteur​
.
Démontrer que le volume
V\mathcal VV
du tétraèdre
GIFH\mathrm{GIFH}GIFH
est égal à
13\dfrac1331​
.
3.Démontrer que le triangle
FIH\mathrm{FIH}FIH
est rectangle en
I\text II
.
4.En exprimant le volume
V\mathcal VV
d'une autre manière, calculer la distance du point
G\text GG
au plan
FIH\mathrm{FIH}FIH
.

** Volume d'un tétraèdre (2)

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On considère les points 
A(−1 ;−1 ; 0)\text A(-1~;-1~;~0)A(−1 ;−1 ; 0)
,
B(6 ;−5 ; 1)\text B(6~;-5~;~1)B(6 ;−5 ; 1)
,
C(1 ; 2 ;−2)\text C(1~;~2~;-2)C(1 ; 2 ;−2)
et
S(13 ; 37 ; 54)\text S(13~;~37~;~54)S(13 ; 37 ; 54)
.
1. Justifier que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
définissent bien un plan.
2. a.Déterminer la nature du triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
.
    b.Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
est, en unités d'aire,
1 1222\dfrac{\sqrt{1\,122}}{2}21122​​
.
3. Prouver que les points
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
S\text SS
ne sont pas coplanaires.
4.On admet que le projeté orthogonal de
S\text SS
sur le plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
est le point
H(3 ; 5 ;−4)\text H(3~;~5~;-4)H(3 ; 5 ;−4)
. 
Déterminer le volume du tétraèdre
SABC\mathrm{SABC}SABC
.

☛ ** Distances dans l'espace

Énoncé
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube.
Soit
I\mathrm{I}I
et 
J\mathrm{J}J
les milieux respectifs des segments
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
 et 
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
.
On se place dans le repère orthonormé
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
.
1.Déterminer les coordonnées des points
I\mathrm{I}I
,
J\mathrm{J}J
et
F\mathrm{F}F
.
2.En déduire les coordonnées des vecteurs 
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
, 
FI→\mathrm{\overrightarrow{FI}}FI
 et 
FJ→\mathrm{\overrightarrow{FJ}}FJ
.
3.Calculer les longueurs
IJ\mathrm{IJ}IJ
,
FI\mathrm{FI}FI
et
FJ\mathrm{FJ}FJ
. Quelle est la nature du triangle
FIJ\mathrm{FIJ}FIJ
?
4.Calculer les coordonnées du point 
K\mathrm{K}K
, milieu du segment
[IJ]\mathrm{[IJ]}[IJ]
. En déduire l'aire du triangle
FIJ\mathrm{FIJ}FIJ
.
Solution
1.
I(12 ; 0 ; 0)\mathrm{I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)}I(21​ ; 0 ; 0)
, 
J(1 ; 12 ; 0)\mathrm{J\left(1~;~\dfrac12~;~0\right)}J(1 ; 21​ ; 0)
, 
F(0 ; 1 ; 1)\mathrm{F(0~;~1~;~1)}F(0 ; 1 ; 1)
.
2.
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
 a pour coordonnées 
(1−1212−00−0)\begin{pmatrix} 1-\dfrac12 \\ \dfrac12-0 \\ 0-0 \\\end{pmatrix}​1−21​21​−00−0​​
soit 
(12120)\begin{pmatrix} \dfrac12\\ \dfrac12 \\ 0 \\\end{pmatrix}​21​21​0​​
.
De même, on a
FI→(12−1−1)\mathrm{\overrightarrow{FI}}\begin{pmatrix} \dfrac12\\-1\\ -1\\\end{pmatrix}FI​21​−1−1​​
et 
FJ→(1−12−1)\mathrm{\overrightarrow{FJ}}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac12\\ -1\\\end{pmatrix}FJ​1−21​−1​​
.
3.Le repère est orthonormé. 
IJ=(12)2+(12)2+02=12=12=22\mathrm{IJ=\sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}IJ=(21​)2+(21​)2+02​=21​​=2​1​=22​​
.
FI=(12)2+(−1)2+(−1)2=94=94=32\mathrm{FI=\sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac94}=\dfrac{\sqrt 9}{\sqrt 4}=\dfrac{3}{2}}FI=(21​)2+(−1)2+(−1)2​=49​​=4​9​​=23​
.
De même, on trouve 
FJ=32\mathrm{FJ=\dfrac32}FJ=23​
.
Comme 
FI=FJ\mathrm{FI=FJ}FI=FJ
, alors le triangle 
FIJ\mathrm{FIJ}FIJ
 est isocèle en
F\mathrm{F}F
.
Comme\(\mathrm{IJ}^2\neq\mathrm{FI}^2+\mathrm{FJ}^2\), le triangle 
FIJ\mathrm{FIJ}FIJ
n'est pas rectangle.
4. Soit
K\mathrm{K}K
, milieu du segment
[IJ]\mathrm{[IJ]}[IJ]
. Alors 
K(12+12 ; 0+122 ; 0+02)\mathrm{K\left(\dfrac{\frac12+1}{2}~;~\dfrac{0+\frac12}{2}~;~\dfrac{0+0}{2}\right)}K(221​+1​ ; 20+21​​ ; 20+0​)
, soit 
K(34 ; 14 ; 0)\mathrm{K\left(\dfrac34~;~\dfrac14~;~0\right)}K(43​ ; 41​ ; 0)
.
L'aire 
A\mathscr AA
du triangle
FIJ\mathrm{FIJ}FIJ
étant donnée par 
A=12×IJ×FK\mathrm{\mathscr A = \dfrac12\times IJ\times FK}A=21​×IJ×FK
.
Or, d'après la question3, 
IJ=22\mathrm{IJ=\dfrac{\sqrt 2}{2}}IJ=22​​
.
D'autre part, 
FK→(34−34−1)\mathrm{\overrightarrow{FK}}\begin{pmatrix}\dfrac34\\-\dfrac34\\ -1\\\end{pmatrix}FK​43​−43​−1​​
.
Donc on a : 
FK=(34)2+(−34)2+(−1)2=3416=178\mathrm{FK=\sqrt{\left(\dfrac34\right)^2+\left(-\dfrac34\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{34}{16}}=\sqrt{\dfrac{17}{8}}}FK=(43​)2+(−43​)2+(−1)2​=1634​​=817​​
.
D'où 
A=12×22×178=178\mathscr A = \dfrac12\times \dfrac{\sqrt 2}{2}\times \sqrt{\dfrac{17}{8}}=\dfrac{\sqrt{17}}{8}A=21​×22​​×817​​=817​​
unités d'aire.

☛ ** Sphère

Énoncé
Démontrer que l'ensemble des points 
M(x ;y ;z)\text M(x~;y~;z)M(x ;y ;z)
 tels que 
x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0
 est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.
Solution
On commence par regrouper les termes « en\(x\) », « en
yyy
 » et « en
zzz
 » .
On obtient : 
x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0⇔x2−2x+y2+8y+z2−10z=−38.x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow x^2-2x+y^2+8y+z^2-10z=-38.x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0⇔x2−2x+y2+8y+z2−10z=−38.
On utilise les deux premières identités remarquables :
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
 et 
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2
.
On en déduit : 
a2±2ab=(a±b)2−b2a^2\pm2ab=(a\pm b)^2-b^2a2±2ab=(a±b)2−b2
.
Ainsi :
x2−2x=(x−1)2−12=(x−1)2−1x^2-2x=(x-1)^2-1^2=(x-1)^2-1x2−2x=(x−1)2−12=(x−1)2−1
y2+8y=(y+4)2−42=(y+4)2−16y^2+8y=(y+4)^2-4^2=(y+4)^2-16y2+8y=(y+4)2−42=(y+4)2−16
z2−10z=(z−5)2−52=(z−5)2−25z^2-10z=(z-5)^2-5^2=(z-5)^2-25z2−10z=(z−5)2−52=(z−5)2−25
D'où :\(\small x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow \small (x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-5)^2-25=-38\).
Soit : 
x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0⇔(x−1)2+(y+4)2+(z−5)2=4x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow \boxed{(x-1)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=4}x2+y2+z2−2x+8y−10z+38=0⇔(x−1)2+(y+4)2+(z−5)2=4​
.
Conclusion: cet ensemble est la sphère
SSS
de centre 
A(1 ;−4 ; 5)\text A(1~;-4~;~5)A(1 ;−4 ; 5)
 et derayon \(r=2\).

*** Aire d'un triangle

Le cube
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}ABCDEFGH
a pour arête
111
cm.
Le point
I\text II
est le milieu du segment
[AB][\mathrm{AB}][AB]
et le point
J\text JJ
 est le milieu du segment
[CG][\mathrm{CG}][CG]
.
On se place dans le repère orthonormé
(A ;AB→,AD→,AE→)\left(\text A~;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)(A ;AB,AD,AE)
.
1.Donner les coordonnées des points 
I\text II
et
J\text JJ
.
2.Montrer que le vecteur
EJ→\overrightarrow{\mathrm{EJ}}EJ
est normal au plan 
(FHI)(\mathrm{FHI})(FHI)
.
3. On note
K\text KK
le projeté orthogonal du point 
E\text EE
 sur le plan
(FHI)(\mathrm{FHI})(FHI)
. On admet que 
K(49 ; 49 ; 79)\text K\left(\dfrac49~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right)K(94​ ; 94​ ; 97​)
. Montrer que le volume de la pyramide
EFHI\mathrm{EFHI}EFHI
est
16\dfrac1661​
cm
3{}^33
.
4.Soit
L\text LL
le milieu du segment
[EF][\mathrm{EF}][EF]
.a. Déterminer les coordonnées du point
L\text LL
.b. Justifier que ce point est le projeté orthogonal du point
I\text II
sur le plan 
(EFH)(\mathrm{EFH})(EFH)
.
    c.Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle
FHI\mathrm{FHI}FHI
.

*** Projeté d'un point sur un plan ?

On considère le pavé droit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
tel que
AB=3\mathrm{AB = 3}AB=3
et
AD=AE=1\mathrm{AD = AE = 1}AD=AE=1
représenté ci-dessous.
On considère le point
I\text II
du segment
[AB][\mathrm{AB}][AB]
tel que
AB→=3AI→\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AI}}AB=3AI
et on appelle M le milieu du segment
[CD][\mathrm{CD}][CD]
.
On se place dans le repère orthonormé
(A ;AI→,AD→,AE→)(\text A~; \overrightarrow{\mathrm{AI}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})(A ;AI,AD,AE)
.
1. a.Donner les coordonnées des points
F\text FF
,
H\text HH
et
M\text MM
.b.Justifier que les points
F\text FF
,
H\text HH
et
M\text MM
forment un plan qu'on notera
(FHM)(\mathrm{FHM})(FHM)
.
2. a.Calculer les coordonnées des vecteurs 
HF→\overrightarrow{\mathrm{HF}}HF
, 
HM→\overrightarrow{\mathrm{HM}}HM
et
FM→\overrightarrow{\mathrm{FM}}FM
.b.En déduire les distances
HF\mathrm{HF}HF
,
HM\mathrm{HM}HM
et
FM\mathrm{FM}FM
. En déduire la nature du triangle
FHM\mathrm{FHM}FHM
.
3. a.Montrer que le vecteur
n→(263)\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\6\\3\end{pmatrix}n​263​​
est un vecteur normal au plan
(FHM)(\mathrm{FHM})(FHM)
.b.Le point
R\text RR
de coordonnées
(3 ; 14 ; 12)\left(3~;~\dfrac14~;~\dfrac12\right)(3 ; 41​ ; 21​)
est-il le projeté orthogonal du point
G\text GG
sur le plan
(FHM)(\mathrm{FHM})(FHM)
? Justifier la réponse.