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Les perles du BAC

le point d'intersection du plan

Sommaire

Volume d'un tétraèdre - Métropole, mars 2023Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023

Volume d'un tétraèdre - Métropole, mars 2023

On considère le cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
d'arête
111
.
On appelle
I\text II
le point d'intersection du plan
(GBD)\mathrm{(GBD)}(GBD)
avec la droite
(EC)\mathrm{(EC)}(EC)
.
L'espace est rapporté au repère orthonormé
(A ; AB→, AD→, AE→)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)(A ; AB, AD, AE)
.
1. Donner dans ce repère les coordonnées des points
E\text EE
,
C\text CC
,
G\text GG
.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite
(EC)\mathrm{(EC)}(EC)
.
3. Démontrer que la droite 
(EC)\mathrm{(EC)}(EC)
est orthogonale au plan
(GBD)\mathrm{(GBD)}(GBD)
.
4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan
(GBD)\mathrm{(GBD)}(GBD)
est 
x+y−z−1=0x + y - z - 1 = 0x+y−z−1=0
.b. Montrer que le point
I\text II
a pour coordonnées 
(23 ; 23 ; 13)\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)(32​ ; 32​ ; 31​)
.c. En déduire que la distance du point
E\text EE
au plan 
(GBD)\mathrm{(GBD)}(GBD)
est égale à 
233\dfrac{2\sqrt 3}{3}323​​
.
5. a. Démontrer que le triangle
BDG\mathrm{BDG}BDG
est équilatéral.b. Calculer l’aire du triangle
BDG\mathrm{BDG}BDG
. On pourra utiliser le point
J\text JJ
, milieu du segment
[BD]\mathrm{[BD]}[BD]
.
6. Justifier que le volume du tétraèdre\(​​\mathrm{EGBD}​​\)est égal à 
13\dfrac1331​
.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par\(V = \dfrac13 Bh\)où
BBB
est l'aire d'une base du tétraèdre et
hhh
est la hauteur relative à cette base.

Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023

On considère le cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
d'arête\(1\)représenté ci-dessous.
On note
K\text KK
le milieu du segment
[HG]\mathrm{[HG]}[HG]
.
On se place dans le repère orthonormé 
(A ; AB→, AD→, AE→)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)(A ; AB, AD, AE)
.
1. Justifier que les points
C\text CC
,
F\text FF
et
K\text KK
définissent un plan.
2. a. Donner, sans justifier, les longueurs
KG\mathrm{KG}KG
,
GF\mathrm{GF}GF
et
GC\mathrm{GC}GC
.b. Calculer l'aire du triangle
FGC\mathrm{FGC}FGC
.c. Calculer le volume du tétraèdre
FGCK\mathrm{FGCK}FGCK
.
On rappelle que le volume\(V\) d'un tétraèdre est donné par : \(V = \dfrac13\mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal B\) est l’aire d’une base et\(h\)la hauteur correspondante.
3. a.On note 
n→\overrightarrow{n}n
 le vecteur de coordonnées
(1;2;1)(1;2;1)(1;2;1)
. Démontrer que
n→\overrightarrow{n}n
est normal au plan
(CFK)\mathrm{(CFK)}(CFK)
.b.En déduire qu'une équation cartésienne du plan
(CFK)\mathrm{(CFK)}(CFK)
est 
x+2y+z−3=0x +2y + z - 3 = 0x+2y+z−3=0
.
4. On note
∆∆∆
la droite passant par le point
G\text GG
et orthogonale au plan
(CFK)\mathrm{(CFK)}(CFK)
. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite
∆∆∆
est 
{x=1+ty=1+2tz=1+t\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + t\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&1 + t \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​1+t1+2t1+t​
 avec 
t∈Rt\in \mathbb Rt∈R
.
5. Soit
L\text LL
le point d’intersection entre la droite
∆∆∆
et le plan
(CFK)\mathrm{(CFK)}(CFK)
.a. Déterminer les coordonnées du point
L\text LL
.b. En déduire que 
LG=66\text{LG} = \dfrac{\sqrt 6}{6}LG=66​​
.
6. En utilisant la question2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle
CFK\mathrm{CFK}CFK
.

Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On considère :
d1d_1d1​
 la droite passant par le point
H(2;3;0)\text H(2;3;0)H(2;3;0)
 et de vecteur directeur 
u→(1;−1;1)\overrightarrow{u}(1;-1;1)u(1;−1;1)
;
d2d_2d2​
la droite de représentation paramétrique 
{x=2k−3y=kz=5\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2k - 3\\ y &=&k\\ z &=&5 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​2k−3k5​
où
k∈Rk\in \mathbb Rk∈R
.
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Δ\DeltaΔ
qui soit perpendiculaire aux droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
.
1. a.Déterminer un vecteur directeur
v→\overrightarrow{v}v
de la droite
d2d_2d2​
.
    b.Démontrer que les droites
d1d_1d1​
 et
d2d_2d2​
 ne sont pas parallèles.
    c.Démontrer que les droites 
d1d_1d1​
 et
d2d_2d2​
 ne sont pas sécantes.
    d. Quelle est la position relative des droites 
d1d_1d1​
 et
d2d_2d2​
?
2. a.Vérifier que le vecteur
w→(−1;2;3)\overrightarrow{w}(-1;2;3)w(−1;2;3)
est orthogonal à
u→\overrightarrow{u}u
et à
v→\overrightarrow{v}v
.
    b.On considère le plan
PPP
passant par le point
H\text HH
et dirigé par les vecteurs
u→\overrightarrow{u}u
et
w→\overrightarrow{w}w
. 
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
5x+4y−z−22=05x + 4y - z - 22 = 05x+4y−z−22=0
.
Démontrer que l'intersection du plan
PPP
et de la droite
d2d_2d2​
 est le point
M(3;3;5)\text M(3;3;5)M(3;3;5)
.
3.Soit
Δ\DeltaΔ
la droite de vecteur directeur 
w→\overrightarrow{w}w
passant par le point
M\text MM
. Une représentation paramétrique de 
Δ\DeltaΔ
est donc donnée par : 
{x=−r+3y=2r+3z=3r+5\left\{\begin{array}{l c l} x &=&- r + 3 \\ y &= &2r + 3\\ z &=& 3r + 5 \end{array}\right.⎩⎨⎧​xyz​===​−r+32r+33r+5​
 où 
r∈Rr\in\mathbb Rr∈R
.
    a.Justifier que les droites
Δ\DeltaΔ
et 
d1d_1d1​
 sont perpendiculaires en un point
L\text LL
dont on déterminera les coordonnées.
    b.Expliquer pourquoi la droite 
Δ\DeltaΔ
 est solution du problème posé.

Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On considère les points :
A(1 ; 1 ;−4)\text A(1~;~ 1~; -4)A(1 ; 1 ;−4)
,
B(2 ;−1 ;−3)\text B(2~; -1~; -3)B(2 ;−1 ;−3)
,
C(0 ; 1 ;−1)\text C(0~; ~1~; -1)C(0 ; 1 ;−1)
et
Ω(1 ; 1 ; 2)Ω(1~; ~1~;~2)Ω(1 ; 1 ; 2)
.
1. Démontrer que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
définissent un plan.
2. a. Démontrer que le vecteur
n→(1;1;1)\overrightarrow{n}(1;1;1)n(1;1;1)
 est normal au plan
(ABC)(\text{ABC})(ABC)
.
    b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan
(ABC)(\text {ABC})(ABC)
est
x+y+z+2=0x + y + z + 2 = 0x+y+z+2=0
.
3. a. Justifier que le point
ΩΩΩ
n'appartient pas au plan
(ABC)(\text {ABC})(ABC)
.b. Déterminer les coordonnées du point
H\text HH
, projeté orthogonal du point
ΩΩΩ
sur le plan
(ABC)(\text {ABC})(ABC)
.
On admet que
ΩH=23Ω\text H = 2 \sqrt 3ΩH=23​
.
On définit la sphère
SSS
de centre
ΩΩΩ
et de rayon
232\sqrt 323​
comme l'ensemble de tous les points
M\text MM
de l'espace tels que
ΩM=23Ω\text M = 2 \sqrt 3ΩM=23​
.
4. Justifier, sans calcul, que tout point
N\text NN
du plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
, distinct de
H\text HH
, n'appartient pas à la sphère
SSS
.
On dit qu'un plan
PPP
est tangent à la sphère
SSS
en un point
K\text KK
lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
K∈P∩S\text K \in P \cap SK∈P∩S
(ΩK)⊥P(Ω\text K) ⊥ P(ΩK)⊥P
5.Soit le plan
PPP
d'équation cartésienne
x+y−z−6=0x + y - z - 6 = 0x+y−z−6=0
et le point
K\text KK
de coordonnées
K(3 ; 3 ; 0)\text K(3~;~ 3~;~ 0)K(3 ; 3 ; 0)
. Démontrer que le plan
PPP
est tangent à la sphère
SSS
au point
K\text KK
.
6. On admet que les plans
(ABC)(\text {ABC})(ABC)
et
PPP
sont sécants selon une droite
ΔΔΔ
. Déterminer une équation paramétrique de la droite
ΔΔΔ
.