Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé

$$\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$$

.

Soit

$$\text A(0~;~1~;-2)$$

, 

$$\text B(4~;~5~;-2)$$

, 

$$\text C(4~;~1~;~0)$$

 et 

$$\text D(2~;~3~;~2)$$

 quatre points.

1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre 

$$\text A\text B\text C\text D$$

.

2. Déterminerdes équations cartésiennes des plans médiateurs des segments 

$$[\text A\text B]$$

, 

$$[\text B\text C]$$

 et 

$$[\text C\text D]$$

.

3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera

$$\text G$$

 et dont les coordonnées sont 

$$\text G(2~;~3~;-1)$$

.

4. Calculer les longueurs 

$$\text G\text A$$

, 

$$\text G\text B$$

, 

$$\text G\text C$$

 et 

$$\text G\text D$$

. Que déduit-on pour les quatre points

$$\text A$$

,

$$\text B$$

,

$$\text C$$

et

$$\text D$$

?

Solution

1.On démontre que les trois vecteurs 

$$\overrightarrow{\text A\text B}(4~;~4~;~0)$$

, 

$$\overrightarrow{\text A\text C}(4~;~0~;~2)$$

 et 

$$\overrightarrow{\text A\text D}(2~;~2~;~4)$$

 ne sont pas coplanaires. 

Les vecteurs

$$\overrightarrow{\text A\text C}$$

et

$$\overrightarrow{\text A\text D}$$

sont non nuls, on cherche donc 

$$a$$

et

$$b$$

réels tels que 

$$\overrightarrow{\text A\text B}=a\overrightarrow{\text A\text C}+b\overrightarrow{\text A\text D}$$

. 

Ces réels vérifient donc 

$$\begin{cases} 4=4a+2b \\ 4=2b \\ 0=2a+4b\\ \end{cases}$$

.

La deuxième équation donne 

$$b=2$$

.

Puis, en remplaçant dans la première équation, on obtient : 

$$a=0$$

.

En remplaçant la valeur de

$$b$$

dans la troisième équation, on obtient : 

$$a=-4$$

.

Le système n'admet pas de couple solution. Donc les trois vecteurs sont non coplanaires.

2.Plan médiateur du segment [AB]

Soit

$$\text I$$

le milieu du segment

$$[\text A\text B]$$

 : 

$$\text I(2~;~3~;-2)$$

.

Le plan médiateur est dirigé par 

$$\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix} 4\\4\\0\\ \end{pmatrix}$$

 et passe par 

$$\text I(2~;~3~;-2)$$

.

Donc une équation cartésienne de ce plan est de la forme : 

$$4x+4y+d=0$$

.

Avec le point 

$$\text I$$

, on trouve 

$$d=-20$$

. Une équation cartésienne de ce plan est donc : 

x+y-5=0

.

En procédant de même, on trouve que le plan médiateur du segment

$$[\text B\text C]$$

a pour équation 

$$-2y+z+7=0$$

 et que le plan médiateur du segment 

$$[\text C\text D]$$

 a pour équation 

$$-x+y+z=0$$

.

3. On résout le système : 

$$\begin{cases} x+y-5=0 \\ -2y+z+7=0 \\ -x+y+z=0\\ \end{cases}$$

 par combinaison.

En ajoutant la première et la troisième équations, on obtient : 

$$\begin{cases} x+y=5 \\ -2y+z=-7 \\ 2y+z=5\\ \end{cases}$$

.

En ajoutant la deuxième et la troisième équation, on obtient : 

$$\begin{cases} x+y=5 \\ -2y+z=-7 \\ 2z=-2\\ \end{cases}$$

, ce qui donne, de proche en proche, 

$$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \\ z=-1\\ \end{cases}$$

.

On vérifie que ce triplet est bien solution du système.

Il correspond aux coordonnées du point d'intersection des trois plans : 

$$\text G(2~;~3~;-1)$$

.

4. On trouve 

$$\overrightarrow{\text A\text G} \begin{pmatrix} 2\\2\\1\\ \end{pmatrix}$$

, donc 

$$\text A\text G=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$$

.

De même, on trouve : 

$$\overrightarrow{\text B\text G}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

 puis 

$$\text B\text G=3$$

 ;

$$\overrightarrow{\text G\text C} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

 puis 

$$\text G\text C=3$$

 ; 

$$\overrightarrow{\text G\text D} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$$

 puis 

$$\mathrm{GD}=3$$

.

On a donc 

$$\text G\text A=\text G\text B=\text G\text C=\text G\text D$$

. Les points 

$$\text A$$

,

$$\text B$$

,

$$\text C$$

et

$$\text D$$

 sont sur la sphère de centre 

$$\text G$$

 et de rayon 

$$3$$

.

Remarque

$$\text G$$

est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre

$$\text A\text B\text C\text D$$

. C'est l'équivalent, dans l'espace, du centre du cercle circonscrit à un triangle dans le plan.