Propriété
Dans un repère
de l'espace, soit
un pointet \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\)un vecteur non nul.
On considère la droite
de l'espace passant par
et de vecteur directeur
.
Un point
appartient à la droite
si et seulement s'il existe un réel
tel que
.
Démonstration
Une droite est définie par un point et un vecteur directeur.
Une droite
passant par
et dirigée par un vecteur
est l'ensemble des points
de l'espace tels que
, avec
.
Dans un repère
, on note
et\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}\).
Soit
la droite passant par
et dirigée par le vecteur
.
Un point
appartient à la droite
si et seulement s'il existe un réel
tel que
si et seulements'il existe un réel
tel que
ce qui équivaut à
.
Définition
Soit
,
des réels tels que
.
Le système d'équations
, avec
, est appeléreprésentation paramétriquede la droite
passant par
et de vecteur directeur\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}\).
Remarques
• Une droite admet uneinfinitéde représentations paramétriques.
• Lorsqu'on écrit les représentations paramétriques de plusieurs droites, on utilise des paramètres différents : \(t\),
,
, etc.
☛ Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Énoncé
L'espace est muni d'un repère
.
1. Soit
la droite passant par
et de vecteur directeur
. Donner une représentation paramétrique de
.
2. Soit
la droite passant par
et
. Déterminer une représentation paramétrique de
.
Solution
1.Un point
appartient à la droite
si et seulement s'il existe un réel
tel que
.
Une représentation paramétrique de
est alors :
, avec
.
2.La droite
passe par
et a comme vecteur directeur
.
Une représentation paramétrique de
est alors :
, avec
.
Remarque
Dans cette dernière question, on aurait pu choisir le point
à la place du point
comme point de la droite
. De même, on aurait pu choisir comme vecteur directeur de ladroite
un multiple non nul du vecteur
, par exemple \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\).
✎☛ Lire les caractéristiques d'une droite à partir d'une représentation paramétrique
Méthode
On lit les coordonnées d'un point de la droite et celles d'un vecteur directeur de la droite à partir de la représentation paramétrique de la droite.
Énoncé
Préciser la nature géométrique de l'ensemble des points
tels que :\(\begin{cases} x = 2t+1 \\ y = 3t \\ z = -t-2 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\).
Solution
L'ensemble des points
vérifiant ces trois égalités est la droite passant parle point
et de vecteur directeur\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2\\3\\-1\\ \end{pmatrix}\).
✎☛ Déterminer si deux droites sont parallèles
Méthode
On utilise la propriété suivante.
Soit
,
deux droites de vecteurs directeurs respectifs
et
.Les droites\(d_1\) et\(d_2\)sont parallèles si et seulement si\(\overrightarrow{u}\)et\(\overrightarrow{v}\)sont colinéaires.
Énoncé
Le plan est muni d'un repère.
1. Soit
et
deux droites définies par leurs représentations paramétriques (avec
et
réels).
et
. Ces droites sont-elles parallèles ?
2. Soit
et
deux droites définies par leurs représentations paramétriques (avec
et
réels).
et
. Ces droites sont-elles parallèles ?
Solution
1.
est dirigée par\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3\\1\\2\\ \end{pmatrix}\),
est dirigée par \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 6\\-2\\-4\\ \end{pmatrix}\).
On constate que
, donc les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires.
Les deux droites sont donc parallèles.
2.
est dirigéepar \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3\\-1\\1\\ \end{pmatrix}\),
est dirigée par \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\ \end{pmatrix}\).
On constate que
et
. Les produits en croix sont donc différents. Les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Les deux droites ne sont donc pas parallèles.
✎ Déterminer les coordonnées de points d'une droite à partir d'une représentation paramétrique
Méthode
Pour obtenir les coordonnées de points d'une droite définie par une représentation paramétrique, on remplace
par une valeur quelconque puis on calcule les valeurs de
,
et
obtenues.
Exemple
Soit
la droite définie par la représentation paramétrique suivante.
• Le point
appartient à cette droite.
• Si on prend
, on obtient un autre point de la droite ; ses coordonnées sont :
• Si on prend
, on obtient un autre point de la droite ; ses coordonnées sont :
.
✎☛ Étudier l'appartenance d'un point à une droite
Méthode
Soit
une droite de l'espace passant par
et de vecteur directeur\(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).Dire que \(\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)\)appartient à
signifie que
et
sont colinéaires, autrement dit qu'il existe un réel
tel que
.
• Méthode directeOn regarde si les coordonnées des vecteurs
et
sont proportionnelles.
• Méthode avec une représentation paramétrique de la droiteOn remplace
,
et
par les coordonnées de
dans la représentation paramétrique de la droite puis on résout chaque équation du système.
Énoncé
La représentation paramétrique d'une droite
est :
.
1.Le point
appartient-il à
?
2.Le point
appartient-il à
?
Solution
On dispose d'une représentation paramétrique de la droite
.
1.On remplace
,
et
par les coordonnées du point
puis on résout
ce qui donne :
.
On n'obtient pas la même valeur de
pour les trois équations, donc
.
2.On remplace
,
et
par les coordonnées du point
à la place de
,
et
puis on résout
ce qui donne :
.
On obtient la même valeur de
pour les trois équations, donc
.
✎☛ Déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes
Remarque
Dans l'espace, prouver que deux droites sont sécantes ne revient pas à prouver qu'elles ne sont pas parallèles. Ce raisonnement est valable dans le plan, mais il ne l'est pas dans l'espace. En effet, deux droites de l'espace non parallèles peuvent être non coplanaires.
Méthode
Pour déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes, on examine si elles ont un unique point d'intersection : les coordonnées de leur éventuel point d'intersection vérifient les représentations paramétriques des deux droitessimultanément.
Soit deux droites dans l'espace.
- On écrit les représentations paramétriques des deux droites, avec desparamètres différents pour chaque droite.
- On résout le système, d'inconnues les paramètres, formé enégalisantles expressions correspondant aux coordonnées respectives de chaque représentation paramétrique.
Si on obtient un unique couple solution du système, alors les droites sont sécantes. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, il suffit alors de remplacer la valeur de l'un des paramètres dans la représentation paramétrique correspondante.
Si on ne trouve pas de couple solution, alors les droites sont strictement parallèles ou non coplanaires.
Si on trouve une infinité de couples solution, alors les droites sont parallèles confondues.
Énoncé 1
Soit
et
deux droites définies (avec
et
réels) par :
et
.
Prouver que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection
.
Solution
On cherche
appartenant aux deux droites
et
simultanément.
Alors les coordonnées de
vérifient le système (avec
et
réels) :
,
ce qui équivaut à
soit
.
On résout le système partiel formé des première et troisième équations :
.
En ajoutant les deux équations membre à membre, on obtient
, soit
.
On remplace la valeur de
dans l'une des deux équations, ce qui donne
.
On obtient le système suivant :
.
On remplace les valeurs de
et
trouvées dans la deuxième équation :
.
Conclusion: le système admet un unique couple solution
.
Donc les droites
et
sont sécantes.
Pour obtenir leur point d'intersection, on remplace (par exemple)
dans la représentation paramétrique de
et on a
.
Remarque
On pourra remplacer\(k=1\)dans la représentation paramétrique de
pour obtenir ces mêmes coordonnées.
Énoncé 2
Soit
et
deux droites définies (avec
et
réels) par :
et
.
Les droites sont-elles sécantes ?
Solution
On cherche
appartenant aux deux droites
et
simultanément.
Alors les coordonnées de
vérifient le système (avec
et
réels) :
,
ce qui équivaut à
soit
.
On résout le système partiel formé des première et troisième équations :
.
En soustrayant membre à membre les deux équations, on obtient
.
On remplace la valeur de
dans l'une des deux équations, ce qui donne
.
On obtient le système suivant :
.
On remplace les valeurs de
et
trouvées dans la deuxième équation :
.
Le système n'admet donc pas de couple
solution.
Conclusion: les droites ne sont pas sécantes.
Remarque
Les droites
et
ont pour vecteurs directeurs respectifs les vecteurs de coordonnées\(\begin{pmatrix} 2\\4\\2 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont donc non coplanaires.
✎☛ Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
Méthode
Pour déterminer si deux droites sont perpendiculaires, on regarde d'abord si elles sont orthogonales. Pour cela, on calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et on regarde si celui-ci vaut
. Si c'est le cas, les droites sont orthogonales.
On détermine alors les coordonnées de leur éventuel point d'intersection : ces coordonnées vérifient les représentations paramétriques des deux droites simultanément.
Énoncé
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit
la droite de représentation paramétrique
.
Soit
la droite de représentation paramétrique
.
Les deux droites sont-elles perpendiculaires ?
Solution
est dirigée par \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\-5\\3\\ \end{pmatrix}\) et
est dirigée par \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\0\\-5\\ \end{pmatrix}\).
Or
.
Les vecteurs directeurs de chaque droite sont orthogonaux. Donc les deux droites sont orthogonales.
On cherche
le point d'intersection des droites.
On résout le système suivant, d'inconnues
et
:
.
La deuxième équation donne :
.
On remplace cette valeur dans l'une des deux autres équations et on obtient :
.
On regarde si le couple obtenu est solution de l'équation restante.
Le système admet un unique couple solution
.
On remplace l'une des valeurs des paramètres (par exemple
dans la représentation paramétrique de
) et on trouve
.
Conclusion: les deux droites sont perpendiculaires au point
.