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Suite admettant une limite finie

\(\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell}\)

Sommaire

GénéralitésCas des suites monotones

Généralités

Définition
Soit
(u_n)
une suiteet 
ℓ\ellℓ
un réel.
On dit que
(u_n)
tend vers 
ℓ\ellℓ
quand 
n
tend vers
+∞+\infty+∞
, et on écrit 
lim⁡n→+∞un=ℓ\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell}n→+∞lim​un​=ℓ​
, si tout intervalle ouvert contenant
ℓ\ellℓ
 contient toutes les valeurs de 
u_n
à partir d'un certain rang.
Traduction à l'aide de quantificateurs:
∀ε>0, ∃n0∈N tel que ∀n⩾n0, ∣un−ℓ∣⩽ε.\forall \varepsilon>0,\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }\left|u_n-\ell\right|\leqslant \varepsilon.∀ε>0, ∃n0​∈N tel que ∀n⩾n0​, ∣un​−ℓ∣⩽ε.
Propriété(admise)
Soit une suite
(u_n)
qui tend vers un réel 
ℓ\ellℓ
. On admet que la limite de 
(u_n)
estunique.
Exemples
1.
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n}=0n→+∞lim​n1​=0
 et plus généralement, pour tout
p∈N∗p \in \mathbb{N}^*p∈N∗
,
lim⁡n→+∞1np=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^p}=0n→+∞lim​np1​=0
2.
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}=0n→+∞lim​n​1​=0
3.
lim⁡n→+∞1en=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^n}=0n→+∞lim​en1​=0
4.Cas des suites constantes :pour tout réel
c
,
lim⁡n→+∞c=c\lim\limits_{n \to +\infty}c=cn→+∞lim​c=c
Définitions
    • Soit une suite
(u_n)
qui tend vers un réel
ℓ\ellℓ
. On dit que la suite
(u_n)
convergevers
ℓ\ellℓ
.
    • Une suite non convergente est ditedivergente.

Cas des suites monotones

Théorème
1.Toute suite croissante et majorée converge.
2.Toute suite décroissante et minorée converge.
Exemple
On considère une suite
(u_n)
 telle que, pour tout entier naturel
n
, on a 
2⩽un+1⩽un2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n2⩽un+1​⩽un​
.
    • Pour tout entier naturel
n
, on a 
un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_nun+1​⩽un​
. Donc la suite
(u_n)
 est décroissante.
    • Pour tout entier naturel
n
, on a 
2⩽un2 \leqslant u_n2⩽un​
. Donc la suite
(u_n)
 est minorée par
2
.
La suite
(u_n)
est décroissante et minorée par
2
 donc elle converge vers un réel
ℓ\ellℓ
.
Remarque
Attention, ce théorème assure l'existence d'une limite, mais il ne donne pas la valeur de cette dernière. En particulier, dans l'exemple précédent, on ne sait pas si la limite de la suite est`2`.
Propriétés
1.Soit
(u_n)
 une suite croissante qui converge vers un réel
ℓ\ellℓ
, alors, pour tout entier naturel
n
,
un⩽ℓu_n \leqslant \ellun​⩽ℓ
.
2.Soit
(un)(u_n)(un​)
 une suite décroissante qui converge vers un réel
ℓ\ellℓ
, alors, pour tout entier naturel
n
,
un⩾ℓu_n \geqslant \ellun​⩾ℓ
.
Démonstration
1.On démontre par l’absurde.
Supposons qu’il existe un entier naturel
NNN
tel que
uN>ℓu_N > \elluN​>ℓ
, alors il existe un réel 
ϵ>0\epsilon>0ϵ>0
tel que
uN=ℓ+ϵu_N = \ell+ \epsilonuN​=ℓ+ϵ
.
Comme la suite
(un)(u_n)(un​)
converge vers
ℓ\ellℓ
, pour cet
ϵ\epsilonϵ
, il existe un entier naturel 
n0n_0n0​
tel que
∀n⩾n0, ℓ−ϵ<un<ℓ+ϵ\forall n \geqslant n_0, \ \ell - \epsilon < u_n < \ell+\epsilon∀n⩾n0​, ℓ−ϵ<un​<ℓ+ϵ
.
De plus, comme la suite est croissante,
∀n⩾N, un⩾uN\forall n \geqslant N, \ u_n \geqslant u_N∀n⩾N, un​⩾uN​
donc
un⩾ℓ+ϵu_n \geqslant \ell + \epsilonun​⩾ℓ+ϵ
.
Ainsi
∀n⩾max⁡(n0,N)\forall n \geqslant \max(n_0,N)∀n⩾max(n0​,N)
, 
un<ℓ+ϵu_n < \ell+\epsilonun​<ℓ+ϵ
et
un⩾ℓ+ϵu_n \geqslant \ell + \epsilonun​⩾ℓ+ϵ
. Ce qui est absurde.
2.La démonstration s'effectue de façon analogue.