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On se place dans le repère orthonormé 

Sommaire

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (1)* Équation cartésienne d'un plan - Cube (2)* Équation cartésienne d'un plan - Cube (3)* Équation cartésienne d'un plan* Plan médiateur d'un segment☛ * Plan médiateur d'un segment
** QCM** Exercice de synthèse - Optimisation avec une fonction☛ ** Distance d'un point à une droite☛ ** Intersection d'une droite et d'une sphère☛ ⚒ ** Intersection d'une sphère et d'un plan
*** Volume d'un tétraèdre*** Distance d'un point à un plan

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (1)

Soit 
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube de côté
111
.
On se place dans le repère orthonormé 
(D ;DA→,DC→,DH→)\mathrm{\left(D~;\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DH}\right)}(D ;DA,DC,DH)
.
1.Démontrer que la droite
(DF)\mathrm{(DF)}(DF)
et le plan
(EBG)\mathrm{(EBG)}(EBG)
 sont orthogonaux.
2. En déduire une équation cartésienne du plan
(EBG)\mathrm{(EBG)}(EBG)
.

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (2)

Soit 
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube de côté
111
.
(D ;DA→,DC→,DH→)\mathrm{\left(D~;\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DH}\right)}(D ;DA,DC,DH)
est un repère orthonormé.
1.Calculer les produits scalaires
DF→⋅EG→\mathrm{\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{EG}}DF⋅EG
et
DF→⋅BG→\mathrm{\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BG}}DF⋅BG
.
2.En déduire un vecteur normal au plan
(EBG)\mathrm{(EBG)}(EBG)
puis une équation cartésienne de ce plan.

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (3)

Soit 
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube de côté
111
.
Soit
I\text II
le milieu de
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
,
J\text JJ
celui de
[HG]\mathrm{[HG]}[HG]
et
K\text KK
le centre de la face
BCGF\mathrm{BCGF}BCGF
. On choisit le repère
(D ;DA→,DC→,DH→)\mathrm{\left(D~;\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DH}\right)}(D ;DA,DC,DH)
.
1.Démontrer que le vecteur
EK→\mathrm{\overrightarrow{EK}}EK
est normal au plan
(DIJ)\mathrm{(DIJ)}(DIJ)
.
2.En déduire une équation cartésienne du plan
(DIJ)\mathrm{(DIJ)}(DIJ)
.

* Équation cartésienne d'un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne les points
A(1 ; 1 ; 0)\text A(1~;~1~;~0)A(1 ; 1 ; 0)
,
B(1 ; 2 ; 1)\text B(1~;~2~;~1)B(1 ; 2 ; 1)
 et
C(3 ;−1 ; 2)\text C(3~;-1~;~2)C(3 ;−1 ; 2)
.
1. Démontrer que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
définissent un plan
PPP
.
2.On considère les vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
et
AC→\mathrm{\overrightarrow{AC}}AC
non colinéaires du plan
PPP
.
    a.Démontrer que, si
n→(xyz)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\ \end{pmatrix}n​xyz​​
est un vecteur normal à
PPP
, alors ses coordonnées vérifient le système 
{y+z=0x−y+z=0\begin{cases} y+z=0 \\ x-y+z=0 \end{cases}{y+z=0x−y+z=0​
.
    b.En déduire une équation cartésienne de
PPP
.

* Plan médiateur d'un segment

L'espace est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points
A(−3 ; 2 ; 4)\text A(-3~;~2~;~4)A(−3 ; 2 ; 4)
et
B(2 ; 5 ; 6)\text B(2~;~5~;~6)B(2 ; 5 ; 6)
.
1.Trouver un nombre
ccc
tel que
C(1 ; 1 ; c)\text C(1~;~1~;~c)C(1 ; 1 ; c)
soit dans le plan médiateur du segment 
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
.
2.Soit
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
un point de l'espace. Démontrer que
M\text MM
appartient au plan médiateur du segment 
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
si et seulement si on a : 
5x+3y+2z−18=05x+3y+2z-18=05x+3y+2z−18=0
.

☛ * Plan médiateur d'un segment

Énoncé
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
, on donne les points 
A(0 ; 1 ; 2)\text A(0~;~1~;~2)A(0 ; 1 ; 2)
et 
B(2 ;−1 ; 0)\text B(2~;-1~;~0)B(2 ;−1 ; 0)
. Déterminer une équation du plan médiateur du segment 
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
.
Solution
Première méthode : avec les distances
Soit
PPP
le plan médiateur du segment
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
.
Dire que
M(x ; y ; z)∈P\text M(x~;~y~;~z)\in PM(x ; y ; z)∈P
signifie que
AM=BM\mathrm{AM=BM}AM=BM
 soit
AM2=BM2\mathrm{AM^2=BM^2}AM2=BM2
 soit :
x2+(y−1)2+(z−2)2=(x−2)2+(y+1)2+z2x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+z^2x2+(y−1)2+(z−2)2=(x−2)2+(y+1)2+z2
.
En développant, on obtient : 
x2+y2−2y+1+z2−4z+4=x2−4x+4+y2+2y+1+z2x^2+y^2-2y+1+z^2-4z+4=x^2-4x+4+y^2+2y+1+z^2x2+y2−2y+1+z2−4z+4=x2−4x+4+y2+2y+1+z2
.
En simplifiant, on a : 
4x−4y−4z=04x-4y-4z=04x−4y−4z=0
, soit encore 
x−y−z=0x-y-z=0x−y−z=0
.
Deuxième méthode : avec un vecteur normal et le milieu du segment
AB→(2−2−2)\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} 2\\-2\\-2\\ \end{pmatrix}AB​2−2−2​​
 est un vecteur normal au plan médiateur.
Le vecteur
n→(1−1−1)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\ \end{pmatrix}n​1−1−1​​
est aussi un vecteur normal au plan médiateur.
Alors une équation cartésienne de ce plan est de la forme 
x−y−z+d=0x-y-z+d=0x−y−z+d=0
.
Le milieu
I\text II
du segment
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
appartient au plan médiateur et a pour coordonnées 
I(1 ; 0 ; 1)\text I(1~;~0~;~1)I(1 ; 0 ; 1)
.
D'où 
1−0−1+d=0⇔d=01-0-1+d=0\Leftrightarrow d=01−0−1+d=0⇔d=0
.
Donc une équation cartésienne du plan médiateur est 
x−y−z=0x-y-z=0x−y−z=0
.

** QCM

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
 dans lequel on considère :
    • les points
A(6 ;−6 ; 6)\text A(6~; -6~;~6)A(6 ;−6 ; 6)
,
B(−6 ; 0 ; 6)\text B(-6~ ;~ 0~ ;~ 6)B(−6 ; 0 ; 6)
et
C(−2 ;−2 ; 11)\text C(-2 ~; -2~ ; ~11)C(−2 ;−2 ; 11)
;
    • la droite
(d)(d)(d)
orthogonale aux deux droites sécantes
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(BC)(\text B\text C)(BC)
 et passant par le point
A\text AA
;
    • la droite
(d′)(d')(d′)
de représentation paramétrique : 
{x=−6−8ty=−6−4tz=−6+5t\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -6 - 8t\\ y &=& \phantom{-6 -}4t\\ z &=& \phantom{-}6 + 5t \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​−6−8t−6−4t−6+5t​
   avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
.
Question 1
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite
(d)(d)(d)
?
a.
u1→(−6 ; 3 ;0)\overrightarrow{u_1}(-6~;~3~;0)u1​​(−6 ; 3 ;0)
b.
u2→(1 ; 2 ; 6)\overrightarrow{u_2}(1~;~2~;~6)u2​​(1 ; 2 ; 6)
c.
u3→(1 ; 2 ; 0,2)\overrightarrow{u_3}(1~;~2~;~0{,}2)u3​​(1 ; 2 ; 0,2)
d.
u4→(1 ; 2 ; 0)\overrightarrow{u_4}(1~;~2~;~0)u4​​(1 ; 2 ; 0)
Question 2
Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite 
(AB)(\text A\text B)(AB)
?
a.
{x=12t+6y=6t−6z=6\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12t + 6\\ y &=&6t-6\\ z&=&6 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​12t+66t−66​
   avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
b.
{x=12t−6y=6tz=6\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12t - 6\\ y &=&6t\\ z&=& 6 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​12t−66t6​
  avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
c.
{x=4−2ty=−5+tz=6\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 4-2t\\ y &=&-5+t\\ z&=&6 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​4−2t−5+t6​
avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
d.
{x=1+2ty=2−tz=6\left\{\begin{array}{l c r} x &=&1+2t\\ y &=&2-t\\ z&=&6 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​1+2t2−t6​
    avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
Question 3
Un vecteur directeur de la droite
(d′)(d')(d′)
est :
a.
v1→(−6 ; 0 ; 6)\overrightarrow{v_1}(-6~;~0~;~6)v1​​(−6 ; 0 ; 6)
b.
v2→(−14 ; 4 ; 11)\overrightarrow{v_2}(-14~;~4~;~11)v2​​(−14 ; 4 ; 11)
c.
v3→(8 ;−4 ;−5)\overrightarrow{v_3}(8~;-4~;-5)v3​​(8 ;−4 ;−5)
d.
v4→(8 ; 4 ; 5)\overrightarrow{v_4}(8~;~4~;~5)v4​​(8 ; 4 ; 5)
Question 4
Le plan d’équation
x=1x = 1x=1
a pour vecteur normal :
a.
n1→(1 ; 0 ; 0)\overrightarrow{n_1}(1~;~0~;~0)n1​​(1 ; 0 ; 0)
b.
n2→(0 ; 1 ; 1)\overrightarrow{n_2}(0~;~1~;~1)n2​​(0 ; 1 ; 1)
c.
n3→(0 ; 1 ; 0)\overrightarrow{n_3}(0~;~1~;~0)n3​​(0 ; 1 ; 0)
d.
n4→(1 ; 0 ; 1)\overrightarrow{n_4}(1~;~0~;~1)n4​​(1 ; 0 ; 1)

** Exercice de synthèse - Optimisation avec une fonction

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On considère le point 
A(1 ;−1 ;−1)\text A(1~;-1~;-1)A(1 ;−1 ;−1)
 et la droite 
D\mathscr DD
 de représentation paramétrique 
{x=1+2ty=−tz=3−2t\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+2t\\ y &=& - t\\ z&=&3-2t \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​1+2t−t3−2t​
 avec 
t∈Rt \in\mathbb Rt∈R
.
Pour tout réel
ttt
, on note
M\text MM
le point de 
D\mathscr DD
 de paramètre
ttt
. 
On considère la fonction
fff
qui, à tout réel
ttt
, associe
AM2\text A\text M^2AM2
, soit 
f(t)=AM2f(t)=\text A\text M^2f(t)=AM2
.
1.Justifier que le point
A\text AA
n'appartient pas à la droite
D\mathscr DD
.
2.Démontrer que, pour tout réel
ttt
, on a :
f(t)=9t2−18t+17f(t)=9t^2-18t+17f(t)=9t2−18t+17
.
3. Démontrer que la distance
AM\text A\text MAM
est minimale lorsque
M\text MM
a pour coordonnées
(3 ;−1 ; 1)(3~;-1~;~1)(3 ;−1 ; 1)
.
4.Que représente ce point
M\text MM
par rapport au point
A\text AA
?

☛ ** Distance d'un point à une droite

Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit 
ddd
 une droite de représentation paramétrique 
{x=1+3ty=3−3tz=4−4t,t∈R\begin{cases} x = 1+3t \\ y = 3-3t \\ z = 4-4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1+3ty=3−3tz=4−4t​,t∈R
.
Soit 
M(−2 ; 6 ; 0)\text M(-2~;~6~;~0)M(−2 ; 6 ; 0)
 un point de l'espace.
1.Vérifier que
M\text MM
n'appartient pas à
ddd
.
2. On cherche à déterminer la distance entre le point
M\text MM
et la droite
ddd
.
Soit 
Ht(x ; y ; z)\text H_t(x~;~y~;~z)Ht​(x ; y ; z)
 un point de la droite
ddd
.
    a. Exprimer la distance 
MHt\text M\text H_tMHt​
 en fonction de
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
.b.On admet que la distance 
MHt\text M\text H_tMHt​
 est minimale lorsque la quantité 
MHt2\text M\text H_t^2MHt2​
 est minimale.
On note 
f(t)=MHt2f(t)=\text M\text H_t^2f(t)=MHt2​
, avec
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
. Justifier que, pour tout
ttt
réel, 
f(t)=34t2+4t+34f(t)=34t^2+4t+34f(t)=34t2+4t+34
.c.Donner la valeur de
ttt
qui rend la quantité 
f(t)f(t)f(t)
 minimale puis en déduire la distance de
M\text MM
à la droite
ddd
.
Solution
1. On résout 
{−2=1+3t6=3−3t0=4−4t\begin{cases} -2 = 1+3t \\ 6 = 3-3t \\ 0 = 4-4t \\ \end{cases}⎩⎨⎧​−2=1+3t6=3−3t0=4−4t​
.
On obtient le système 
{t=−1t=−1t=0\begin{cases} t=-1 \\ t=-1 \\ t=0 \\ \end{cases}⎩⎨⎧​t=−1t=−1t=0​
 qui est incompatible, donc 
M∉d\text M\notin dM∈/d
.
2.a. On a 
M(−2 ; 6 ; 0)\text M(-2~;~6~;~0)M(−2 ; 6 ; 0)
 et 
Ht(1+3t ; 3−3t ; 4−4t)\text H_t(1+3t~;~3-3t~;~4-4t)Ht​(1+3t ; 3−3t ; 4−4t)
 avec 
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
.
Alors 
MHt→(3+3t−3−3t4−4t)\overrightarrow{\text M\text H_t}\begin{pmatrix} 3+3t\\ -3-3t \\4-4t \\ \end{pmatrix}MHt​​​3+3t−3−3t4−4t​​
, 
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
.
D'où 
MHt=(3+3t)2+(−3−3t)2+(4−4t)=34t2+4t+34\text M\text H_t=\sqrt{(3+3t)^2+(-3-3t)^2+(4-4t)}=\sqrt{34t^2+4t+34}MHt​=(3+3t)2+(−3−3t)2+(4−4t)​=34t2+4t+34​
.
    b.D'après ce qui précède, pour tout
ttt
réel,
f(t)=MHt2=(34t2+4t+34)2=34t2+4t+34f(t)=\text M\text H_t^2=\left(\sqrt{34t^2+4t+34}\right)^2=34t^2+4t+34f(t)=MHt2​=(34t2+4t+34​)2=34t2+4t+34
.
    c.
fff
 est une fonction du second degré, de coefficient dominant 
34>034>034>0
, donc elle admet un minimum en 
t=−42×34=−117.t=-\dfrac{4}{2\times 34}=-\dfrac{1}{17}.t=−2×344​=−171​.
D'où 
f(−117)=57617f\left(-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{576}{17}f(−171​)=17576​
.
La distance minimale est alors 
57617=2417=2417×17.\sqrt{\dfrac{576}{17}}=\dfrac{24}{\sqrt{17}}=\boxed{\dfrac{24}{17}\times \sqrt{17}}.17576​​=17​24​=1724​×17​​.
Remarques
    • La distance obtenue est la distance entre le point
M\text MM
et le projeté orthogonal du point
M\text MM
 sur la droite
ddd
.
    • On peut également déterminer les coordonnées de ce projeté en remplaçant la valeur de
ttt
trouvée à la question2.c.dans la représentation paramétrique de
ddd
: 
(1417 ; 5417 ; 7217)\left(\dfrac{14}{17}~;~\dfrac{54}{17}~;~\dfrac{72}{17}\right)(1714​ ; 1754​ ; 1772​)
.

☛ ** Intersection d'une droite et d'une sphère

Énoncé
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
SSS
une sphère de centre 
Ω(3 ;−1 ; 7)\Omega(3~;-1~;~7)Ω(3 ;−1 ; 7)
 et de rayon 
r=3r=3r=3
.
Soit 
ddd
 une droite de représentation paramétrique 
{x=ty=−7+4tz=3+3t,t∈R\begin{cases} x = t \\ y = -7+4t \\ z = 3+3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=ty=−7+4tz=3+3t​,t∈R
.
1. Déterminer une équation cartésienne de
SSS
.
2. L'objectif est de déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre la sphère
SSS
et la droite
ddd
.
    a. On cherche les points 
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
 tels que 
{x=ty=−7+4tz=3+3t(x−3)2+(y+1)2+(z−7)2=9,t∈R\begin{cases} x = t \\ y = -7+4t \\ z = 3+3t \\ (x-3)^2+(y+1)^2+(z-7)^2=9\\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=ty=−7+4tz=3+3t(x−3)2+(y+1)2+(z−7)2=9​,t∈R
.
Justifier alors que 
ttt
 vérifie l'équation 
t2−3t+2=0t^2-3t+2=0t2−3t+2=0
.
    b. En déduire les coordonnées des points d'intersection de
ddd
et
SSS
.
Solution
1.
(x−3)2+(y+1)2+(z−7)2=9(x-3)^2+(y+1)^2+(z-7)^2=9(x−3)2+(y+1)2+(z−7)2=9
.
2. a. On remplace les expressions de
xxx
,
yyy
et
zzz
dans l'équation cartésienne de la sphère et on obtient, après développement : 
t2−6t+9+36−48t+16t2+16−24t+9t2=9t^2-6t+9+36-48t+16t^2+16-24t+9t^2=9t2−6t+9+36−48t+16t2+16−24t+9t2=9
.
D'où, après simplification : 
26t2−78t+52=0⟺t2−3t+2=026t^2-78t+52=0 \Longleftrightarrow t^2-3t+2=026t2−78t+52=0⟺t2−3t+2=0
.
    b. En résolvant avec le discriminant, on a 
Δ=(−3)2−4×1×2=1\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 2=1Δ=(−3)2−4×1×2=1
 puis 
t1=3−12=1t_1=\dfrac{3-1}{2}=1t1​=23−1​=1
 et 
t2=2t_2=2t2​=2
.
On remplace ces valeurs dans la représentation paramétrique de
ddd
et on trouve les points : 
A(1 ;−3 ; 6)\text A(1~;-3~;~6)A(1 ;−3 ; 6)
 et 
B(2 ; 1 ; 9)\text B(2~;~1~;~9)B(2 ; 1 ; 9)
.
Remarque
On appelle
D(d,Ω)D(d,\Omega)D(d,Ω)
la distance entre le centre 
Ω\OmegaΩ
 de la sphère de rayon
rrr
et la droite
ddd
.
Si 
D(d,Ω)>rD(d,\Omega)>rD(d,Ω)>r
, alors la droite ne coupe pas la sphère.
    • Si 
D(d,Ω)=rD(d,\Omega)=rD(d,Ω)=r
, alors la droite coupe la sphère en un seul point.
    • Si
D(d,Ω)<rD(d,\Omega) <rD(d,Ω)<r

☛ ⚒ ** Intersection d'une sphère et d'un plan

Propriété
Soit
SSS
une sphère de centre
Ω\OmegaΩ
 et de rayon
rrr
 et
PPP
un plan. On note
H\text HH
le projeté orthogonal de 
Ω\OmegaΩ
sur
PPP
 :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si 
ΩH>r\Omega\text H>rΩH>r
, alors le plan ne coupe pas la sphère ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si 
ΩH=r\Omega\text H=rΩH=r
, alors le plan coupe la sphère en un seul point. On dit dans ce cas que le plan esttangentà la sphère ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si
ΩH<r\Omega\text H<rΩH<r
Énoncé 1
Soit
SSS
le sphère de centre 
Ω(1 ; 3 ;−1)\Omega(1~;~3~;-1)Ω(1 ; 3 ;−1)
 et de rayon 
r=5r=5r=5
.
Soit
PPP
le plan d'équation cartésienne 
3y−4z−60=03y-4z-60=03y−4z−60=0
.
Soit
ddd
la droite perpendiculaire au plan
PPP
et passant par 
Ω\OmegaΩ
.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite 
ddd
.
2.Déterminer les coordonnées du pont
H\text HH
, projeté orthogonal de 
Ω\OmegaΩ
 sur 
PPP
.
3. En déduire la distance de
Ω\OmegaΩ
 à 
PPP
. Le plan coupe-t-il la sphère
SSS
?
Solution
1.
ddd
 est dirigée par 
n→(03−4)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 0\\3\\-4\\ \end{pmatrix}n​03−4​​
 et passe par 
Ω(1 ; 3 ;−1)\Omega(1~;~3~;-1)Ω(1 ; 3 ;−1)
.
Donc une représentation paramétrique de 
ddd
 est : 
{x=1y=3+3tz=−1−4t,t∈R\begin{cases} x = 1 \\ y = 3+3t \\ z = -1-4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1y=3+3tz=−1−4t​,t∈R
.
2. On cherche 
H(x ; y ; z)\text H(x~;~y~;~z)H(x ; y ; z)
 tel que 
{x=1y=3+3tz=−1−4t3y−4z−60=0\begin{cases} x = 1 \\ y = 3+3t \\ z = -1-4t \\ 3y-4z-60=0\\ \end{cases}⎩⎨⎧​x=1y=3+3tz=−1−4t3y−4z−60=0​
.
Alors, 
ttt
 vérifie : 
3(3+3t)−4(−1−4t)−60=0⇔25t−47=0⇔t=47253(3+3t)-4(-1-4t)-60=0 \Leftrightarrow 25t-47=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{47}{25}3(3+3t)−4(−1−4t)−60=0⇔25t−47=0⇔t=2547​
.
D'où 
H(1 ; 21625 ;−21325)\text H\left(1~;~\dfrac{216}{25}~;-\dfrac{213}{25}\right)H(1 ; 25216​ ;−25213​)
.
3. On en déduit alors 
ΩH→(014125−18825)\overrightarrow{\Omega\text H} \begin{pmatrix} 0\\\dfrac{141}{25}\\-\dfrac{188}{25}\\ \end{pmatrix}ΩH​025141​−25188​​​
. D'où 
ΩH=2 20925=475=9, ⁣4>5\Omega\text H = \sqrt{\dfrac{2\,209}{25}}=\dfrac{47}{5}=9,\!4>5ΩH=252209​​=547​=9,4>5
.
Donc le plan ne coupe pas la sphère
SSS
.
Énoncé 2
Soit
SSS
le sphère de centre 
Ω(1 ; 3 ;−1)\Omega(1~;~3~;-1)Ω(1 ; 3 ;−1)
 et de rayon 
r=5r=5r=5
.
Soit
PPP
le plan d'équation cartésienne 
3x+4y−40=03x+4y-40=03x+4y−40=0
.
Soit
ddd
la droite perpendiculaire au plan
PPP
et passant par 
Ω\OmegaΩ
.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite 
ddd
.
2.Déterminer les coordonnées du pont
H\text HH
, projeté orthogonal de 
Ω\OmegaΩ
 sur 
PPP
.
3. En déduire la distance de
Ω\OmegaΩ
 à 
PPP
. Le plan coupe-t-il la sphère
SSS
?
Énoncé 3
Soit
SSS
le sphère de centre 
Ω(1 ; 3 ;−1)\Omega(1~;~3~;-1)Ω(1 ; 3 ;−1)
 et de rayon 
r=5r=5r=5
.
Soit
PPP
le plan d'équation cartésienne 
z−3=0z-3=0z−3=0
.
Déterminer l'ensemble des points
M(x ; y ; z)\text M(x~;~y~;~z)M(x ; y ; z)
communs à
SSS
et
PPP
.

*** Volume d'un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On considère les points 
A(−1 ;−1 ; 0)\text A(-1~;-1~;~0)A(−1 ;−1 ; 0)
,
B(6 ;−5 ; 1)\text B(6~;-5~;~1)B(6 ;−5 ; 1)
,
C(1 ; 2 ;−2)\text C(1~;~2~;-2)C(1 ; 2 ;−2)
et
S(13 ; 37 ; 54)\text S(13~;~37~;~54)S(13 ; 37 ; 54)
.
1. Justifier que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
définissent bien un plan.
2. a.Déterminer la nature du triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
.
    b.Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
est, en unités d'aire,
1 1222\dfrac{\sqrt{1\,122}}{2}21122​​
.
3. Prouver que les points
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
S\text SS
ne sont pas coplanaires.
4. a.Justifier que le vecteur
n→(51629)\overrightarrow n \begin{pmatrix} 5\\16\\29 \end{pmatrix}n​51629​​
est normal au plan 
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.b.En déduire une équation du plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.
5.Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
et passant par
S\text SS
.
6.a. Déterminer par calcul les coordonnées du point
H\text HH
, projeté orthogonal de
S\text SS
sur le plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.b. On admet que
H(3 ; 5 ;−4)\text H(3~;~5~;-4)H(3 ; 5 ;−4)
. Déterminer le volume du tétraèdre
SABC\mathrm{SABC}SABC
.

*** Distance d'un point à un plan

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k \right)(O ;i,j​,k)
. On considère :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;les points
A(−2 ; 0 ; 2)\text A(-2~;~ 0~ ;~ 2)A(−2 ; 0 ; 2)
,
B(−1 ; 3 ; 0)\text B(-1~ ;~ 3 ~; ~0)B(−1 ; 3 ; 0)
,
C(1 ;−1 ; 2)\text C(1~ ; -1~ ;~ 2)C(1 ;−1 ; 2)
et
D(0 ; 0 ; 3)\text D (0~;~ 0~; ~3)D(0 ; 0 ; 3)
 ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la droite
D1\mathscr D_1D1​
dont une représentation paramétrique est
{x=ty=3tz=3+5t\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\ \end{cases}⎩⎨⎧​x=ty=3tz=3+5t​
avec
t∈Rt\in\mathbb Rt∈R
 ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la droite
D2\mathscr D_2D2​
dont une représentation paramétrique est
{x=1+3sy=−1−5sz=2−6s\begin{cases}x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\\ \end{cases}⎩⎨⎧​x=1+3sy=−1−5sz=2−6s​
avec
s∈Rs\in\mathbb Rs∈R
.
1.Démontrer que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
ne sont pas alignés.
2. a.Démontrer que le vecteur
n→(135)\overrightarrow n \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}n​135​​
est orthogonal au plan
(ABC)(\mathrm{ABC})(ABC)
.b.Justifier qu'une équation cartésienne du plan
(ABC)(\mathrm{ABC})(ABC)
est
x+3y+5z−8=0x +3y +5z -8 = 0x+3y+5z−8=0
.c.En déduire que les points
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
D\text DD
ne sont pas coplanaires.
3. a. Justifier que la droite 
D1\mathscr D_1D1​
est la hauteur du tétraèdre
ABCD\text{ABCD}ABCD
issue de
D\text DD
. 
On admet que la droite
D2\mathscr D_2D2​
 est la hauteur du tétraèdre
ABCD\text{ABCD}ABCD
issue de
C\text CC
.b.Démontrer que les droites
D1\mathscr D_1D1​
 et
D2\mathscr D_2D2​
 sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
4. a.Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal
H\text HH
du point
D\text DD
 sur le plan 
(ABC)(\mathrm{ABC})(ABC)
.b.Calculer la distance du point
D\text DD
au plan
(ABC)(\mathrm{ABC})(ABC)
. Arrondir le résultat au centième.