Énoncé
On considère la suite
(u_n)
définie par
u_0 = 300
et, pour tout entier naturel
n
, par
u_{n+1} = 0,85u_n+27
.
On considère la suite
(v_n)
définie, pour tout entier naturel
n
, par
v_n= u_n-180
.
1.Montrer que
(v_n)
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2.En déduire, pour tout entier naturel
n
, l'expression de
v_n
puis de
u_n
en fonction de
n
.
Solution
1.Pour tout entier naturel
n
, on a
v_{n+1}=\color{red}{u_{n+1}}-180
.
Or
\color{red}{u_{n+1}=0,85u_n+27}
Donc pour tout entier naturel
n
,on a
soit
v_{n+1}=0,85\color{blue}{u_n}-153
D'autre part, pour tout entier naturel
n
, on a
v_n=u_n-180
donc
\color{blue}{u_n=v_n+180}
.
En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :
pour tout entier naturel
n
,
.
v_{n+1}=0,85v_n+153 -153
v_{n+1}=0,85v_n
La suite
(v_n)
est donc géométrique de raison
0,85
et de premier terme
v_0=u_0-180
soit
v_0=120
.
2.La suite
(v_n)
est géométrique de raison
0,85
et de premier terme
v_0=120
donc, pour tout entier naturel
n
, on a
v_n=v_0 \times q^n
soit
v_n=120 \times 0,85^n
.
Enfin, comme pour tout entier naturel
n
, on a
u_n=v_n+180
, on en déduit que, pour tout entier naturel
n
,
u_n=120 \times 0,85^n+180
.
Exercice
Nicolas a déposé en janvier 2024 une somme de 500 euros sur un compte rémunéré à 3 %. C'est-à-dire que, d'une année sur l'autre, le montant présent sur le compte est augmenté de 3 %.
Après avoir versé les intérêts dus, la banque prélève immédiatement 6 euros de frais de tenue de compte. On suppose que Nicolas ne verse ni ne retire d'argent sur ce compte une fois les 500 euros déposés.
1. a.Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en janvier 2025.b.Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en janvier 2026.
Pour tout entier naturel
n
, on note
u_n
le montant présent sur le compte de Nicolas en janvier de l'année
2024+n
. On définit ainsi une suite
(u_n)
pour laquelle
u_0=500
.
2.Pour tout entier naturel
n
, exprimer
u_{n+1}
en fonction de
u_n
.
3.La suite
(u_n)
est-elle arithmétique ?Géométrique ? Justifier.
4.Pour tout entier naturel
n
, on pose
v_n=u_n-200
.
a.Montrer que
(v_n)
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b.Déterminer, pour tout entier naturel
n
, l'expression de
v_n
puis de
u_n
en fonction de
n
.
c.Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en 2040.
Conjectures graphiques sur la monotonie et la limite d'une suite
Pour chacune des suites représentées :
- conjecturer son éventuelle monotonie ;
- conjecturer son éventuelle limite, finie ou infinie.