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Suite tendant vers l'infini

\(\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty}\)

Sommaire

GénéralitésCas des suites monotones

Généralités

Définition
Soit `(u_n)`une suite et
AAA
un réel.
On dit que 
(u_n)
tend vers 
+∞+\infty+∞
quand 
n
tend vers 
+∞+\infty+∞
, et on écrit 
lim⁡n→+∞un=+∞\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty}n→+∞lim​un​=+∞​
,
si tout intervalle de la forme
[A;+\infty[
contient toutes les valeurs de
u_n
à partir d'un certain rang.
Traduction à l'aide de quantificateurs:
∀A∈R, ∃n0∈N tel que ∀n⩾n0, un⩾A.\forall A \in \mathbb{R},\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }u_n\geqslant A.∀A∈R, ∃n0​∈N tel que ∀n⩾n0​, un​⩾A.
Exemples
1.
lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\inftyn→+∞lim​n=+∞
2.
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\inftyn→+∞lim​n2=+∞
 et plus généralement, pour tout
p∈N∗p \in \mathbb{N}^*p∈N∗
,
lim⁡n→+∞np=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^p=+\inftyn→+∞lim​np=+∞
3.
lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n}=+\inftyn→+∞lim​n​=+∞
4.
lim⁡n→+∞en=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\text{e}^n=+\inftyn→+∞lim​en=+∞
 Définition
Soit  `(u_n)`une suite et\(A\)un réel.
On dit que 
(u_n)
tend vers 
−∞-\infty−∞
quand 
n
tend vers 
+∞+\infty+∞
, et on écrit 
lim⁡n→+∞un=−∞\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty}n→+∞lim​un​=−∞​
,
si tout intervalle de la forme
]-\infty;A]
contient toutes les valeurs de
u_n
à partir d'un certain rang.
Traduction à l'aide de quantificateurs:
∀A∈R, ∃n0∈N tel que ∀n⩾n0, un⩽A.\forall A \in \mathbb{R},\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }u_n\leqslant A.∀A∈R, ∃n0​∈N tel que ∀n⩾n0​, un​⩽A.
Exemples
1.
lim⁡n→+∞−n=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-n=-\inftyn→+∞lim​−n=−∞
2.
lim⁡n→+∞−n2=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\inftyn→+∞lim​−n2=−∞
 et plus généralement, pour tout
p∈N∗p \in \mathbb{N}^*p∈N∗
,
lim⁡n→+∞−np=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-n^p=-\inftyn→+∞lim​−np=−∞
3.
lim⁡n→+∞−n=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-\sqrt{n}=-\inftyn→+∞lim​−n​=−∞
4.
lim⁡n→+∞−en=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-\text{e}^n=-\inftyn→+∞lim​−en=−∞

Cas des suites monotones

Théorème
1.Toute suite croissante et non majorée tend vers
+∞+\infty+∞
.
2.Toute suite décroissante et non minorée tend vers
−∞-\infty−∞
.
Démonstration
1.Soit 
(un)(u_n)(un​)
une suite croissante et non majorée. Soit
A∈RA \in \mathbb{R}A∈R
.
AAA
 n'est pas un majorant, donc il existe
n0∈Nn_0 \in \mathbb{N}n0​∈N
tel que
un0⩾Au_{n_0}\geqslant Aun0​​⩾A
.
Comme
(u_n)
est croissante, pour tout entier naturel
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
, on a
un⩾un0u_n \geqslant u_{n_0}un​⩾un0​​
.
Ainsi, pour tout entier naturel
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
, on a
un⩾un0⩾Au_n \geqslant u_{n_0} \geqslant Aun​⩾un0​​⩾A
.
L'intervalle
[A ; +∞[[A~;~+\infty[[A ; +∞[
contient bien tous les
u_n
à partir d'un certain rang donc
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\inftyn→+∞lim​un​=+∞
2.La démonstration s'effectue de façon analogue.