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Définition

On considère une suite réelle

(u_n)

 définie pour tout entier naturel

n

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dit que 

(u_n)

estminorées'il existe un réel 

m

tel que, pour tout entier naturel

n

,

u_n \geqslant m

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On dit que 

(u_n)

estmajorées'il existe un réel 

M

tel que, pour tout entier naturel

n

,

u_n \leqslant M

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On ditque 

(u_n)

estbornéesi elle est majorée et minorée.

Remarque

Une suite majorée possède une infinité de majorants. En effet, si une suite est majorée par

M

, elle l'est aussi par

M+1

,

M+2

,etc.
De la même façon une suite minorée possède une infinité de minorants.

Exemple 1

On considère la suite 

(u_n)

définie pour tout entier naturel 

n

par

u_n=n^2

. Pour tout entier naturel

n

, on a

u_n\geqslant 0

 donc on peut affirmer que la suite 

(u_n)

est minorée par 0.

Exemple 2

On considère la suite 

(u_n)

définie pour tout entier naturel 

n

par

u_n=\displaystyle\frac{1}{n+1}

. Pour tout entier naturel

n

,on a

n+1\geqslant 1

donc

\displaystyle\frac{1}{n+1}\leqslant 1

. La suite 

(u_n)

est majorée par 1.

Exemple 3

On considère la suite

(u_n)

définie pour tout entier naturel 

n

par

u_n=(-1)^n

. Pour tout entier naturel

n

,on a

-1 \leqslant u_n \leqslant 1

. La suite 

(u_n)

étant minorée par 

-1

et majorée par

1

, on en déduit qu'elle est bornée.

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