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Équation cartésienne d'un plan de l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Un plan

Sommaire

Équation cartésienne d'un plan☛ Déterminer une équation cartésienne d'un plan☛ Déterminer si un point appartient à un plan☛ Déterminer si deux plans sont parallèles☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants☛ Étudier l'intersection d'une droite et d'un planÉquations de plans particuliers☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan☛ Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un planDistance d'un point à un plan

Équation cartésienne d'un plan

Propriété
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Un plan
PPP
de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\)admet une équation cartésienne de la forme
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
avec
d∈Rd\in\mathbb Rd∈R
.
Réciproquement, si
aaa
,
bbb
et
ccc
sont non tous nuls, l'ensemble des points
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
tels que
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
, avec
d∈Rd\in\mathbb Rd∈R
, est un plan de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
Remarque
Un plan admet une infinité d'équations cartésiennes. Par exemple, si on considère le plan
PPP
d'équation cartésienne
−12x+20y−28z−4=0-12x+20y-28z-4=0−12x+20y−28z−4=0
, ce plan admet comme autre équation cartésienne : 
3x−5y+7z+1=03x-5y+7z+1=03x−5y+7z+1=0
.
Démonstration
Soit 
A(xA ; yA ; zA)\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)A(xA​ ; yA​ ; zA​)
 un point du plan
PPP
de vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\). Tout point 
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
du plan vérifie 
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
, ce qui équivaut à : 
a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_\text A)+b(y-y_\text A) + c(z-z_\text A)=0a(x−xA​)+b(y−yA​)+c(z−zA​)=0
.
Soit 
ax+by+cz−axA−byA−czA=0ax+by+cz-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A=0ax+by+cz−axA​−byA​−czA​=0
.
En posant 
d=−axA−byA−czAd=-ax_\text A-by_\text A-cz_\text Ad=−axA​−byA​−czA​
, on obtient bien une équation de la forme 
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
.
Réciproquement, on considère l'ensemble des points  
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
 vérifiant\(ax+by+cz+d=0\)avec 
aaa
,
bbb
et
ccc
 non tous nuls. On peut supposer par exemple que
aaa
est non nul.
Soit
A(−da ; 0 ; 0)\text A\left(-\dfrac da~;~0~;~0\right)A(−ad​ ; 0 ; 0)
. On a 
−da×a+b×0+c×0+d=−d+d=0- \dfrac da \times a+b\times 0+c\times 0+d=-d+d=0−ad​×a+b×0+c×0+d=−d+d=0
.
Les coordonnées du point 
A\text AA
 vérifient donc l'équation.
Soit 
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
un point tel que 
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
.
On a :
AM→(x+dayz)\overrightarrow{\text A\text M}\begin{pmatrix} x+\dfrac da\\ y \\ z \\ \end{pmatrix}AM​x+ad​yz​​
.
Soit\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
On a :
AM→⋅n→=a(x+da)+by+cz=ax+by+cz+d=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=a\left(x+\dfrac da\right)+by+cz=ax+by+cz+d=0AM⋅n=a(x+ad​)+by+cz=ax+by+cz+d=0
.
M\text MM
 appartient donc au plan \(P\)passant par
A\text AA
et de vecteur normal
n→\overrightarrow{n}n
.
Exemple
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne le plan
PPP
passant par le point
A(−1;2;1)\text A(-1;2;1)A(−1;2;1)
et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3\\-3\\1\\ \end{pmatrix}\).
Soit
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
un point de l'espace. Dire que
M∈P\text M \in PM∈P
signifie que 
AM→⋅n→=0\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0AM⋅n=0
.
On a : 
AM→(x+1y−2z−1)\overrightarrow{\text A\text M}\begin{pmatrix} x+1\\ y-2 \\z-1 \\ \end{pmatrix}AM​x+1y−2z−1​​
.
L'égalité précédente se traduit pas
3(x+1)−3(y−2)+1(z−1)=03(x+1)-3(y-2)+1(z-1)=03(x+1)−3(y−2)+1(z−1)=0
,
soit
3x−3y+z+8=03x-3y+z+8=03x−3y+z+8=0
qui est une équation cartésienne du plan
PPP
.

☛ Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace, déterminer une équation cartésienne du plan
PPP
passant par le point
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
et de vecteur normal \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\).
Solution
Première méthode
PPP
 a pour vecteur normal  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\6\\ \end{pmatrix}\), donc une équation cartésienne de 
PPP
 est de la forme 
4x+5y+6z+d=04x+5y+6z+d=04x+5y+6z+d=0
.
A(1 ; 2 ; 3)∈P\text A(1~;~2~;~3)\in PA(1 ; 2 ; 3)∈P
 donc 
4×1+5×2+6×3+d=0⇔32+d=0⇔d=−324\times 1+5\times 2+6\times 3+d=0 \Leftrightarrow 32+d=0 \Leftrightarrow d=-324×1+5×2+6×3+d=0⇔32+d=0⇔d=−32
.
Conclusion: 
PPP
 a pour équation cartésienne
4x+5y+6z−32=04x+5y+6z-32=04x+5y+6z−32=0
.
Deuxième méthode
M(x ; y ; z)∈P⇔AM→⋅n→=0\text M(x~;~y~;~z) \in P \Leftrightarrow \overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow n = 0M(x ; y ; z)∈P⇔AM⋅n=0
M(x ; y ; z)∈P⇔(x−1)×4+(y−2)×5+(z−3)×6=0\text M(x~;~y~;~z)\in P \Leftrightarrow (x-1)\times 4+(y-2)\times 5+(z-3)\times 6 = 0M(x ; y ; z)∈P⇔(x−1)×4+(y−2)×5+(z−3)×6=0
M(x ; y ; z)∈P⇔4x−4+5y−10+6z−18=0\text M(x~;~y~;~z)\in P \Leftrightarrow 4x-4+5y-10+6z-18 =0M(x ; y ; z)∈P⇔4x−4+5y−10+6z−18=0
M(x ; y ; z)∈P⇔4x+5y+6z−32=0\text M(x~;~y~;~z) \in P \Leftrightarrow 4x+5y+6z-32=0M(x ; y ; z)∈P⇔4x+5y+6z−32=0
.

☛ Déterminer si un point appartient à un plan

Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé.
Soit
PPP
un plan dont une équation cartésienne est 
6x+y−3z+7=06x+y-3z+7=06x+y−3z+7=0
.
1.Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal 
n→\overrightarrow{n}n
 au plan 
PPP
.
2. Le point 
A(−1 ; 2 ; 1)\text A(-1~;~2~;~1)A(−1 ; 2 ; 1)
 appartient-il au plan
PPP
? Le point 
B(1 ;−2 ; 3)\text B(1~;-2~;~3)B(1 ;−2 ; 3)
 appartient-il au plan
PPP
?
Solution
1. 
n→(61−3)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 6\\1\\-3\\ \end{pmatrix}n​61−3​​
est un vecteur normal 
n→\overrightarrow{n}n
 au plan 
PPP
.
2.
6×(−1)+2+(−3)×1+7=−6+2−3+7=−9+9=06\times (-1)+2+(-3)\times 1+7=-6+2-3+7=-9+9=06×(−1)+2+(−3)×1+7=−6+2−3+7=−9+9=0
. Donc 
A∈P\text A\in PA∈P
.
6×1−2−3×3+7=6−2−9+7=2≠06\times 1-2-3\times 3+7=6-2-9+7=2\neq 06×1−2−3×3+7=6−2−9+7=2=0
.Donc 
B∉P\text B\notin PB∈/P
.

☛ Déterminer si deux plans sont parallèles

Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé.
1.Les plans
P1P_1P1​
 d'équation cartésienne 
−3x+6y−9z+1=0-3x+6y-9z+1=0−3x+6y−9z+1=0
et
P2P_2P2​
d'équation cartésienne 
x−2y+3z−4=0x-2y+3z-4=0x−2y+3z−4=0
 sont-ils parallèles ?
2.Les plans
P1P_1P1​
 d'équation cartésienne 
−x+2y+z−5=0-x+2y+z-5=0−x+2y+z−5=0
et
P2P_2P2​
d'équation cartésienne 
2x−y+3z−1=02x-y+3z-1=02x−y+3z−1=0
 sont-ils parallèles ?
Solution1. Soit\(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -3\\6\\-9\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à
P1P_1P1​
 et\(\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 1\\-2\\3\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à 
P2P_2P2​
. 
On a 
n1→=−3n2→\overrightarrow{n_1}=-3\overrightarrow{n_2}n1​​=−3n2​​
.
Donc les vecteurs normaux aux plans sont colinéaires. Les deux plans sont parallèles.
2. Soit 
n1→(−121)\overrightarrow{n_1} \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\ \end{pmatrix}n1​​​−121​​
un vecteur normal à
P1P_1P1​
 et \(\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\ \end{pmatrix}\)un vecteur normal à 
P2P_2P2​
.
Les produits en croix 
2×2=42\times 2=42×2=4
 et 
(−1)×(−1)=1(-1)\times (-1)=1(−1)×(−1)=1
 sont différents. Donc les vecteurs normaux aux plans ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants. On peut déterminer la droite d'intersection des deux plans en résolvant le système : 
{−x+2y+z−5=02x−y+3z−1=0\begin{cases} -x+2y+z-5=0 \\ 2x-y+3z-1=0 \\ \end{cases}{−x+2y+z−5=02x−y+3z−1=0​
.
Remarque
L'espace est muni d'un repère orthonormé. Deux plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont perpendiculaires lorsque les vecteurs normaux respectifs
n1→\overrightarrow{n_1}n1​​
et
n2→\overrightarrow{n_2}n2​​
sont orthogonaux.

☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants

Énoncé
Dans un repère orthonormé, les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
ont pour équations respectives
−x+2y+z−5=0-x+2y+z-5=0−x+2y+z−5=0
et
2x−y+3z−1=02x-y+3z-1=02x−y+3z−1=0
.
1.Démontrer que les plans 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont sécants.
2.Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection
ddd
.
Solution
1. Soit \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -1\\2\\1\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à
P1P_1P1​
 et 
n2→(2−13)\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\ \end{pmatrix}n2​​​2−13​​
un vecteur normal à
P2P_2P2​
.
Les produits en croix 
2×2=42\times 2=42×2=4
 et 
(−1)×(−1)=1(-1)\times (-1)=1(−1)×(−1)=1
 sont différents. Donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Donc les  plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont sécants.
2. Un point
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
appartient à la droite d'intersection des deux plans lorsque ses coordonnées vérifient le système : 
{−x+2y+z−5=02x−y+3z−1=0\begin{cases} -x+2y+z-5=0 \\ 2x-y+3z-1=0 \\ \end{cases}{−x+2y+z−5=02x−y+3z−1=0​
qui équivaut à
{−x+2y=−z+52x−y=−3z+1\begin{cases} -x+2y=-z+5 \\ 2x-y=-3z+1 \\ \end{cases}{−x+2y=−z+52x−y=−3z+1​
soit 
{−2x+4y=−2z+102x−y=−3z+1\begin{cases} -2x+4y=-2z+10 \\ 2x-y=-3z+1 \\ \end{cases}{−2x+4y=−2z+102x−y=−3z+1​
(méthode par combinaison).
En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient : 
3y=−5z+11⇔y=−53z+1133y=-5z+11 \Leftrightarrow y=-\dfrac53 z+\dfrac{11}{3}3y=−5z+11⇔y=−35​z+311​
.
Puis on remplace cette expression dans la première équation : 
x=2y+z−5=−73z+73x=2y+z-5=-\dfrac73z+\dfrac73x=2y+z−5=−37​z+37​
.
Les coordonnées du point
M\text MM
s'expriment ainsi en fonction de
zzz
qu'on peut poser comme paramètre, en l'appelant
ttt
.
Une représentation paramétrique de la droite
ddd
est donc : 
{x=73−73ty=113−53tz=t,t∈R\begin{cases} x = \dfrac73-\dfrac73t \\ y = \dfrac{11}{3}-\dfrac{5}{3}t \\ z = t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=37​−37​ty=311​−35​tz=t​,t∈R
.

☛ Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé
Dans un repère de l'espace, soit
ddd
 la droite de représentation paramétrique 
{x=6−5ty=1−6tz=2,t∈R\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=6−5ty=1−6tz=2​,t∈R
.
Soit 
PPP
 le plan d'équation cartésienne 
−2x+y+2z+15=0-2x+y+2z+15=0−2x+y+2z+15=0
.
1.Justifier que
ddd
et
PPP
sont sécants.
2.Déterminer les coordonnées du point
I\text II
d'intersection de
ddd
et de
PPP
.
Solution
1.
ddd
 est dirigée par 
u→(−5−60)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -5\\-6\\0\\ \end{pmatrix}u​−5−60​​
; 
PPP
 a pour vecteur normal 
n→(−212)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2\\1\\2\\ \end{pmatrix}n​−212​​
.
u→⋅n→=(−5)×(−2)+(−6)×1+0×2=10−6+0=4≠0\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=(-5)\times (-2)+(-6)\times 1+0\times 2=10-6+0=4\neq 0u⋅n=(−5)×(−2)+(−6)×1+0×2=10−6+0=4=0
, donc
ddd
et
PPP
sont sécants.
2. On cherche 
I(x ; y ; z)\text I(x~;~y~;~z)I(x ; y ; z)
 tel que 
{x=6−5ty=1−6tz=2−2x+y+2z+15=0\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2x+y+2z+15=0 \\\end{cases}⎩⎨⎧​x=6−5ty=1−6tz=2−2x+y+2z+15=0​
.
Alors 
{x=6−5ty=1−6tz=2−2x+y+2z+15=0⇔{x=6−5ty=1−6tz=2−2(6−5t)+1−6t+2×2+15=0(∗)\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2x+y+2z+15=0 \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2(6-5t)+1-6t+2\times 2+15=0 \quad (*)\\\end{cases}⎩⎨⎧​x=6−5ty=1−6tz=2−2x+y+2z+15=0​⇔⎩⎨⎧​x=6−5ty=1−6tz=2−2(6−5t)+1−6t+2×2+15=0(∗)​
(∗)⇔4t+8=0⇔t=−2(*) \Leftrightarrow4t+8=0 \Leftrightarrow t=-2(∗)⇔4t+8=0⇔t=−2
.
D'où 
{x=6−5t=6−5×(−2)=16y=1−6t=1−6×(−2)=13z=2t=−2\begin{cases} x = 6-5t=6-5\times (-2)=16 \\ y = 1-6t=1-6\times (-2)=13 \\ z = 2 \\ t=-2 \\ \end{cases}⎩⎨⎧​x=6−5t=6−5×(−2)=16y=1−6t=1−6×(−2)=13z=2t=−2​
.
Conclusion: 
I(16 ; 13 ; 2)\text I(16~;~13~;~2)I(16 ; 13 ; 2)
.

Équations de plans particuliers

Propriété
Dans un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
, 
    • le plan 
(O ;j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;j​,k)
 a pour équation 
x=0x=0x=0
 ;
    • le plan 
(O ;i→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,k)
 a pour équation 
y=0y=0y=0
 ;
    • le plan 
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
 a pour équation 
z=0z=0z=0
.
De plus, 
    • un plan d'équation 
x=kx=kx=k
, avec 
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
, est un plan parallèle au plan 
(O ;j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;j​,k)
;
    • un plan d'équation 
y=ky=ky=k
, avec 
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
, est un plan parallèle au plan 
(O ;i→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,k)
;
    • un plan d'équation 
z=kz=kz=k
, avec 
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
, est un plan parallèle au plan 
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.

☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé
Dans un repère de l'espace, soit
ddd
la droite passant par les points 
A(2 ; 4 ; 6)\text A(2~;~4~;~6)A(2 ; 4 ; 6)
 et 
B(0 ;−3 ; 3)\text B(0~;-3~;~3)B(0 ;−3 ; 3)
.
1.Donner une représentation paramétrique de
ddd
.
2.En déduire les points d'intersection de la droite 
ddd
 avec les plans 
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
,
(O ;i→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,k)
et
(O ;j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;j​,k)
.
Solution
1.La droite
ddd
passe par
B(0 ;−3 ; 3)\text B(0~;-3~;~3)B(0 ;−3 ; 3)
et est dirigée par 
AB→(−2−7−3)\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix} -2\\-7\\-3\\ \end{pmatrix}AB​−2−7−3​​
.
Alors une représentation paramétrique de
ddd
est : 
{x=−2ty=−3−7tz=3−3t,t∈R\begin{cases} x = -2t \\ y = -3-7t \\ z = 3-3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−2ty=−3−7tz=3−3t​,t∈R
.
2. Un point du plan
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
 a pour coordonnées 
(x ; y ; 0)(x~;~y~;~0)(x ; y ; 0)
.
On résout donc 
z=0⇔3−3t=0⇔t=1z=0 \Leftrightarrow 3-3t=0 \Leftrightarrow t=1z=0⇔3−3t=0⇔t=1
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées 
(−2 ;−10 ; 0)(-2~;-10~;~0)(−2 ;−10 ; 0)
.
Un point du plan
(O ;i→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,k)
a pour coordonnées 
(x ; 0 ; z)(x~;~0~;~z)(x ; 0 ; z)
.
On résout donc 
y=0⇔−3−7t=0⇔t=−37y=0 \Leftrightarrow -3-7t=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac37y=0⇔−3−7t=0⇔t=−73​
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées 
(67 ; 0 ; 307)\left(\dfrac67~;~0~;~\dfrac{30}{7}\right)(76​ ; 0 ; 730​)
.
Un point du plan
(O ;j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;j​,k)
a pour coordonnées 
(0 ; y ; z)(0~;~y~;~z)(0 ; y ; z)
.
On résout donc 
x=0⇔−2t=0⇔t=0x=0 \Leftrightarrow -2t=0 \Leftrightarrow t=0x=0⇔−2t=0⇔t=0
.
Donc le point d'intersection de la droite avec ce plan a pour coordonnées 
(0 ;−3 ; 3)\left(0~;-3~;~3\right)(0 ;−3 ; 3)
. C'est le point
B\text BB
.

☛ Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan

Énoncé
On se place dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
PPP
un plan d'équation cartésienne 
x+3y+4z−8=0x+3y+4z-8=0x+3y+4z−8=0
. Soit 
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
 un point.
1.Justifier que 
A∉P\text A\notin PA∈/P
.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite
ddd
passant par
A\text AA
et orthogonale au plan
PPP
.
3.En déduire les coordonnées du point
H\text HH
, projeté orthogonal du point
A\text AA
sur le plan
PPP
.
Solution
1.
1+3×2+4×3−8=1+6+12−8=11≠01+3\times 2+4\times 3-8=1+6+12-8=11\neq 01+3×2+4×3−8=1+6+12−8=11=0
. Donc 
A∉P\text A\notin PA∈/P
.
2.La droite
ddd
 passe par 
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
 et est dirigée par 
n→(134)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\3\\4\\ \end{pmatrix}n​134​​
,vecteur normal au plan\(P\).. Alors, une représentation paramétrique de 
ddd
 est : 
{x=1+ty=2+3tz=3+4t,t∈R\begin{cases} x = 1+t \\ y =2+3t \\ z = 3+4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1+ty=2+3tz=3+4t​,t∈R
.
3. On cherche 
H(x ; y ; z)\text H(x~;~y~;~z)H(x ; y ; z)
 tel que 
{x=1+ty=2+3tz=3+4tx+3y+4z−8=0\begin{cases} x = 1+t \\ y =2+3t \\ z = 3+4t \\ x+3y+4z-8=0\end{cases}⎩⎨⎧​x=1+ty=2+3tz=3+4tx+3y+4z−8=0​
, 
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
.
On cherche 
ttt
 tel que 
1+t+3(2+3t)+4(3+4t)−8=0⇔11+26t=0⇔t=−11261+t+3(2+3t)+4(3+4t)-8=0 \Leftrightarrow 11+26t=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac{11}{26}1+t+3(2+3t)+4(3+4t)−8=0⇔11+26t=0⇔t=−2611​
.
Alors 
{x=1−1126=1526y=2−3×1126=1926z=3−4×1126=3426=1713\begin{cases} x = 1-\dfrac{11}{26}=\dfrac{15}{26} \\ y =2-3\times \dfrac{11}{26} =\dfrac{19}{26}\\ z = 3-4\times \dfrac{11}{26}=\dfrac{34}{26}=\dfrac{17}{13}\\ \end{cases}⎩⎨⎧​x=1−2611​=2615​y=2−3×2611​=2619​z=3−4×2611​=2634​=1317​​
. 
Conclusion: 
H(1526 ; 1926 ; 1713)\text H\left(\dfrac{15}{26}~;~\dfrac{19}{26}~;~\dfrac{17}{13}\right)H(2615​ ; 2619​ ; 1317​)
.

Distance d'un point à un plan

Propriété
On se place dans un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. 
Soit
PPP
un plan d'équation cartésienne 
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
et 
A(xA ; yA ; zA)\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)A(xA​ ; yA​ ; zA​)
 un point n'appartenant pas au plan
PPP
. Alors la distance entre le point
A\text AA
et le plan
PPP
est donnée par :
∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2\boxed{\dfrac{|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}a2+b2+c2​∣axA​+byA​+czA​+d∣​​
.
Démonstration
On cherche à exprimer la distance
AH\text A\text HAH
, où
H(x ; y ; z)\text H(x~;~y~;~z)H(x ; y ; z)
est le projeté orthogonal de
A\text AA
sur
PPP
.
H(x ; y ; z)∈P\text H(x~;~y~;~z)\in PH(x ; y ; z)∈P
 donc ses coordonnées vérifient la relation 
ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
.
PPP
 a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\).
Or 
AH→(x−xAy−yAz−zA)\overrightarrow{\text A\text H}\begin{pmatrix} x-x_\text A\\y-y_\text A \\z-z_\text A \\ \end{pmatrix}AH​x−xA​y−yA​z−zA​​​
 est colinéaire à 
n→\overrightarrow{n}n
.
Donc 
AH→⋅n→=±AH×∣∣n→∣∣\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n} = \pm \text A\text H\times ||\overrightarrow{n}||AH⋅n=±AH×∣∣n∣∣
. Autrement dit, 
AH×∣∣n→∣∣=∣AH→⋅n→∣\text A\text H\times ||\overrightarrow{n}||=|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|AH×∣∣n∣∣=∣AH⋅n∣
    (*).
Or 
∣AH→⋅n→∣=∣a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)∣=∣ax+by+cz−axA−byA−czA∣|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|=|a(x-x_\text A)+b(y-y_\text A)+c(z-z_\text A)|=|ax+by+cz-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A|∣AH⋅n∣=∣a(x−xA​)+b(y−yA​)+c(z−zA​)∣=∣ax+by+cz−axA​−byA​−czA​∣
.
D'où 
∣AH→⋅n→∣=∣−axA−byA−czA−d∣=∣axA+byA+czA+d∣|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|=|-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A-d|=|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|∣AH⋅n∣=∣−axA​−byA​−czA​−d∣=∣axA​+byA​+czA​+d∣
car
ax+by+cz=−dax+by+cz=-dax+by+cz=−d
.   (**)
Enfin, 
∣∣n→∣∣=a2+b2+c2||\overrightarrow{n}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}∣∣n∣∣=a2+b2+c2​
. 
Donc, en utilisant (*) et (**), on a : 
AH×a2+b2+c2=∣axA+byA+czA+d∣\text A\text H\times \sqrt{a^2+b^2+c^2} = |ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|AH×a2+b2+c2​=∣axA​+byA​+czA​+d∣
.
Comme 
n→\overrightarrow{n}n
 est non nul, alors sa norme n'est pas nulle non plus, on peut donc diviser par celle-ci. D'où le résultat : 
AH=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2\text A\text H=\dfrac{|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}AH=a2+b2+c2​∣axA​+byA​+czA​+d∣​
.
Exemple
On se place dans un repère orthonormé
(O;i→,j→,k→)\left(\text O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O;i,j​,k)
. Soit
PPP
un plan d'équation cartésienne 
x+3y+4z−8=0x+3y+4z-8=0x+3y+4z−8=0
. Soit 
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
 un point.
Alors on a : 
AH=∣1+3×2+4×3−8∣12+32+42=1126=112626\text A\text H=\dfrac{|1+3\times 2+4\times 3-8 |}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}=\dfrac{11}{\sqrt{26}}=\dfrac{11}{26}\sqrt{26}AH=12+32+42​∣1+3×2+4×3−8∣​=26​11​=2611​26​
. 
Remarque
On peut redémontrer ce résultat en calculant la norme du vecteur 
AH→\overrightarrow{\text A\text H}AH
, où
H\text HH
est le projeté orthogonal de
A\text AA
sur
PPP
.
On démontre que 
H\text HH
a pour coordonnées : 
H(1526 ; 1926 ; 1713)\text H\left(\dfrac{15}{26}~;~\dfrac{19}{26}~;~\dfrac{17}{13}\right)H(2615​ ; 2619​ ; 1317​)
. 
Alors \(\overrightarrow{\text A\text H} \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{26}\\ -\dfrac{33}{26}\\ -\dfrac{22}{13}\end{pmatrix}\).
D'où 
AH=(−1126)2+(−3326)2+(−2213)2=12126=1126=112626\text A\text H=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{26}\right)^2+\left(-\dfrac{33}{26}\right)^2+\left(-\dfrac{22}{13}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{121}{26}}=\dfrac{11}{\sqrt{26}}=\dfrac{11}{26}\sqrt{26}AH=(−2611​)2+(−2633​)2+(−1322​)2​=26121​​=26​11​=2611​26​
.