Revenir
Revenir

Appliquer

On donne ci-dessous la représentation graphique des premiers termes de plusieurs suites géométriques...

Sommaire

Suites majorées, minorées, bornéesForme explicite d'une suite définie par récurrenceRécurrence pour montrer une monotonieRécurrence pour montrer qu'une suite est bornéeInégalité de BernoulliEscargot de PythagoreRécurrence pour dénombrer

Suites majorées, minorées, bornées

On donne ci-dessous la représentation graphique des premiers termes de plusieurs suites géométriques.
1.On donne pour tout entier naturel
n
,
u_n=0,7^n
 ; 
v_n=(-1,2)^n
 ; 
w_n=(-0,8)^n
 ;
x_n=1,3^n
 ; 
y_n=-0,8^n
 et 
z_n=-1,2^n
.
Associer chaque suite à sa représentation graphique.
2.Déterminer, parmi ces six suites, celle(s) qui répond(ent) à la contrainte proposée.
    a.Une suite majorée et non minorée.
    b.Une suite minorée et non majorée.
    c.Une suite bornée.
    d.Une suite ni minorée, ni majorée.
    e.Une suite monotone et bornée.
    f.Une suite monotone non bornée.
    g.Une suite ni monotone, ni bornée.
    h.Une suite bornée et non monotone.
    i.Une suite croissante et majorée.
    j.Une suite décroissante et minorée.
    k.Une suite croissante et non majorée.
    l.Une suite décroissante et non minorée.

Forme explicite d'une suite définie par récurrence

Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=20
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=45un+5u_{n+1}=\displaystyle\frac{4}{5}u_n+5un+1​=54​un​+5
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un=25−5×(45)nu_n=25-5\times \left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^nun​=25−5×(54​)n
.
Exercice 2
Soit
(u_n)
 la suite définie par
u1=12u_1=\displaystyle\frac{1}{2}u1​=21​
 et, pour tout entier naturel 
n
non nul,
un+1=n+12nunu_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{2n}u_nun+1​=2nn+1​un​
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
 non nul,
un=n2nu_n=\displaystyle\frac{n}{2^n}un​=2nn​
.

Récurrence pour montrer une monotonie

Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=150
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=0,7un+23u_{n+1}=0,7u_n+23un+1​=0,7un​+23
.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_nun+1​⩽un​
.
2.Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
 ?
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u0=4 000u_0=4\,000u0​=4000
 et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=1,04u_n-156
.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un⩽un+1u_{n} \leqslant u_{n+1}un​⩽un+1​
. Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
 ?
2.On définit une suite
(v_n)
 par une relation de récurrence identique à celle de 
(u_n)
 mais en prenant pour premier terme
3 0003\,0003000
.
On a donc
v0=3 000v_0=3\,000v0​=3000
 et, pour tout entier naturel
n
,
v_{n+1}=1,04v_n-156
.a.Conjecturer la monotonie de la suite
(v_n)
 et prouver cette conjecture par récurrence.b.Quelle remarque peut-on faire ?

Récurrence pour montrer qu'une suite est bornée

On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=1
 et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=\sqrt{u_n+2
.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
0⩽un⩽20 \leqslant u_n \leqslant 20⩽un​⩽2
.

Inégalité de Bernoulli

Soit
a
 un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
(1+a)n⩾1+na(1+a)^n \geqslant 1+na(1+a)n⩾1+na
.

Escargot de Pythagore

On construit une suite de points
\text{A}_0, \text{A}_1, ..., \text{A}_n
 de la façon suivante :
\text{OA}_0=1
 ;
    • pour tout entier naturel
n
,
\text{A}_n\text{A}_{n+1}=1
 ;
    • pour tout entier naturel
n
, le triangle
\text{OA}_n\text{A}_{n+1}
 est rectangle en
\text{A}_n
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
\text{OA}_n=\sqrt{n+1}
.

Récurrence pour dénombrer

Soit
n
 un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Démontrer, par récurrence, que lorsque 
n
personnes se rencontrent, il y a
n(n−1)2\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}2n(n−1)​
 poignées de main échangées.
On admettra que chaque personne échange une et une seule poignée de main avec chacune des autres.