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Dans les épisodes précédents

définie pour tout entier naturel 

Sommaire

Calculs de termes, tableur et algorithmeSuites arithmétiquesSuites géométriques✎ ☛ Étude de la monotonie d'une suite

Calculs de termes, tableur et algorithme

Exercice 1
On considère la suite 
(u_n)
définie pour tout entier naturel 
n
par
u_n=3n^2-5n+1
.
1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Exprimer, pour tout entier naturel 
n, u_{n+1}
en fonction de
n
.
3.Quelle formule faut-ilsaisir dans la cellule B2 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les termes de la suite 
(u_n)
?
4.Écrire en Python la fonction
Terme(n)\mathtt{Terme(n)}Terme(n)
 qui prend en argument l'entier naturel 
n
et qui renvoie la valeur de
u_n
.
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=2
et, pour tout entier naturel 
n
, 
u_{n+1}=2u_n-3
.
1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B3 afin d'obtenir,par recopie vers le bas, les termes de la suite 
(u_n)
?
3.Écrire en Python la fonction
\mathtt{Terme(n)}
 qui prend en argument l'entier naturel 
n
et qui renvoie la valeur de
u_n
.
4.Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite
(d)
 représentant la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=2x-3
 ainsi que la droite
(Δ)(\Delta)(Δ)
 d'équation
y=x
.
a.Recopier ce graphique ety représenter les premiers termes de la suite
(u_n)
.b.Que peut-on conjecturer quant à la monotonie et à l'éventuelle limite de la suite
(u_n)
 ?
Exercice 3
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=-2
et, pour tout entier naturel 
n
, 
un+1=12un−4n+10u_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}u_n-4n+10un+1​=21​un​−4n+10
.
1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B3 afin d'obtenir,par recopie vers le bas, les termes de la suite 
(u_n)
?
3.Écrire en Python la fonction`\mathtt{Terme(n)}` qui prend en argument l'entier naturel 
n
et qui renvoie la valeur de
u_n
.

Suites arithmétiques

Exercice 1
On considère la suite arithmétique
(un)(u_n)(un​)
de premier terme 
u_0=10
et de raison 13.
1.Exprimer, pour tout entier naturel
nnn
, 
u_{n+1}
 en fonction de
u_n
.
2.Déterminer, pour tout entier naturel 
nnn
, 
u_n
en fonction de 
nnn
.
3.Calculer
u_{25}
.
4.Pour quelle valeur de l'entier naturel 
nnn
a-t-on
un=26 322u_n=26~322un​=26 322
 ?
5.Calculer
u_0+u_1+\cdots+u_{30}
.
Exercice 2
En 2024, le nombre d'abonnés à un réseau social d'un musicien est de
4 0004\,0004000
. On suppose que, chaque année, ce réseau compte 650 abonnés supplémentaires. On désigne, pour tout entier naturel 
n
, par
u_n
le nombre d'abonnés en 
2024+n
.
1.Calculer le nombre d'abonnés en 2025 et en 2026.
2.Exprimer, pour tout entier naturel 
n
, 
u_{n+1}
en fonction de
u_n
.
3.Quelle est la nature de la suite 
(u_n)
?
4.En déduire, pour tout entier naturel 
n
, une expression de 
u_n
en fonction de
n
.
5.En quelle année le nombre d'abonnés aura-t-il dépassé le triple du nombre d'abonnés de 2024 ?

Suites géométriques

Exercice 1
On considère la suite géométrique
(un)(u_n)(un​)
de premier terme 
u_0=2
et de raison
23\displaystyle\frac{2}{3}32​
.
1.Exprimer, pour tout entier naturel
nnn
,
u_{n+1}
 en fonction de
u_n
.
2.Déterminer, pour tout entier naturel 
nnn
,
u_{n}
 en fonction de 
nnn
.
3.Calculer
u_{10}
 et en donner une valeur approchée à 
10^{-3}
près.
4.Calculer
u_0+u_1+\cdots+u_{15}
.
Exercice 2
Dans un laboratoire de chimie, un employé utilise un liquidevolatile. Àl’origine, il y a 75 cL de liquide dansunebouteille.
L’employé referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5 % de son volume par évaporation.
Pour tout entier naturel
n
, on note 
u_n
la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille après de 
n
jours. On a donc
u_0=75
.
1.Pour tout entier naturel
n
, exprimer 
u_{n+1}
en fonction de
u_n
. Quelle est la nature de la suite ?
2.Pour tout entier naturel
n
, exprimer 
u_{n}
en fonction de
n
.
3.Calculer la quantité de liquiderestantedans la bouteille après une semaine.
4.On admet que la suite
(u_n)
 est décroissante. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de jours la bouteille contient moins de 20 cL.

✎ ☛ Étude de la monotonie d'une suite

Méthode
Pour étudier la monotonie d'une suite, il peut être judicieux d'étudier, pour tout entier naturel 
n
, le signe de
u_{n+1}-u_n
.
Énoncé
Étudier la monotonie de la suite
(u_n)
 définie par
u_1=2
 et, pour tout entier naturel
n
 non nul,
un+1=un+1n2u_{n+1}=u_n+\displaystyle\frac{1}{n^2}un+1​=un​+n21​
.
Solution
∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*∀n∈N∗
,
un+1−un=un+1n2−unu_{n+1}-u_n=u_n+\displaystyle\frac{1}{n^2}-u_nun+1​−un​=un​+n21​−un​
un+1−un=1n2u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}un+1​−un​=n21​
.
∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*∀n∈N∗
, on a
1n2>0\displaystyle\frac{1}{n^2}>0n21​>0
, donc
un+1>unu_{n+1}>u_nun+1​>un​
.
On en déduit que la suite
(u_n)
 est strictement croissante.
Exercice
Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie des suites proposées.
1. 
(un)(u_n)(un​)
est la suite définie pour tout entier naturel 
n
par
u_n=4-5n
.
2.
(un)(u_n)(un​)
est la suite définie pour tout entier naturel 
n
par
un=3n+2u_n=\displaystyle\frac{3}{n+2}un​=n+23​
.
3.
(un)(u_n)(un​)
est la suite définie pour tout entier naturel 
n⩾2n \geqslant 2n⩾2
par
u_n=-3n^2+7n+1
.
4. 
(un)(u_n)(un​)
est la suite arithmétique de premier terme
u_1=6
et de raison 7,9.
5. 
(un)(u_n)(un​)
est la suite géométrique de premier terme 
u_1=2
et de raison 0,4.
6.
(un)(u_n)(un​)
est la suite définie par
u_0=1
 et, pour tout entier naturel 
n
,
u_{n+1}=u_n+\text{e}^n+5
.