Solution 2

1.

$$d$$

 est dirigée par 

$$\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 3\\4\\0\\ \end{pmatrix}$$

 et passe par 

$$\Omega(1~;~3~;-1)$$

.

Donc une représentation paramétrique de 

$$d$$

 est : 

$$\begin{cases} x = 1 +3t\\ y = 3+4t \\ z = -1 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R$$

.

2.On cherche 

$$\text H(x~;~y~;~z)$$

 tel que 

$$\begin{cases} x = 1 +3t\\ y = 3+4t \\ z = -1 \\ 3x+4y-40=0\\ \end{cases}$$

.

Alors, 

$$t$$

 vérifie : 

$$3(1+3t)+4(3+4t)-40=0 \Leftrightarrow 25t-25=0 \Leftrightarrow t=1$$

.

D'où 

$$\text H\left(4~;~7~;-1\right)$$

.

3.On en déduit alors 

$$\overrightarrow{\Omega\text H} \begin{pmatrix} 3\\4\\0\\ \end{pmatrix}$$

. D'où 

$$\Omega \text H =5$$

. Donc le plan coupe la sphère

$$S$$

 au point

$$\text H$$

.

Solution 3

Une équation cartésienne de 

$$S$$

 est 

$$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25$$

.

$$\text M(x~;~y~;~z)$$

 est un point sur le plan

$$P$$

, donc

$$z=3$$

. Donc ses coordonnées vérifient : 

$$(x-1)^2+(y-3)^2+16=25\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-3)^2=9$$

.

C'est l'équation d'un cercle de centre

$$\text A(1~;~3~;~3)$$

 et de rayon

$$3$$

 dans le plan

$$P$$

.